2018年天津高考文科数学真题及答案.doc-资料库

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2018 年天津高考文科数学真题及答案本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2．本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。参考公式： ·如果事件 A，B互斥，那么 P(A∪B)=P(A)+P(B)． ·棱柱的体积公式 V=Sh. 其中 S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高． ·棱锥的体积公式 V  1 3 Sh ，其中 S 表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高. 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合 {1,2,3,4} A  ， { 1,0, 2,3} B   ， {   C x R | 1    x 2} ，则 ( A B  )  C  （A）{ 1,1}  （C）{ 1,0,1}  （B）{0,1} （D）{2,3,4} （2）设变量 ,x y 满足约束条件（A）6 （C）21 （3）设 x R ，则“ 3 x  ”是“| 8 5 x y    ，  4 2 x y   ，  则目标函数 3    1 y x ，    0 y ，  z x  的最大值为 y 5 （B）19 （D）45 | 2 x  ”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

（4）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 20，则输出T 的值为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （5）已知 a  log 3 7 2 , b  ( 1 ) , 3 1 4 c  log 1 5 1 3 ，则 , ,a b c 的大小关系为（A） a b c   （B）b a c   （C） c b a   （D） c a b   （6）将函数 sin(2  y x  的图象向右平移 )  5  10 个单位长度，所得图象对应的函数（A）在区间[    4 4 , ] 上单调递增（B）在区间[  4 ,0] 上单调递减（C）在区间[   4 2 , ] 上单调递增（D）在区间[  2 , ]  上单调递减（7）已知双曲线 2 2 x a  2 2 y b  1( a  0, b  的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与 0) 双曲线交于 ,A B 两点.设 ,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 1d 和 2d ，且 d 1 d 2  则双曲线的方程为 6,

（A）（C） 2 x 3 2 x 4 2 y 9 2 y 12  1  1 （B） 2 x 9 2 y 3  1 （D） 2 x 12 2 y 4  1 （8）在如图的平面图形中，已知   2, MON  120  ,  BM   MA CN ,  2  , NA   则 ·BC OM  2 的值为（B） 9 （D）0 OM  1. ON （A） 15 （C） 6 第Ⅱ卷注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2．本卷共 12 小题，共 110 分。二．填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. （9）i是虚数单位，复数 6 7i  1 2i  =__________．（10）已知函数 f(x)=exlnx，f ′(x)为 f(x)的导函数，则 f ′（1）的值为__________．（11）如图，已知正方体 ABCD–A1B1C1D1的棱长为 1，则四棱柱 A1–BB1D1D的体积为__________．（12）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．

（13）已知 a，b∈R，且 a–3b+6=0，则 2a+ （14）已知 a∈R，函数   f x     x  2 x 1 8b 的最小值为__________． 2 0 x  ，， 0 a x  ，．  2 2  x a   2 2 x  若对任意 x∈［–3，+  ），f(x)≤ x 恒成立，则 a的取值范围是__________．三．解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）（本小题满分 13 分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的 7 名同学分别用 A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取 2 名同学承担敬老院的卫生工作．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设 M为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级”，求事件 M发生的概率．（16）（本小题满分 13 分）在△ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a,b,c．已知 bsinA=acos(B– π 6 )．（Ⅰ）求教 B的大小；（Ⅱ）设 a=2，c=3，求 b和 sin(2A–B)的值．（17）（本小题满分 13 分）如图，在四面体 ABCD中，△ABC是等边三角形，平面 ABC⊥平面 ABD，点 M为棱 AB的中点， AB=2，AD= 2 3 ，∠BAD=90°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线 BC与 MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线 CD与平面 ABD所成角的正弦值．（18）（本小题满分 13 分）

设{an}是等差数列，其前 n项和为 Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于 0，其前 n项和为 Tn（n∈N*）．已知 b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．（Ⅰ）求 Sn和 Tn；（Ⅱ）若 Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数 n的值．（19）（本小题满分 14 分）设椭圆 2 2 x a  2 2 y b  1( | | AB  13 . a b   的右顶点为 A，上顶点为 B.已知椭圆的离心率为 0) 5 3 ，（I）求椭圆的方程；（II）设直线 : l y  ( kx k  与椭圆交于 ,P Q 两点，l 与直线 AB 交于点 M，且点 P，M均 0) 在第四象限.若 BPM△ 的面积是 BPQ△ 面积的 2 倍，求 k的值. （20）（本小题满分 14 分）设函数 ( )=( f x x t  1 )( x t  )( x t t  ，其中 1 3 ) , t 2 , t R ,且 1 t 3 , t 2 , 2 t 是公差为 d 的等差数列. 3 t （I）若 2 0, d 1,  求曲线 y  ( ) f x 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；（II）若 3 d  ，求 ( ) f x 的极值；（III）若曲线 y  ( ) f x 与直线 y   ( x 1  t 2 ) 6 3  有三个互异的公共点，求 d的取值范围. 参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 5 分，满分 40 分．（1）C （5）D （2）C （6）A （3）A （7）A （4）B （8）C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 5 分，满分 30 分．（9）4–i （10）e （11） 1 3

