2021-2022年江苏南通高一数学下学期期末试卷及答案.doc-资料库

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2021-2022 年江苏南通高一数学下学期期末试卷及答案 zi 一、选择题.本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知 1 2 i A．第一象限〖答案〗C 2．某种彩票中奖的概率为 1   ，则在复平面内，复数 z 对应的点位于 ( C．第三象限 B．第二象限 D．第四象限 ) ，这是指 ( ) 10000 A．买 10000 张彩票一定能中奖 B．买 10000 张彩票只能中奖 1 次 C．若买 9999 张彩票未中奖，则第 10000 张必中奖 D．买一张彩票中奖的可能性是 1 10000 〖答案〗D 3．已知 cos(   ) 4  ，则 sin 2 ( 3 5 A． 7 25 B． 18 25 〖答案〗A  4．已知两个单位向量 a ， b ) C． 7 25  D． 18 25  的夹角为 60 ，若 2   a b     ，则| c 0 c  | ( ) A．3 B． 7 C． 3 D．1 〖答案〗C 5．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，其侧面三角形底边上的高与底面正方形边长的比值为 5 1  4 ，则以该四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥侧面积之比为 ( ) A．1 B． 1 2 C． 1 3 D． 1 4 〖答案〗D 6．已知 ，是两个不重合的平面，m ，n 是两条不同的直线，则下列命题正确的是 ( A．若 m  ， n  ， m n ，则  B．若 / /m ， / /n ， / /m n ，则 / /  C．若 / /m ， n  ， / / ，则 / /m n )

D．若 / /m ， / /n ，  ，则 m n 〖答案〗A 7．已知 ABC 为锐角三角形， AC  ， 2 A  ，则 BC 的取值范围为 (  6 ) A． (1, ) B． (1,2) C． 2 3 3 (1, ) D． 2 3 3 ( ,2) ) B． C 与 D 对立 D． A 与 C 相互独立〖答案〗C 8．一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字 1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字．记事件 A 为“两次记录的数字和为奇数”，事件 B 为“两次记录的数字和大于 4”，事件 C 为“第一次记录的数字为奇数”，事件 D 为 “第二次记录的数字为偶数”，则 ( A． A 与 D 互斥 C． A 与 B 相互独立〖答案〗D 二、选择题.本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分. 9．对于一组数据 2，3，3，4，6，6，8，8，则 ( A．极差为 8 C．方差为 19 4 〖答案〗BCD 10．已知正六边形 ABCDEF 的中心为 O ，则 ( D．40 百分位数是 4 B．平均数为 5 )    OA OB OC OD OE OF          0  B． A． )   AC AF   DE  2 C．存在 R ，   AC AE    AB AF  )  (      D． AD BE AD FC    cos ) | sin x x  cos x | ，则 ( ) 上单调递减  ) | 2 x  时， 1  在[0 ， 2 ] 上有 4 个零点时， 0  ， k Z x 2 a k  2 1a   (sin 〖答案〗BC 12．已知函数 ( ) f x A． ( )  f x 的最小正周期为 2   在[0 ， ] 2 B．函数 ( f x  ) 4 x ( f x C．当 1 | ) |  | ( f x 2  ( ) f x D．当函数 ( ) g x 〖答案〗AC 三、填空题.本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13． 1 tan15  1 tan15    ．  〖答案〗 3 14．已知向量 (0,5) a  〖答案〗 (2,4) 15．写出一个同时具有下列性质①②的复数 z  ， (1, 2)  ，则 a 在 b  b  ．的投影向量的坐标为．

① z 的实部小于 0； ② 4 1 0 z   ．〖答案〗 z   2 2  2 2 i （〖答案〗不唯一） 16．已知菱形 ABCD 的边长为 2，位置，得到四面体 P BCD  ．当二面角 P BD C   60  ．将 ABD 沿 BD 折起，使得点 A 至点 P 的的体  的大小为120 时，四面体 P BCD  DAB 积为 3 2 ；当四面体 P BCD 的体积为 1 时，以 P 为球心，PB 的长为半径的球面被平面 BCD 所截得的曲线在 BCD 〖答案〗 3 2 ， 内部的长为．四、解答题.本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10 分）已知 sin( )     ， (0,  3 5  ) 2 ， (  ， ) ．  2 （1）若 cos （2）若 sin( )   12   ，求 sin； 13   ，求 tan  tan   2 2 3  ) 2 ， ( ．解：（1）因为 (0,   ， ) ，所以  2     ， 3  2 因为 sin( )     ，所以 3 5 cos( )     ， 4 5 因为 cos   ，所以 12 13 sin  ， 5 13 sin   sin[( ]      )  sin(    )cos   sin cos( )     (     3 5 12 13 )  5 13 (   4 5 )  ； 56 65 （2）因为 sin( )     sin cos    sin cos     ， 2 3 又 sin( )     sin cos    所以 sin cos    ， 19 30 3 5     ， sin cos   ，所以 tan tan 1 30 sin cos    sin cos sin cos       ． 19 18．（12 分）立德中学高一年级 800 名学生参加某项测试，测试成绩均在 65 分到 145 分之间，现随机抽取 50 名学生的测试成绩，分 8 组：第 1 组[65 ，75) ，第 2 组[75 ，85) ，，第 8 组[135 ，145] ，统计得到频率分布直方图，如图所示．

