2012年广东高考理科数学试题及答案.doc-资料库

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2012 年广东高考理科数学试题及答案本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设 i 为虚数单位，则复数 5 6i  i  A． 6 5i B． 6 5i C． 6 5i   D． 6 5i   2．设集合 U {1,2 3,4,5,6}  ，， M {1,2,4}  则 MU ð  A．U B．{1,3,5} 3．若向量  BA  (2,3) ，  CA  (4,7) C．{3,5,6}  ，则 BC  D．{2,4,6} A． ( 2, 4)   B． (3,4) C． (6,10) D． ( 6, 10)   4．下列函数中，在区间 (0, ) 上为增函数的是 A． y  ln( x  2) B y   x  1 5．已知变量 ,x y 满足约束条件 2 y     y x     x y  1 1 A．12 B．11 C．3 D．-1 ，则 3  z C． y  1( 2 x ) D． y   x 1 x x  的最大值为 y 6．某几何体的三视图如图 1 所示，它的体积为 A．12 B． 45 C．57 D．81 7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为 0 的概率是 A． 4 9 B． 1 3 C． 2 9 D． 1 9 8．对任意两个非零的平面向量 ,，定义             ．若平面向量 ,a b 满足  a  b  0  ，a 与  b 的夹角     0,  4    n n Z  ，且  和  都在集合 |  2     中，则 a b    

A． 1 2 B．1 C． 3 2 D． 5 2 二、填空题：本大题共 7 小题．考生作答 6 小题．每小题 5 分，满分 30 分．（一）必做题（9～13 题） 9．不等式|  2 |  | x | 1  的解集为___________． x 61 ) x 10． 2 x (  的展开式中 3x 的系数为__________．（用数字作答） 11．已知递增的等差数列 { }na 满足 1 1 a  ， a 3 2 a 2  ，则 4 na  ________． 12．曲线 y  3 x   在点 (1,3) 处的切线方程为__________． 3 x 13．执行如图 2 所示的程序框图，若输入 n的值为 8，则输出 s 的值为_______．（二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中 xoy 中，曲线 1C 和曲线 2C 的参数方程分别为 t x y      t （t 为参数）和     x y   坐标为． 2 cos sin2   （为参数），则曲线 1C 和曲线 2C 的交点 15．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为1，A，B，C是圆上三点，且满足过点A做圆O 的切线与OC的延长线交与点P，则PA= ．  ABC  30  ， A O C P B 图 3 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分 12 分）

已知函数 )( xf  2 cos(   x  ) 6 （其中  ,0 Rx  ）的最小正周期为 10 ．（1）求的值；   （2）设  ,0 ,    2 , f 5(   5  ) 3  6 5 , 5( f  5  ) 6  16 17 ，求 cos(  的值． ) 17．（本小题满分 13 分）某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 4 所示，其中成绩分组区间是： [40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100], (1)求图中 x 的值; (2)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人，2 人中成绩在 90 分以上（含 90 分）的人数记为，求的数学期望． 18．（本小题满分 13 分）  如图 5 所示，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA  平面 ABCD ，点 E 在线段 PC 上， PC  平面 BDE ．（1）证明： BD  平面 PAC ；（2）若 PA  ， 1 AD  ，求二面角 B PC A  的正切值．  2 19．（本小题满分 14 分）

n N ，且 1 , a a * 设数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，满足 2 S n a  1 n  2 n 1  1  ，（1）求 1a 的值；（2）求数列{ }na 的通项公式；（3）证明：对一切正整数 n ，有 1 a 1  1 a 2    1 a n  ． 3 2 20．（本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 C: 2 2 x a  2 2 y b  1( 的点到点 Q(0,2)的距离的最大值为 3．（1）求椭圆 C的方程 a b   的离心率 0) 5, a 3 2 成等差数列． e  ，且椭圆 C上 2 3 （2）在椭圆 C上，是否存在点 ( M m n ，使得直线 : , ) l mx ny 1  与圆 : O x 2 2 y 1  相交于不同的两点 A、B，且 OAB  的面积最大？若存在，求出点 M的坐标及对应的 OAB  的面积；若不存在，请说明理由．） 21．（本小题满分 14 分）设 1a  ，集合 A   x R x {  0}, B   2 x R x { 2  3(1  ) a x  6 a  ， D A B   ． 0} （1）求集合 D（用区间表示）；（2）求函数 ( ) 2 f x  x 3  3(1  ) a x 2  6 ax 在 D内的极值点．

