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2006年江苏高考数学真题及答案.doc
2006 年江苏高考数学真题及答案
一．
选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，
恰有一项是符合题目要求的。
sin
x
1． 已知 a R ，函数 ( )
f x
（B）1
（A）0
2
2
1)
(
3)
y
x
y
x
（B）
2．圆
0
1
x
(
|,
|
a x R
（C） 1
为奇函数，则 a
（D） 1
的切线方程中有一个是
（C） 0
（A）
3．某人 5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 ,
x y
均数为 10，方差为 2，则|
（A）1
y 的值为
y
（C）3
x
x
0
|
（D）
,10,11,9
0
y
，已知这组数据的平
（D）4
),
6
x R
的图象，只需把函数
y
2sin ,
x x R
的图象上
4．为了得到函数
y
所有的点
（B）2
x
3
2sin(
（A）向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
1
3
1
3
倍（纵坐标不变）
倍（纵坐标不变）
（B）向右平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
6
6
6
6
101
)
的展开式中含 x 的正整数指数幂的项数是
3
x
5．
(
x
（C）向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变）
（D）向右平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变）
M
(2,0)
|
8
x
（B）2
（A）0
6 ． 已 知 两 点 ( 2,0),
N
0
|
|
|
，则动点 ( ,
MN MP MN NP
（A） 2
（B） 2
y
y
7．若 A、B、C 为三个集合， A B B C
（A） A C
8．设 ,
8
x
(B)C
A
（C）4
（D）6
， 点 P 为 坐 标 平 面 内 的 动 点 ， 满 足
P x y 的轨迹方程为
4
x
)
（C） 2
y
（D） 2
y
4
x
，则一定有
(C) A C
(D) A
a b
,a b c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立．．．．的是
1
a
1
1
2
a
3
（B） 2
a
|
|
a b
b c
（D）
2
a
a
a
|
|
|
|
|
（A）|
（C）
a c
1
a b
9．两个相同的正四棱锥组成如图 1 所示的几何体，可放入棱长为 1
的正方体内，使正四棱锥的底面 ABCD 与正方体的某一面平行，且
各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有
（A）1 个
（C）3 个
10．右图中有一信号源和五个接收器。接收器与信号源在一个串联线路中时，就
能接收到信号，否则就不能接收到信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均
分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所得六组中每级的
两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是
（B）2 个
（D）无穷多个
A
B
a
2
a
D
C
（A）
4
45
（B）
1
36
（C）
4
15
（D）
8
15
二．填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。不需要写出解答过程，请把答案直
接填写在答题卡相应位置上
BC
11．在 ABC
．．．．．．．．。
，则 AC=
中，已知
45
B
12．设变量 ,x y 满足约束条件
，则 2
z
x
的最大值为
y
3
12,
60 ,
A
2
2
y
x
1
y
x
1
x
y
13．今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球，同色球不加以区分，将这 9 个球排成一列有
不同的方法（用数字作答）。
14． cot 20 cos10
15．对正整数 n ，设曲线
2cos 40
x 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 na ，则数
3 sin10 tan 70
)
x
在
(1
n
种
2
y
x
列{
na
n
}
1
的前 n 和的公式是
log (
16．不等式 2
x
1
x
6)
的解集为
3
三．解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或深处步骤。
17．（本小题满分 12 分，第一小问满分 5 分，第二小问满分 7 分）
已知三点
P
(5,2),
F
1
( 6,0),
F
2
(6,0)
,F F 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程；
⑴求以 1
2
,
,
P F F 关于直线 y
⑵设点 1
x 的对称点分别为
2
',
P F F 求以 '
,F F 为焦点且过点 'P
