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高等数学 300 题工学类（第一学期） CQU 高等数学 300 题 1. . 答案：难度等级：1; 知识点：等价无穷小的替换,有理分式函数的极限分析：由于当时, ,于是 2. 设函数在处连续,则 . 答案：2 难度等级：1; 知识点：连续函数定义分析：由于在处连续,由连续定义知 ,而 , 因此解得 3. . 答案：2 难度等级：1; 知识点：数列极限的计算分析： 4. 的水平渐近线为 . 答案： . 1 / 125 xxxx2sin3553lim256xxx2~2sin5635253lim2sin3553lim22xxxxxxxx0 10 121xaxxexfx0xaxf0x00000fffaaxaxxxeaxaxfef11010211lim1lim00,00112.aee2ann24121222lim11111112242242lim222lim2lim22.nnnnnn51xey6y

高等数学 300 题工学类（第一学期） CQU 难度等级：1; 知识点：水平渐近线的定义分析：由 ,知水平渐近线为 5. 答案： . 难度等级：1; 知识点：等价无穷小的替换分析： 6. 设在连续,且存在,则 . 答案：3 难度等级：2; 知识点：函数极限的四则运算法则,连续函数的定义分析：由存在,得到 ,从而 ,另一方面, 由于在连续,于是 . 7. 设当时, 是比高阶的无穷小,而是比高阶的无穷小,则正整数 2 . 答案：2 难度等级：2; 知识点：等价无穷小,高阶无穷小的定义分析：当时, 知 ,故由题意 8. 当时 , 与是等价无穷小 , 则常数 . 2 / 125 65lim1xxe6yxxx2cotlim021212lim2tanlim2cotlim000xxxxxxxxxxf2x23lim2xxfx2f23lim2xxfx03lim2xfx3lim2xfxxf2x3lim22xffx0x21lncos1xxnxxsinnxxsin12xen0x2142~1,~sin,21~1lncos12xexxxxxxxnn231nn0x11312ax1cosxa

高等数学 300 题工学类（第一学期） CQU 答案：难度等级：2; 知识点：等价无穷小的定义,等价无穷小的替换分析：由于当时, , ,于是 ,又与是等价无穷小,所以 ,解得 9. . 答案：难度等级：2; 知识点：两个重要极限分析： 10. 设 ,则 . 答案：难度等级：2; 知识点：夹逼准则分析：由于 ,且 ,故 11. 已知则 . 答案：难度等级：2; 知识点：函数极限的四则运算法则分析：由知, ,从而 ,即 , 故 12. 函数的无穷间断点为 . 3 / 125 230x231231~11axax221~1cosxxaxaxxaxxx322131lim1cos11lim220312011312ax1cosx132a23axxxsin2031lim6e6sin6310sin2031lim31limexxxxxxxxba0nnnnbalimbbbabnnnn2bbnn2limbbannnnlim,23lim0xfxxxxfx2lim012123lim0xfxx633lim0xfxx61lim0xxfx6122lim0xxfx1212lim0xxfx23122xxxxf

高等数学 300 题工学类（第一学期） CQU 答案：难度等级：2; 知识点：无穷间断点的定义分析：由于函数的间断点为且 , ,故函数的无穷间断点为 . 13. . 答案：2 难度等级：2; 知识点：无穷小的性质,第一个重要极限 . 分析： 14. 答案：难度等级：2; 知识点：夹逼准则分析：由且根据数列极限的夹逼准则知,所求数列极限为 . 15. . 答案：难度等级：3; 知识点：第二个重要极限,等价无穷小 4 / 125 2xxf2,1x22111lim231lim1221xxxxxxxxx2111lim231lim2222xxxxxxxxx2xxxxxx2sin1sinlim220220222sinlim1sinlim2sin1sinlim0220220xxxxxxxxxxxnnnnnnnnn2222211lim21121121221121212222222nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn21121lim,2121lim22nnnnnnnnnnn21xxx201ln1lim2e

高等数学 300 题工学类（第一学期） CQU 分析： 16. 设答案： ,则 , . 难度等级：3; 知识点：函数极限的四则运算法则分析：由且 ,有 , 即 ,故 ,代入极限式中 17. 若存在,且 ,则 . 答案：难度等级：3; 知识点：函数极限的计算分析：设 , 则两边求极限得： ,由此 ,即 ,所以 18. 设当与为同阶无穷小 , 则 . 答案：难度等级：3; 知识点：同阶无穷小的定义,等价无穷小的替换分析： , 5 / 125 21ln21ln10201ln1lim1ln1limexxxxxxxxbxxaxxx2632lim232ab11,4babxxaxxx2632lim23202lim2xx0632lim232xaxxx066416a4a1132lim22322lim26342lim2222232xxxxxxxxxbxxxxfxlimxfxxxfxlim2sinxf2sinxxaxfxlimxfxxxfxlim2sinaxxax2sinlim1sinlimxxax1a2sinxxxfxxxxln12312时，nx1n23nununxnxuuuuuuxuxxxxxxxx2300121lim21ln43lim1111ln113lim1ln123lim令

