姓 名 学 号 专 业 任 课 教 师 南开大学 2016 级信息类一元函数微分学统考试卷 （A 卷） 2016 年 11 月 12 日 草稿区 （说明：答案务必写在装订线右侧，写在装订线左侧无效。影响成绩后果自负。） 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 卷面 成绩 核分 签名 复核 签名 得分 一、选择题(每小题 4 分) （1）函数 )(xf 在点 0x 有极限是函数 )(xf 在点 0x 连续的 ( ): (A) 充分条件; (B) 必要条件; (C)充分必要条件; (D) 不充分，也不必要条件. （2）当 0x 时，下列无穷小量中最高阶的是( ): (A) 22x ; (B) 1 cos x ; (C) 1  x 2  1 ; (D) 33x . （3）极限 lim x  0 ) 1ln( x  2 )1 ( x  的值为（ ）： （A）  ; （B）1; （C）0; （D）-1; (4) 设 )( xf  2 x 1ln(  x ) ，则（3 阶导数） )0('''f 是( ): (A) 6; (B) 5; (C) 4; (D) 3. (5) 曲线 3 y  6 y  2 x 在 )2,2( 处的切线斜率为( ), (A) 1/3; (B) 2/3； (C) 1/2; (D) 1. 二、填空题（每小题 4 分）： /1 （1）设 )( xf  arctan( x   ,0 0 x   ), xx  0 则 )0('f   一 题 得分 二 题 得分 （2）设 )(xf 为可导函数，且 f 1)1('  ，令 )( xF  f /1( x )  2xf ( ) ，则 )1('F （3） lim 0 x  sin3 x e x  )41ln( x (   )1 = (4) 设函数 )( xf  ( xx  )(1 x  2 )....( x  )16 ，则 )0('f 为 , (5) 设 lim [ x  2 x x 1  1   ( ax  b )]  1 ,则 a , b 信息类 A4—1 

姓 名 学 号 专 业 任 课 教 师 （2） lim 0 x  1 x  x 1  x ； 三 题 得分 草稿 三、求下列极限：（每小题 5 分） （1） (cos lim x  1 x  sin3 )1 x x ； （3） lim x  2 ( x  x e ) /1 x 四、求下列函数的导数（每小题 5 分）： （1） 设 y  2 ( x  x )2 x 1  , 求 dy dx ； 四 题 得分 (2) 设 y  )(xy 是参数方程 3 )     x y   1ln(  2 sin t t t 所确定的函数，求 dy dx ； （3）设 y  )(xy 由方程 arctan y x  1 2 2 ln( x  2 y ) 所确定, 求 dy dx 信息类 A4—2 

五、证明下列不等式：（每小题 6 分） （1）当  2  x 1(,0  sin x ) 1ln(  sin x )  x cos ; x 草稿区 五 题 得分 （2）当 x  1ln(2,0  x )  x x  1 x 六、求函数 )( xf  3 2 x  2 3 x  12 x  6 的极值.（本题 6 分） 六题 得分 姓 名 学 号 专 业 任 课 教 师 信息类 A4—3 

姓 名 学 号 专 业 任 课 教 师 七、（6 分）设函数 )( xf  x  0 ,0     x  cos ,1 x  x  0 ，其中 ,  0 ，试分别讨论 , 满足什么条件时， 草稿区 （1） )0('f 存在；（2） f )(' x 在 0x 处连续。 八、(6 分) 设 )(xf 在区间 ]1,0[ 上连续,在 )1,0( 内可导,且 f )0(  ,0 f ,1)1(  证明：（1）存在 )1,0( ，使   1)(f  ； （2）存在不同的 ,  )1,0( ，使 ' f ( 1)  f ( ' ) 七 题 得分 八 题 得分 信息类 A4—4