参考答案选择题答案：1-8： DCAAB 填空题答案： CDC 9.    1,   2    10. 20 11. 2 1n  12. y 2 x  1 13. 8 14.  1,1 15. 3 解答题答案 16. （1）  1 5 （2）代入得 2cos 2cos       2  16 17    2  ∵ ,      0,   6 5  sin  3 5   cos  8 17 ∴ cos ,sin   ∴ cos  cos   4 5      15 17 cos     sin sin    4 8 5 17   3 15 5 17   13 85 17. （1）由30 0.006 10 0.01 10 0.054 10 （2）由题意知道：不低于 80 分的学生有 12 人，90 分以上的学生有 3 人 1x  得 0.018 x        随机变量的可能取值有 0,1,2 P   0   2 C 9 2 C 12  6 11 P    1  1 1 C C 9 3 2 C 12  9 22

P   2    2 C 3 2 C 12 6 11 1 22 9 22 0 E  1   ∴ 18. 2   1 22  1 2 （1）∵ PA  平面 ABCD  平面 ∴ PA BD ∵ PC ∴ PC BD ∴ BD  平面 BDE PAC （2）设 AC 与 BD 交点为 O，连OE  平面 ∵ PC ∴ PC OE  平面又∵ BO ∴ PC BO ∴ PC  平面 ∴ PC BE ∴ BEO ∵ BD ∴ BD AC  平面 BDE PAC BOE PAC 为二面角 B PC A  的平面角  ∴ 四边形 ABCD 为正方形 ∴ BO  2 在 PAC 中， OE PA OC AC      OE OE 2 1 3 2 3  BEO BO ∴ tan OE ∴ 二面角 B PC A  的平面角的正切值为 3  3   19. （1）在 2 S n a  1 n  2 n 1  1  中令 1n  得： 2 S 1 a 2  2 2  1 令 2n  得： 2 S a 3 2  3 2  1

a 解得： 2 12 a 3 a  ， 3 16 a  13 又  2 a 2  5   a 1  a 3 解得 1 1 a  （2）由 2 S n a  1 n  2 n 1   1 2 S n 1  a  n 2  2 n  2 1  得 a n  2  3 a n 1  1   2n a 又 1 21, a  也满足 5 a 2 13 a  1 2 成立 n N  对  2  n n 2n  a 所以 1 a n   3 a n  ∴ a 1+2  n n 1   3 ∴ na  n 2  3 n ∴ na  2n 3  n （3）（法一）∵ na  3 n  n 2    3 2 3 n  1   2  3 n 2 3 n    3  2 2 ... 2   n 1   1   3 n ∴ 1 na 1  1 3n ∴ 1 a 1  1 a 2  1 a 3  ... 1 a n 1    1 1 2 3 3 ...   1 1 n 3   1   1    1  1   3  1 3 n         3 2 （法二）∵ a   1 n 1  3 n  2 n 1  2 3 n    2 n 1   2 a n ∴ 1 a n 1  1 1   2 a n 当 2 n  时， 1 a 3 1 1   2 a 2 1 a 4 1 1   2 a 3

1 a 5 1 1   2 a 4 ……… 1 a n 1 na 1   2 1 a  1 n n  2     1 2     1 a 2 累乘得： ∴ 1 a 1  1 a 2  1 a 3  ... 1 a n ...       1 1 5 1 1 2 5 n  2    1 2    1 5    7 5 3 2 20. （1）由 e  2 3 得 2 a b ，椭圆方程为 2 x 23  2 3 y  2 3 b 椭圆上的点到点 Q 的距离 d  2 x   y  2 2   2 3 b  3 y 2   y  2 2  2   y 2  4 y 4 3 b   2  b    y b  当① b   即 1b  , 1 d  max 6 3 b  2  得 1b  3 当② ∴ 1 b   即 1b  , 1b  d max  2 b  4 b   得 1b  （舍） 4 3 ∴ 椭圆方程为 2 x 3 2 y  1 （2） S  AOB 当 AOB    sin 1 2 90  ， AOB OA OB AOB  S 取最大值 1 2 ，  1 2 sin  AOB 点 O 到直线l 距离 d  1 2  m n 2  2 2 ∴ 2 m n 2  2 又∵ 2 m 3 2 n  1 解得： 2 m  3 2 2 , n  1 2

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