1
O
'
1
'
2
'
2
,
的双曲线的标准方程。
18．（本小题满分 14 分）
请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是
侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O 到底面中心 1O
的距离为多少时，帐篷的体积最大？
O1
19．（本小题满分 14 分，第一小问满分 4 分，第二小问满分 5 分，第三小问满分 5 分）
在正 ABC
中，E、F、P 分别是 AB、AC、BC 边上的点，满足 AE：EB=CF：FA=CP：PB
=1：2（如图 1），将△AEF 沿 EF 折起到△A1EF 的位置，使二面角 1A EF B
成直二面角，
A
连结 A1B、A1P（如图 2）
⑴求证： 1A E 平面 BEP；
⑵求直线 A1E 与平面 A1BP 所成角的大小；
⑶求二面角
B A P F
1
的大小（用反三角函数值表示）。
B
F
A1
E
B
图
P
C
B
图
P
F
C
20．（本小题满分 16 分，第一小问满分 4 分，第二小问满分 6 分，第三小问满分 6 分）
设 a 为实数，记函数
1
1
⑴设
⑵求 ( )g a ；
x
t
2
a
1
( )
f x
x
，求t 的取值范围，并把 ( )
x
的最大值为 ( )g a
1
f x 表示成t 的函数 ( )m t ；
1
x
x
⑶试求满足
( )
g a
g
(
1
a
)
的所有实数 a
21．（本小题满分 14 分）
设数列{ }na 、{ }nb 、{ }nc 满足：
1,2,3,
证明{ }na 为等差数列的充分必要条件是{ }nc 为等差数列且
2
a
3
a
(
n
b
n
c
n
a
a
a
1
2
,
n
2
n
n
n
n
)
1(
n
b
n
b
n
1,2,3,
)
2006 年江苏高考数学真题参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，恰．
有一项．．．是符合题目要求的。
)(
1．已知 Ra ，函数
xf
B．1
2
1
x
B．
， Rx 为奇函数，则 a （A）
D． 1
的切线方程中有一个是（C）
0 y
A．0
(
)1
(
y
x
0 y
x
A．
C． 0x
0y
sin
C．-1
2．圆
)3
D．
a
x
Y
3．某人 5 次上班途中所花时间（单位：分钟）分别为 x 、 y 、10、11、9。已知这组数据的
平均数为 10，方差为 2，则
x 的值为（D）
y
2
A．1
4．为了得到函数
y
2
B．2
x
3
sin(
),
6
C．3
D．4
Rx
的图象，只需把函数
y
sin2
,
Rxx
的图象上
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
1
3
1
3
倍（纵坐标不变）
倍（纵坐标不变）
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变）
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变）
B．向右平移
A．向左平移
的所有点（C）
6
6
6
6
10)
C．向左平移
D．向右平移
x
5．
(
1
3
x
的展开式中含 x 的正整数指数幂的项数是（B）
A．0
B．2
C．4
6．已知两点 M（-2，0）、N（2，0），点 P 为坐标平面内的动点，满足
D．6
MN
MP
+
MN
NP
0
A．
则动点
,(
yxP
2
y
2
y
CBBA
7．若 A、B、C 为三个集合，
C
B．
)
的轨迹方程为（B）
8
8
x
x
A
CA
A．
B．
C．
y
2
4
x
，则一定有（A）
C．
CA
D．
2
y
4
x
D． A
8．设 a 、b 、 c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立．．．．的是（C）
A．
C．
|
|
ba
|
|
ba
|
ca
1
ba
|
|
cb
|
B．
2
a
a
1
2
a
3
1
a
1
2
D．
a
a
a
2
a
9．两个相同的正四棱锥组成如图 1 所示的几何体，
可放入棱长为 1 的正方体内，使正四棱锥的底面
A
C
D
B
ABCD 与正方体的某一个面平行，且各顶点均在正
方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（D）
A．1 个
C．3 个
B．2 个
D．无穷多个
10．右图中有一个信号源和 5 个接收器，接收器与
信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，
否则就不能收到信号。若将图中左端的六个接线点
随机地平均分成三组，再把所得六组中每组的两个
接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到
信号的概率是（D）
图 1
信号源
B．
A．
1
36
4
45
4
15
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30
分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡．．．
相应位置上
．．．．．。
C．
11．在△ABC 中，已知 BC=12，A=60o，B=45o，则 AC=
64
。
.
