2005年江西高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2005 年江西高考理科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第 I 卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4 页，共 150 分．注意事项：第 I 卷 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，临考员将试题卷、答题卡一并收回．参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 球的表面积公式 4 R S  2 如果事件 A、B 相互独立，那么其中 R 表示球的半径 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 球的体积公式 4 R  3 V 3 次的概率 )( kP n  k PC k n 1(  P ) kn  其中 R 表示球的半径一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合 I  ||{ xx ,3|  AZx  },  },2,1{ B  则},2,1,2{ A  （ I B）= （） A．{1} B．{1，2} C．{2} D．{0，1，2} 2．设复数： z 1 1  , zi 2  x (2 Rxi 若 ), zz 21 为实数，则 x= （） A．－2 B．－1 C．1 D．2 3． “a=b”是“直线 y  x 2 ( 与圆 ax  ) 2  ( by  ) 2  2 相切 ”的（） A．充分不必要条件 C．充分必要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 4． ( x  3 12 x ) 的展开式中，含 x 的正整数次幂的项共有 A．4 项 B．3 项 C．2 项 D．1 项 5．设函数 )( xf  3sin x  则 )( xf A．周期函数，最小正周期为 C．周期函数，数小正周期为 2 |,3sin| x  3 为 B．周期函数，最小正周期为 D．非周期函数 2 3 （）（）

6．已知向量 a  ),2,1( b |),4,2(  c |  ,5 ( 若 A．30° C．120° B．60° D．150° cba   ) 5 2 , ca 与则的夹角为（） 7．已知函数 y   )( xfx ( 的图象如右图所示其中  )( xf 是函数 xf )( 的导函数 ) ，下面四个图象中 y  )(xf 的图象大致是（） 8．若 lim 1 x  ( )1 xf  1 x   ,1 则 lim 1 x  f A．－1 B．1 1 x )22( x    （） C．－ 1 2 D． 1 2 9．矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B－AC－D，则四面体） ABCD 的外接球的体积为（ A．  125 12 B．  10．已知实数 a, b满足等式 125 9 1( 2 ) a  C．  125 6 下列五个关系式 1( 3 b ,) D．  125 3 ①0

14．设实数 x, y满足 x x 2      0 2  4   0 y y 2  y 3 , 0 则 y x 的最大值是 . 15．如图，在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中， AB=BC= 2 ，BB1=2， ABC 90 ， E、F 分别为 AA1、C1B1 的中点，沿棱柱的表面从 E 到 F 两点的最短路径的长度为 . 16．以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设 A、B 为两个定点，k为非零常数， | PA |  | PB |  k ，则动点 P 的轨迹为双曲线； ②设定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB，O 为坐标原点，若 OP  1 2 ( OA  OB ), 则动点 P 的轨迹为椭圆； ③方程 2 2 x 5  x  2 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线 2 x 25  2 y 9  1 与椭圆 2 x 35  2 y  1 有相同的焦点. 其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 12 分）已知函数 )( xf  2 x ax  （a，b 为常数）且方程 f(x)－x+12=0 有两个实根为 x1=3, x2=4. b （1）求函数 f(x)的解析式；（2）设 k>1，解关于 x的不等式； )( xf  ( k  k )1  2  x x 已知向量 18．（本小题满分 12 分） x 2 ,0[ ],   是否存在实数 cos 2(  a x , tan(  x 2 )( xf )),  4  使 b  2( )( xf  (0  sin( x  ), 4 2  )( xf 其中  tan( 令 )),  4 x 2 )( xf 的导函数是 )( xf ba  . ?) 若存在，则求出 x的值；若不存在，则证明之. 19．（本小题满分 12 分） A、B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时 A 赢得 B 一张卡片，否则 B 赢得 A 一张卡片.规定掷硬币的次数达 9 次时，或在此前某人已

赢得所有卡片时游戏终止.设表示游戏终止时掷硬币的次数. （1）求的取值范围；（2）求的数学期望 E. 20．（本小题满分 12 分）如图，在长方体 ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点 E 在棱 AD 上移动. （1）证明：D1E⊥A1D；（2）当 E 为 AB 的中点时，求点 E 到面 ACD1 的距离；  4 （3）AE 等于何值时，二面角 D1—EC—D 的大小为 . 21．（本小题满分 12 分）已知数列 }{ na 的各项都是正数 , 且满足 : a 0  ,1 a n 1   1 2 a n 4(,  a n ), Nn  . （1）证明 a n  a n 1   ,2 Nn  ; （2）求数列 }{ na 的通项公式 an. 22．（本小题满分 14 分）如图，设抛物线 yC :  的焦点为 F，动点 P 在直线 2 x : xl  y 2 0 上运动，过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB，且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点. （1）求△APB 的重心 G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.

参考答案 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．C 9．C 10．B 11．D 12．A 14． 3 2 15． 2 3 2 16．③④ 一、选择题 1．D 2．A 二、填空题 13． 2 2 三、解答题 17．解：（1）将 x 1  ,3 x 2  4 分别代入方程 2 x ax  b  x 12  0 得       9 3 ba  16 ba  4  9 解得 8  a   b  1 ,  2  所以 )( xf  2 x  2 x ( x  ).2 （2）不等式即为 2 x  2 x ( k   k )1  2  x x , 可化为 2 x  ( k 2   )1 x x  k  0 即 ( x  )(2 x  )(1 x  k )  .0 ①当 1  k 解集为 x ,2  ),1( k  ,2( ).  ②当 k  ,2 时 ( 不等式为 x  2 ()2 x  )1  0 解集为 x  )2,1(  ,2(  ); ③ ,2 时当  k x 解集为  )2,1(  )  . 18．解： )( xf  ba 22 cos x 2 sin( x 2  tan( x 2   ) 4 tan( x 2   ) 4 ,( k  ) 4   22 cos x 2 2( 2 sin x 2  2 2 cos x 2 )  1  tan 1  tan x 2 x 2  tan 1  x 2 tan 1  x 2  sin2 x 2 cos x 2  2 cos 2 x 2  1  x  . cos sin x  )( )( x f xf 令  )( )( xf x f   可得 x   2 , ,0  即 sin x  cos 2 x : cos x .0   cos x  sin x 所以存在实数 x   2 ,0[ ],  使 )( xf  f )( x  .0