a        a  （1）求频率分布直方图中 a 的值；（2）估计学生测试成绩的平均数；（3）估计学生测试成绩的中位数．解：（1）由频率分布直方图中各个小矩形面积之和为 1 可得： (0.004 0.012 0.016 0.020 0.006 0.004 0.004) 10 1  解得 0.034 ．（2）平均数为： 0.004 10 70 0.012 10 80 0.016 10 90 0.034 10 100 0.020 10 110  0.006 10 120 0.004 10 130 0.004 10 140 100.8 （3） 0.04 0.12 0.16 0.5 中位数落在区间[95 ，105) ，设中位数为 x ，则 0.004 10 0.012 10 0.016 10 (  即中位数的估计值为 100.29．， 0.04 0.12 0.16 0.34 0.5  ．  ，  ，解得 100.29 95) 0.034 0.5       ，         x    ，            x           19．（12 分）已知向量 (2cos ,sin  x  a x  2 sin )   b ， (2sin , cos   x x  2 cos )  ．（1）若 / /a  ，求 cos(  b x  ； ) （2）若  ，函数 ( ) f x  4  ( a b x    [0, ])  ，求 ( ) f x 的值域．解：（1）因为 / /a  ，所以 2cos ( cos  x  b x  2 cos ) 2sin (sin   x 即 2 2(cos cos x   sin sin ) 2(sin   x 2 x  2 cos x ) ，则 2 cos( x  ) 1  ，所以 cos( ) x   ； 2 2 （2）因为  ，所以 (2cos ,sin  x  a  4 x  1)  b ， (2sin , cos   x x  2 sin )  ， x  1) ，所以 ( ) f x  4sin cos x x  (sin x  x  1)  3sin cos x x  (sin x  cos ) 1  x   3 2 (sin x  cos ) x 2  (sin x  cos ) x  ，设 sin  t x  cos x ，则 t  2 sin(  ，  1)( cos 5 2  ) 4 x 因为 [0 x  ， ] ，所以 [ 1 t   ， 2] ，设 ( ) g t   23 t 2   ， [ 1 t   ， 2] ， t 5 2 由二次函数性质可得： ( ) g t max g 1 ( ) 3  ， ( ) g t 8 3 g ( 1)   ， 0 min 故 ( ) f x 的值域为[0 ， 8] 3 ． 20．（12 分）甲、乙两人分别对 A ， B 两个目标各射击一次，若目标被击中两次则被击毁，每次射击互不影响．已知甲击中 A ，B 的概率均为 1 2 ，乙击中 A ，B 的概率分别为 1 3 ， 2 5 ．

（1）求 A 被击毁的概率；（2）求恰有 1 个目标被击毁的概率．解：（1） A 被击毁则甲、乙两人均要击中目标，故概率为 1 1 2 3   ． 1 6 （2） B 被击毁的概率为 1 2 2 5   ， 1 5 则 A 被击毁， B 不被击毁的概率为 1 6 (1   1 5 )  ， 2 15 B 被击毁， A 不被击毁的概率为 1 5 则恰有 1 个目标被击毁的概率为 2 15  21．（12 分）在四边形 ABCD 中， ABC (1   1 6   ． 3 10   1 6 )  ， 1 6 DAB ．（1）若  ABC  ，  3 AB  ， 2 CD  ，求四边形 ABCD 面积的最小值； 1 （2）若四边形 ABCD 的外接圆半径为 1，  ABC 解：（1）延长 AD ， BC 相交于点 E ，  (0,  ] 3 ，求 p AB BC CD DA  的最大值．     EAB 的面积为  ， 3 在 ECD 中，  CED CD  ， 1 2 ,  AB  3 3 2  4  3 CD CE   ,   ABC   DAB  ， EAB  2 是边长为 2 的正三角形，由余弦定理得， 2 2  2 DE  2 CE DE   cos  CED ，，的面积的最大值为 3 4 ，即 1  CE 2  2 DE  CE DE CE DE CE DE CE DE 2       则1 CE DE ，（当且仅当 CE DE 1  时，等号成立）  S CED ， ECD  sin   CE DE ECD 的面积 1  2 四边形 ABCD 面积的最小值为 3 4 3 3 4 （2） 四边形 ABCD 存在外接圆， DAB   AB CD ， ABC   ，  四边形 ABCD 为等腰梯形．连接 AC ，设 ABC    ， BAC x 3 4  x   ， DCB   ， 0 DAB ABC        ． 3    ， DCB  / / ，