Y
12．设变量 x 、 y 满足约束条件
2
x
x
y
2
x
1
y
1
y
，则
z
2
x
3
y
的最大值为 18 。
13．今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球，同色球不加以区分，将这 9 个球排成一列有 1260
10
20
cos
14．
10
sin3
y
15．对正整数 n，设曲线
种不同的方法（用数字作答）。
70
tan
cot
n
1(
x
an 的前 n项和的公式是
n
}
1
{
40
cos
＝ 2 。
2
)
x
在 x＝2 处的切线与 y轴交点的纵坐标为 na ，则数列
2 1 n
。
2
16．不等式
log 2
(
x
1
x
3)6
的解集为
)223,223(
}1{
。
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。请在答题卡指定区域
．．．．．．．内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分 12 分，第一小问满分 5 分，第二小问满分 7 分）
已知三点 P（5，2）、 1F （－6，0）、 2F （6，0）。
（Ⅰ）求以 1F 、 2F 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点 P、 1F 、 2F 关于直线 y＝x的对称点分别为 P 、 '
且过点 P 的双曲线的标准方程。
[考点分析：本题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基
本运算能力]
2F ，求以 '
2F 为焦点
1F 、 '
1F 、 '
[解]（I）由题意，可设所求椭圆的标准方程为
1
(
a
b
)0
，其半焦距 6c
。
（II）点 P（5，2）、 1F （－6，0）、 2F （6，0）关于直线 y＝x的对称点分别为：
)5,2(P
、 '1F （0，-6）、 '2F （0，6）
2
a
|
PF
1
|
|
PF
2
|
2
11
2
2
2
1
2
2
2
b
2
a
2
c
45
36
9
，故所求椭圆的标准方程为
2
2
+
x
a
56
2
2
y
b
，
∴ a
2
y
9
+
2x
45
53 ，
1
；
∴ 1a
2
x
16
-
2y
20
52 ，
1
。
O
O1
2
b
1
2
c
1
2
a
1
36
20
16
，故所求双曲线的标准方程为
18．（本小题满分 14 分）
请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m 的正六
棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥（如右
图所示）。试问当帐篷的顶点 O到底面中心 1o 的距离
为多少时，帐篷的体积最大？
[考点分析：本题主要考查利用导数研究函数的最值的
基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力]
[解]设 OO1 为 x m ，则
由题设可得正六棱锥底面边长为：
3
4
故底面正六边形的面积为：
x
28
x
2 )
)1
6
4
1
3
x
x
(
(
2
2
设所求双曲线的标准方程为
2
a
1
|
'
FP
1
|'
|
'
FP
2
|'
2
2
x
a
1
11
-
2
2
2
y
b
1
2
2
2
1
2
2
54
，
1
(
a
1
,0
b
1
)0
，由题意知半焦距
1 c
6
，
x
2
x
，（单位： m ）
28(
x
2x
)
，（单位： 2m ）
28
33
2
=
2
帐篷的体积为：
33
2
）（
V
x
28(
x
2x
)
1[
3
(
x
]1)1
3
2
16(
12
x
3x
)
（单位： 3m ）
)
。
求导得
3
2
，解得
V'
）（x
V'
）（x
）（xV
V'
x
）（
V'
0
）（x
1
2
x
时，
4
2
x 时，
时，
2x
12(
3
2x
（不合题意，舍去）， 2x
0
，
0
，
最大。
令
当
当
∴当 2x
答：当 OO1 为 2 m 时，帐篷的体积最大，最大体积为 3
19．（本小题满分 14 分，第一小问满分 4 分，第二小问满分 5 分，第三小问满分 5 分）
在正三角形 ABC 中，E、F、P 分别是 AB、AC、BC 边上的点，满足 AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2
（如图 1）。将△AEF 沿 EF 折起到 EFA1