高等数学 300 题工学类（第一学期） CQU 当时,其极限等于 2,故取 19. 曲线上对应于的点处的法线斜率为 . 答案：难度等级：1;知识点：参数方程所确定的函数的求导,导数的几何应用. 分析先利用参数方程所确定函数的求导法则求出导数,再求法线的斜率. 解 ,所求法线的斜率为 . 20. 曲线上与直线垂直的切线方程为 . 答案：难度等级：1; 知识点：导数的几何应用. 分析先求函数的导数为 1 的点,再求切线方程. 解直线的斜率为 ,从而曲线的切线斜率为 1.由 ,得 ,这时 ,即点处的切线与直线垂直,故所求切线方程为 . 21. 已知答案：-2 ,则 . 难度等级：1; 知识点：导数的定义. 分析利用导数定义求出极限,再确定的值. 解 ,故 . 22. 已知 ,则 . 答案：-3 6 / 125 23n23ntyttxcos1 sincos24t12121cossin2sinsindd44ttttttxy12xyln1yx1xy1yx111xy1x01lny)0 , 1(1yx1xy4)()2(lim000hxfhxfh)(0xf)(0xf4)(22)()2(lim2)()2(lim0000000xfhxfhxfhxfhxfhh2)(0xf6)2(fhfhfh2)2()2(lim0

高等数学 300 题工学类（第一学期） CQU 难度等级：1; 知识点：导数的定义. 分析利用导数定义求出极限. 解 . 24. 设函数由方程所确定,则曲线在处的法线方程为 . 答案：难度等级：2; 知识点：隐函数的求导,导数的几何应用. 分析利用隐函数的求导法则先求出导数,再给出曲线的法线方程. 解方程两边同时对求导,得 ,解之得 ,所以 ,法线的斜率为 ,故法线方程为 . 25. 设函数由参数方程所确定,则 . 答案：难度等级：2; 知识点：参数方程所确定的函数的求导,高阶导数. 分析利用由参数方程所确定的函数的求导法则逐阶求出二阶导数. 解 , . 26. 设函数由方程所确定,则 . 答案：难度等级：2; 知识点：导数的四则运算,隐函数的求导,复合函数的求导,微分的定义. 分析利用隐函数和复合函数的求导法则求出导数,再求微分. 7 / 125 3621)2(21)2()2(lim212)2()2(lim00fhfhfhfhfhh)(xfy1)cos(2exyeyx)(xfy1 , 0 xy211x0))(sin()2(2yxyxyyeyx)sin()sin(222xyxexyyeyyxyx2)1 , 0(y21xy211)(xyy23)1ln(ttyttx22ddxyttt)1)(56(25311123dd22tttttxytttttxy)1)(56(11156dd22)(xyyyxxy20dxyxd )12(ln

CQU , 高等数学 300 题工学类（第一学期）解方程两边同时对求导,得 ,解之得当时 ,则 ,故 . 27. 设在处可导,则 . 答案：难度等级：2; 知识点：导数的定义,极限的四则运算. 分析利用导数定义和极限的四则运算求出极限. 解 . . 28. 设在处可导,且 ,则 . 答案：难度等级：2; 知识点：导数的定义,极限的四则运算. 分析利用导数定义和极限的四则运算求出极限. 解 . 29. 设存在,则 . 答案：难度等级：2; 知识点：导数的定义,极限的四则运算. 分析利用导数定义和极限的四则运算求出极限. 解 . 8 / 125 . xyyxyxy1)( 2ln212ln22ln21xyyxyxy0x1y12ln0xy0dxyxd )12(ln)(xf0xxxxfxxfx3)()(lim000)(320xfxxxfxxfx3)()(lim000xxfxxfxxfxxfx)()(31)()(31lim00000xxfxxfxxfxxfxx)()(lim31)()(lim31000000)(32)(31)(31000xfxfxf)(xf0x0)(0xf)()2(lim000xxfxxfxx)(10xf)()2(lim000xxfxxfxxxxfxxfxxfxxfx)()(2)()2(21lim00000)(1)()(21000xfxfxf)(xfhhxfhxfh)3()2(lim0)(5xfhhxfhxfh)3()2(lim0hxfhxfhxfhxfh3)()3(32)()2(2lim0)(5)(3)(2xfxfxf

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