最大似然估计(Maximum likelihood estimation) 最大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法，即：“模型已定，参数未知”。简单而 言，假设我们要统计全国人口的身高，首先假设这个身高服从服从正态分布，但是该分布的均值与方差 未知。我们没有人力与物力去统计全国每个人的身高，但是可以通过采样，获取部分人的身高，然后通 过最大似然估计来获取上述假设中的正态分布的均值与方差。 最大似然估计中采样需满足一个很重要的假设，就是所有的采样都是独立同分布的。下面我们具体描 述一下最大似然估计： 首先，假设 为独立同分布的采样，θ为模型参数,f 为我们所使用的模型，遵循我们上述 的独立同分布假设。参数为θ的模型 f 产生上述采样可表示为 回到上面的“模型已定，参数未知”的说法，此时，我们已知的为 为: ，未知为θ，故似然定义 在实际应用中常用的是两边取对数，得到公式如下： 其中 称为对数似然，而 称为平均对数似然。而我们平时所称的最大似然为 最大的对数平均似然，即： 举个别人博客中的例子，假如有一个罐子，里面有黑白两种颜色的球，数目多少不知，两种颜色的比 例也不知。我 们想知道罐中白球和黑球的比例，但我们不能把罐中的球全部拿出来数。现在我们可以 每次任意从已经摇匀的罐中拿一个球出来，记录球的颜色，然后把拿出来的球 再放回罐中。这个过程 可以重复，我们可以用记录的球的颜色来估计罐中黑白球的比例。假如在前面的一百次重复记录中，有 七十次是白球，请问罐中白球所占的比例最有可能是多少？很多人马上就有答案了：70%。而其后的理 论支撑是什么呢？ 我们假设罐中白球的比例是 p，那么黑球的比例就是 1-p。因为每抽一个球出来，在记录颜色之后， 我们把抽出的球放回了罐中并摇匀，所以每次抽出来的球的颜 色服从同一独立分布。这里我们把一次 抽出来球的颜色称为一次抽样。题目中在一百次抽样中，七十次是白球的概率是 P(Data | M)，这里 Da ta 是所有的数据，M 是所给出的模型，表示每次抽出来的球是白色的概率为 p。如果第一抽样的结果记 为 x1，第二抽样的结果记为 x2... 那么 Data = (x1,x2,…,x100)。这样， P(Data | M) 

= P(x1,x2,…,x100|M) = P(x1|M)P(x2|M)…P(x100|M) = p^70(1-p)^30. 那么 p 在取什么值的时候，P(Data |M)的值最大呢？将 p^70(1-p)^30 对 p 求导，并其等于零。 70p^69(1-p)^30-p^70*30(1-p)^29=0。 解方程可以得到 p=0.7。 在边界点 p=0,1，P(Data|M)=0。所以当 p=0.7 时，P(Data|M)的值最大。这和我们常识中按抽样中的比例 来计算的结果是一样的。 假如我们有一组连续变量的采样值（x1,x2,…,xn），我们知道这组数据服从正态分布，标准差已知。请 问这个正态分布的期望值为多少时，产生这个已有数据的概率最大？ P(Data | M) = ？ 根据公式 可得: 对μ求导可得 的结果为μ=(x1+x2+…+xn)/n 由上可知最大似然估计的一般求解过程： （1） 写出似然函数； （2） 对似然函数取对数，并整理； （3） 求导数 ； （4） 解似然方程 ,则最大似然估计 注意：最大似然估计只考虑某个模型能产生某个给定观察序列的概率。而未考虑该模型本身的概率。这 点与贝叶斯估计区别。贝叶斯估计方法将在以后的博文中描述 

最大后验估计(MAP) 最大后验估计是根据经验数据获得对难以观察的量的点估计。与最大似然估计类似，但是最大的不 同时，最大后验估计的融入了要估计量的先验分布在其中。故最大后验估计可以看做规则化的最大似然 估计。 首先，我们回顾上篇文章中的最大似然估计，假设 x 为独立同分布的采样，θ为模型参数,f 为我们所 使用的模型。那么最大似然估计可以表示为： 现在，假设θ的先验分布为 g。通过贝叶斯理论，对于θ的后验分布如下式所示： 最后验分布的目标为： 注：最大后验估计可以看做贝叶斯估计的一种特定形式。 举例来说： 假设有五个袋子，各袋中都有无限量的饼干(樱桃口味或柠檬口味)，已知五个袋子中两种口味的比 例分别是 樱桃 100% 樱桃 75% + 柠檬 25% 樱桃 50% + 柠檬 50% 樱桃 25% + 柠檬 75% 柠檬 100% 如果只有如上所述条件，那问从同一个袋子中连续拿到 2 个柠檬饼干，那么这个袋子最有可能是上 述五个的哪一个？ 我们首先采用最大似然估计来解这个问题，写出似然函数。假设从袋子中能拿出柠檬饼干的概率为 p(我们通过这个概率 p 来确定是从哪个袋子中拿出来的)，则似然函数可以写作 由于 p 的取值是一个离散值，即上面描述中的 0,25%，50%，75%，1。我们只需要评估一下这五个 值哪个值使得似然函数最大即可，得到为袋子 5。这里便是最大似然估计的结果。 上述最大似然估计有一个问题，就是没有考虑到模型本身的概率分布，下面我们扩展这个饼干的问题。 假设拿到袋子 1 或 5 的机率都是 0.1，拿到 2 或 4 的机率都是 0.2，拿到 3 的机率是 0.4，那同样上述问 题的答案呢？这个时候就变 MAP 了。我们根据公式 

写出我们的 MAP 函数。 根据题意的描述可知，p 的取值分别为 0,25%，50%，75%，1，g 的取值分别为 0.1，0.2,0.4,0.2,0.1.分别 计算出 MAP 函数的结果为：0,0.0125,0.125,0.28125,0.1.由上可知，通过 MAP 估计可得结果是从第四个 袋子中取得的最高。 上述都是离散的变量，那么连续的变量呢？假设 为独立同分布的 ，μ有一个 先验的概率分布为 写出 MAP 函数为： 。那么我们想根据 来找到μ的最大后验概率。根据前面的描述， 此时我们在两边取对数可知。所求上式的最大值可以等同于求 的最小值。求导可得所求的μ为 以上便是对于连续变量的 MAP 求解的过程。 在 MAP 中我们应注意的是： MAP 与 MLE 最大区别是 MAP 中加入了模型参数本身的概率分布，或者说。MLE 中认为模型参数本 身的概率的是均匀的，即该概率为一个固定值。