的位置，使二面角 A1－EF－B 成直二面角，连结 A1B、
A1P（如图 2）
为增函数；
为减函数。
）（xV
）（xV
3m 。
16
，
（Ⅰ）求证：A1E⊥平面 BEP；
（Ⅱ）求直线 A1E 与平面 A1BP 所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角 B－A1P－F 的大小（用反三角函数表示）
E
A
F
[解]不妨设正三角形的边长为 3，则
B
P
C
图
B
（I）在图 1 中，取 BE 的中点 D，连结 DF，
∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2，∴AF=AD=2，而∠A=60o，∴△ADF 为正三角形。
又 AE=DE=1，∴EF⊥AD。
在图 2 中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB 为二面角 A1－EF－B 的一个平面角，
由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE。
又 BE EF=E，∴A1E⊥面 BEF，即 A1E⊥面 BEP。
（II）在图 2 中，∵A1E 不垂直于 A1B，∴A1E 是面 A1BP 的斜线，又 A1E⊥面 BEP，∴A1E⊥BP，
∴BP 垂直于 A1E 在面 A1BP 内的射影（三垂线定理的逆定理）
设 A1E 在面 A1BP 内的射影为 A1Q，且 A1Q 交 BP 于 Q，
E
A
1
P
图
F
C
则∠EA1Q 就是 A1E 与面 A1BP 所成的角，且 BP⊥A1Q。
在△EBP 中，∵BE=BP=2，∠EBP=60o，∴△EBP 为正三角形，∴BE=EP。
又 A1E⊥面 BEP，∴A1B=A1P，∴Q 为 BP 的中点，且 EQ= 3 ，而 A1E=1，
∴在 Rt△A1EQ 中，
tan
EQA
1
3
，即直线 A1E
EQ
EA
1
与面 A1BP 所成角为 60o。
（III）在图 3 中，过 F 作 FM 于 M，连结 QM、QF。
∵CF=CP=1，∠C=60o，∴△FCP 为正三角形，故 PF=1，
又 PQ=
1
2
BP=1，∴PF=PQ……①
∵A1E⊥面 BEP，EQ=EF= 3 ，∴A1F=A1Q，
∴△A1FP △A1QP，故∠A1PF=∠A1PQ……②
由①②及 MP 为公共边知△FMP △QMP，故∠QMP=∠FMP=90o，且 MF=MQ，
∴∠FMQ 为二面角 B－A1P－F 的一个平面角。
在 Rt△A1QP 中，A1Q=A1F=2，PQ=1，∴A1P= 5 ，
B
Q
P
图 3
∵MQ⊥A1P，∴MQ=
PQQA
1
PA
1
52
5
，∴MF=
52
5
。
在△FCQ 中，FC=1，QC=2，∠C=60o，由余弦定理得 QF= 3 ，
A
1
E
M
F
C
在△FMQ 中，
cos
FMQ
∴二面角 B－A1P－F 的的大小为
。
QF
2
7
8
，
MF
2
2
MQ
2
MQ
MF
7
arccos
8
[注]此题还可以用向量法来解。（略）
20．（本小题满分 16 分，第一小问 4 分，第二小问满分 6 分，第三小问满分 6 分）
设 a为实数，记函数
x
（Ⅰ）设 t＝
（Ⅱ）求 g(a)
1
)(
xf
1
x
2
1
x
a
，求 t的取值范围，并把 f(x)表示为 t的函数 m(t)
的最大值为 g(a)。
x
x
1
1
（Ⅲ）试求满足
)(
ag
g
)1(
a
的所有实数 a
[考点分析：本题主要考查函数、方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法和综合运
用数学知识分析问题和解决问题的能力]
2
t
1
1
x
x
，
[解]（I）∵
1
0
1
∴要使 t 有意义，必须
x 且
，且 0t
]4,2[
∵
1
2
)(
1
tm
2
122
由①得：
，∴
1
x
x
t
t
2
2
x
1
1
∴t 的取值范围是
)1
at
t
t
2
1
2
]2,2[
。
a
，
]2,2[t
。
（II）由题意知 )(ag 即为函数 )(tm
t
a
，
]2,2[t
的最大值，
x ，即
0
……①
a
2
t
1(
2
2
at
1
2
t
是抛物线 )(tm
2
at
a
的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：
1
2
)(tmy
，
]2,2[t
时，函数
知 )(tm 在
t
∵直线
1
a
（1）当 0a
1
0
a
（2）当 0a
由
t
时，
tm )(
t
，
]2,2[t
，有 )(ag