ABC 在 ABC 的外接圆半径为 1，中，由正弦定理得，   AB 2sin( ) x   ， BC  2sin x AB x    BC sin x )   2 ，  sin( ．同理可得，在 ACD 中，由正弦定理可得， CD   sin( x )  2, CD  2sin(   x ) ，   p AB BC CD DA     16sin 2 x  sin(   x ) sin(    x ) cos  sin ) x  16sin 2 x  (sin cos  x  cos  sin ) (sin cos  x  x   16sin 2 x  (sin 2  cos 2 x  2 cos  sin 2 x )  16sin 2 x  [sin 2  (1 sin  2 x )  2 cos  sin 2 x ]  16sin 2 x  (sin 2   2 sin x ) ，设 2 sin x t ，得 p  16 (sin t 2 t  ， )  0   ， x  3    0 t 2 sin  ，  p  16  t sin 2   t  16  2   sin 2 t  2      4 sin 4 ,(  t 当且仅当  1 sin 2 2  时，等号成立）， t      3 ,( 4  ] 3  3   (0, ， 2 sin  当且仅当   3 时，等号成立）， 当  ,sin x  时， p 取得最大值 6 4 4 (  43 ) 2  ． 9 4 22．（12 分）如图，在直四棱柱 ABCD A B C D 1 1 1  1 中，底面 ABCD 为平行四边形， AD BD  ， 2 AB AA 1  ． 2 （1）证明： BD  平面 ADD A ； 1 1

（2）若点 P 在棱 CD 上，直线 1B D 与平面 1PAA 所成角的大小为． ①画出平面 1PAA 与平面 1 BB D D 的交线，并写出画图步骤； 1 ②求 sin的最大值．（1）证明：因为 AD BD   2, AB AA 1   ， 2 所以 2 AD BD  2  2 AB ，所以 BD AD ，因为四棱柱 ABCD A B C D 1 1 1  1 为直四棱柱，所以 1DD  平面 ABCD ，又 BD  平面 ABCD ，所以 1DD BD ，又 1DD AD D ， 1DD ， AD  平面 ADD A ，所以 BD  平面 1 1 ADD A ； 1 1 （2）解：①过 P 作 PQ C D 1 1 于 Q ，连接 1A Q ， AP 分别交 1 1B D ， BD 于 M ， N ，连接 MN ，则直线 MN 为平面 1PAA 与平面 1 BB D D 的交线； 1 ②由①可知 1 A B DP ， 1 / / 故 1A ， 1B ， D ， P 四点共面，设 1 A P B D O 1 ，则直线 ON 为平面 1PAA 与平面 1BB D 的交线，故 M ， O ， N 三点共线，过 1B 作 1 B H A Q 于 H ，连接 OH ， 1 又 1 B H DD 1 ，且根据线面平行的性质可得 / /MN DD ， 1

故 MN  平面 1 1 A B C D ，所以 1B H MN 1 1 ，又 1AQ MN M  ， 1B H  平面 APQA ， 1 故直线 1B D 与平面 1PAA 所成角为 1B OH ，当 M ， H 不重合，即 P 与 D 不重合时，易得 sin  B H B M 1 B O B O 1  1 1   sin B OM 1   sin B DD 1 1 ，又， 1 B DD 1  均为锐角，故   B DD 1 1 ，当 M ， H 重合时，有 P 与 D 重合，此时由（1） BD  平面 ADD A ，故 1 1B D  平面 1 1 ADD A ， 1 1 故 1 B DD 1  为 1B D 与平面 ADD A 所成角， 1 1 故当 P 与 D 重合时，取得最大值 1 B DD 1  ，  2 3 3 ，  sin  此时 B D 1 1 B D 1 2 2 2  故 sin的最大值为 3 3 ．

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