（12） 2 x  2 y  2 x  （13） 0 1 4 （14）［ 1 8 ，2］三、解答题（15）本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分 13 分．（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为 3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取 3 人，2 人，2 人．（Ⅱ）（i）解：从抽出的 7 名同学中随机抽取 2 名同学的所有可能结果为 {A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}， {B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}， {F，G}，共 21 种．（ii）解：由（Ⅰ），不妨设抽出的 7 名同学中，来自甲年级的是 A，B，C，来自乙年级的是 D，E，来自丙年级的是 F，G，则从抽出的 7 名同学中随机抽取的 2 名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共 5 种．所以，事件 M发生的概率为 P（M）= 5 21 ．（16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分 13 分．（Ⅰ）解：在△ABC 中，由正弦定理 a sin A  b sin A a  cos( B  ，得 ) π 6 a sin B a  cos( B b sin π 6 ) ，可得 sin b A a  sin B ，又由 B  ，即 sin B  cos( B  ，可得 tan ) π 6 B  ．又 3 因为 (0 B  ，，可得 B= π 3 π) ．（Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及 a=2，c=3，B= π 3 ，有 2 b  2 a  2 c  2 ac cos B  ，故 7 b= 7 ．由 b sin A a  cos( B  ，可得 ) π 6 sin A  ．因为 a

（17）本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分 13 分．（Ⅰ）由平面 ABC⊥平面 ABD，平面 ABC∩平面 ABD=AB，AD⊥AB，可得 AD⊥平面 ABC，故 AD ⊥BC．（Ⅱ）解：取棱 AC的中点 N，连接 MN，ND．又因为 M为棱 AB的中点，故 MN∥BC．所以∠ DMN（或其补角）为异面直线 BC与 MD所成的角．在 Rt△DAM中，AM=1，故 DM= 2 AD AM 2 = 13 ．因为 AD⊥平面 ABC，故 AD⊥AC．在 Rt△DAN中，AN=1，故 DN= 2 AD AN 2 = 13 ．在等腰三角形 DMN中，MN=1，可得 cos  DMN  1 MN 2 DM  ． 13 26 所以，异面直线 BC与 MD所成角的余弦值为 13 26 ．（Ⅲ）解：连接 CM．因为△ABC为等边三角形，M为边 AB的中点，故 CM⊥AB，CM= 3 ．又因为平面 ABC⊥平面 ABD，而 CM 平面 ABC，故 CM⊥平面 ABD．所以，∠CDM为直线 CD与平面 ABD所成的角．在 Rt△CAD中，CD= 2 AC AD 2 =4．在 Rt△CMD中， sin  CDM  CM CD  ． 3 4 所以，直线 CD与平面 ABD所成角的正弦值为 3 4 ．（18）本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前 n 项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.满分 13 分. （I）解：设等比数列{ }nb 的公比为 q，由 b1=1，b3=b2+2，可得 2 q 2 0 q   . 因为 0 q  ，可得 2 q  ，故 nb 12n  .所以 nT  n 1 2  1 2   n 2  1 .

设等差数列{ }na 的公差为 d .由 4 b  a 3  ，可得 1 3 a d 5 a b  .由 5 4  a 4 62 a  ，可得 13 a 13 d  从而 1 1, 16, d a 1  ，故 na n ，所以 S  n 1) . ( n n  2 （II）解：由（I），知 T T 1 2     T n  1 (2  3 2    n 2 )   n 2 n 1    n 2. 由 S n  ( T T 1 2     T n )  a n  4 b n 可得 1) 2  n 1  ( n n  2     n n 2 n 1  2 ，整理得 2 3 n n   解得 4 0, n   （舍），或 4n  .所以 n的值为 4. 1 （19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分 14 分. （I）解：设椭圆的焦距为 2c，由已知得 2 2 c a  ，又由 2 a 5 9  2 b | AB |  2 a 2  b  13 ,从而 3, b a 2  . 所以，椭圆的方程为 2 x 9 2 y 4 1  . 2  ，可得 2 c a b 由 3 . （II）解：设点 P的坐标为 1 ( , x y ，点 M的坐标为 2 x y ，由题意， 2 x ) ( ) , 1 2 x 1  ， 0 x 点 Q 的坐标为 1  ( , y  由 BPM△ 1 ). 的面积是 BPQ△ 面积的 2 倍，可得| PM PQ ， |=2| | x 从而 2  x 1  2[ x 1 ( x   ，即 2 x 1 )] 15 x . 易知直线 AB 的方程为 2 x 3 y  ，由方程组 6  6, 2 3 x     y kx y , x 消去 y，可得 2  6  2 3 k .由方程组 2  x   9    y 2 y 4 , kx  1, x 消去 y ，可得 1  6 2 k 9  4 x .由 2 15 x ，可得 29 k   4 5(3 k  ， 2) 两边平方，整理得 2 k 18  25 k   ，解得 8 0 k   ，或 8 9 1 k   . 2 当 k   时， 2 x    ，不合题意，舍去；当 9 0 8 9 意. 1 2 k   时， 2 12 x  ， 1 x  ，符合题 12 5

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