=2；
的图象是开口向上的抛物线的一段，
]2,2[t
上单调递增，故 )(ag
)2(m
2 a ；
（3）当 0a 时，，函数
，
]2,2[t
的图象是开口向下的抛物线的一段，
)(tmy
2a
2
2
(
a
2
1(a
)0,
2
时， )(ag
1,
2
时， )(ag
]
m
)2(
时， )(ag
m
2
)1(
a
，
a
1
2
a
，
)2(m
2 a 。
若
若
若
t
t
t
1
a
1
a
1
a
]2,0(
即
]2,2(
即
,2(
)
即
综上所述，有 )(ag
=
（III）当
1a
2
时， )(ag
当
2
2
a
1
2
)(ag
a
当 0a
时，
当 0a 时，
要使 )(ag
g
，必须有
此时，
)(
ag
g
(
a
1
2
)
1
2
)
2
2
)
。
2
；
，
1
2
a
2
，故当
a
2
1
2
a
a
2
时，
(2
1
2
a
1
0
a
1
a
a
)1(
a
2
)
a
(,
2
2
(
a
3
2 a
2
1[ a
2,
2
2
1
2
a
g
)
)1(
a
1
1a
a
2a
2
()
a
或
。
)1(
a
)1(
a
g
，∴
1
a
2
a
2(
]1,
2
2a
2
1
2
，故 1a ；
a
时， )(ag
，
2 ；
，由 )(ag
知： 2a
1
，故
1
，从而有
)(
ag
2
或
g
，
1
a
2
2
，即
2
a
)1(
a
2
2
2
，
，
综上所述，满足
)(
ag
21．（本小题满分 14 分）
的所有实数 a为：
2
a
2
2
或 1a 。
设数列 }
证明： }
{ na 、 }{ nb 、 }{ nc 满足：
b
1
n
{ na 为等差数列的充分必要条件是 }{ nc 为等差数列且
b
c
，
2
2
a
a
a
a
n
n
n
n
n
n
3
a
n
b
n
1
（n=1,2,3,…），
2
（n=1,2,3,…）
[考点分析：本题主要考查等差数列、充要条件等基础知识，考查综合运用数学知识分析问
题和解决问题的能力]
[证明] 1 必要性：设数列 }
a
b
n
∴
{ na 是公差为 1d 的等差数列，则：
(
a
n
3
= 1d - 1d =0，
2 n
1
a
a
a
1
)
)
(
)
(
=
2
n
n
n
n
n
b
n
b
1 n
c
n
3
)
a
(
a
a
（n=1,2,3,…）成立；
2)
a
a
a
(
(
1
b
c
n
a
n
2
)
(3
a
3
a
n
2
)
=6 1d （常数）（n=1,2,3,…）
n
n
n
n
1
1
1
又
n
∴数列 }{ nc 为等差数列。
2 充分性：设数列 }{ nc 是公差为 2d 的等差数列，且
∵
2
)
……①
a
a
c
∴
2
n
(2
a
1
1
n
c
3
a
n
①－②得：
a
2
c
2
(
a
a
a
c
)
2
2
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
b
1 n
（n=1,2,3,…），
n
3
2
a
a
3
n
(3
a
a
2
……②
2
b
4
)
b
=
4
n
n
n
n
n
1
3
b
n
2
n
2
)
1
c
)
2
n
n
∵
∴
∵
(
b
c
b
b
0
1
n
2
d
c
2
n
b
……③ 从而有
(
(
c
c
c
2
1
n
n
n
2
3
22d
b
b
2
1
n
n
(
(2)
b
b
b
④－③得：
1
n
n
n
)
0
b
b
b
，
3
1
n
n
n
b
b
（n=1,2,3,…），
∴由⑤得：
1
n
n
3d
bn （n=1,2,3,…），则
a
2 n
由此，不妨设
n
3
2
3
d
a
a
1
4
2
2
a
a
a
1
n
c
c
，
n
⑦－⑥得：
(3)
b
3
n
b
b
n
4
2
3
d
3
a
故
c
n
从而
c
n
a
2
(2
1
n
，
2
0
n
1
a
a
n
n
n
n
1
n
b
n
0
2
a
……⑥
3
5
d
3
n
……⑦
3d （常数）
22d
……④
3
b
3
……⑤
n
2
0
2
b
n
)
2
，
n
a
1
d
2
4
a
1
n
2)
3
1
d
22
n
n
1
1
2
n
1
n
)
c
d
3
(
c
故
a
a
n
n
1
1
n
{ na 为等差数列。
n
∴数列 }
综上所述： }
d
3
（常数）（n=1,2,3,…），
{ na 为等差数列的充分必要条件是 }{ nc 为等差数列且
b
n
b
n
1
（n=1,2,3,…）。
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