19．解：（1）设正面出现的次数为 m，反面出现的次数为 n，则 | 5| nm     nm    1 9    ，可得： n ;5 当 ;9 ,6 m    所以的所有可能取值为 1 或 m ,1   n ,6   时 .9,7,5: ;7 ; P (   )7  2 C 1 5 1( 2 7 )  5 64 ; 当当 m m   ,5 ,7 n n   0 或 2 或（2） P (   )5    ,5 时 ,7 时 2 32     1 16  5 ) n n ,0 m  ,2 m  1(2  2 5 64    9 5 64 1 16 7  ; 55 64 55 64  275 32 . P (   1)9  E  5  1 16 20．解法（一）（1）证明：∵AE⊥平面 AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E （2）设点 E 到面 ACD1 的距离为 h，在△ACD1 中，AC=CD1= 5 ，AD1= 2 ，故 S CAD  1 1  2 2  15  2  3 2 , S 而 ACE  1  2 AE  BC  1 2 .  V   AEC S  DD 1   AEC 1 3 h 3 2 D 1 1 2  h 1 , 1 3 . 1 3 S  h ,  CAD 1 （3）过 D 作 DH⊥CE 于 H，连 D1H、DE，则 D1H⊥CE， ∴∠DHD1 为二面角 D1—EC—D 的平面角. 设 AE=x，则 BE=2－x 在 DHDRt  1 ,  中  DHD 1  , DH  .1  在 Rt  ADE , 中 DE  1  x , 在 Rt  DHE , 中 EH  x ,  4 2  在 Rt x  DHC 3  中 CH 2 x   4 x 在 ,3 CBE 2 5  Rt  x  2 x  4 x  .5 CE 中 .3  AE  2 ,3 时二面角 D 1  EC  D 的大小为  . 4 解法（二）：以 D 为坐标原点，直线 DA，DC，DD1 分别为 x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，设 AE=x，则 A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2， 0）（1）因为 EDDA , 1 1  ,1(),1,0,1( )1, x  ,0 所以 DA 1  ED 1 . （2）因为 E 为 AB 的中点，则 E（1，1，0），从而 ED 1  ),1,1,1(  AC  )0,2,1( ，

AD 1  )1,0,1( ，设平面 ACD1 的法向量为 n  ), ,( cba ，则     ACn  1ADn  ,0  ,0  也即 0 2 b a  ca   0    ，得 a a      2 b c ，从而 )2,1,2(n ，所以点 E 到平面 AD1C 的距离为 | h  nED  | 1 | n |  212  3  1 3 . （3）设平面 D1EC 的法向量 n  ,( ), cba ，∴ CE  ,1( x  ),0,2 CD 1  ),1,2,0(  DD 1  ),1,0,0( 由  ,0 CDn    1   ,0 CEn    0 2 cb    ( )2 xba     .0 ∴ n  2(  ).2,1, x 令 b=1, ∴c=2,a=2－x，依题意 cos  DDn 1 4 DD 1 | n   | | | |  2 2 | 2 )2 ( x  2  5  2 2 . ∴ x 1 2 3 （不合，舍去）， x 2 2 3 . ∴AE= 2  时，二面角 D1—EC—D 的大小为 3 21．解：（1）方法一用数学归纳法证明： 1°当 n=1 时， a 0  ,1 a 1  1 2 a 0 4(  a 0 )  3 2 ,  4 . ∴ a 0  a 1  2 ，命题正确. 2°假设 n=k时有 a  1 k a k  .2 则 n  k ,1 时 a  a k 1   k 1 2 a k 1  4(  a k 1  )  1 2 a k 4(  a k )  (2 a k 1   a k )  1 2 ( a k 1   a k (  1 2 4)(  a a  a k )( a k 1   a k ) k 1   a k ). k 1   .0 4  a k 1   a k  ,0  a k a k 1   .0 而 a 又 ∴ a n  a k 1  k 1 a  1 k 2 1 k 4(  a k ) k  1 2 (4[  a k  2 ])2  .2 时命题正确. 由 1°、2°知，对一切 n∈N 时有 a n  a 1  n .2

方法二：用数学归纳法证明： 1°当 n=1 时， a 0  ,1 a 1  2°假设 n=k时有 a  1 k a k 1 2  a 0 4(  a 0 )  3 2 2 成立， , ∴ 0  a 0  a 1  2 ； x 4(  x ) ， )(xf 在[0，2]上单调递增，所以由假设令 )( xf 有： ( af )  1 k  1 2 ( af k )  f ),2( 即 1 2 a k 1  4(   1 k a )  4(  a k )  ),24(2  k a 1 2 Nn  1 2 a 也即当 n=k+1 时 a k  a 1  k 2 成立，所以对一切 , 有 a k  1  k 2 （2）下面来求数列的通项： a  1 n 1 2 a n 4(  a n )  1 2 ([  a n  2 )2  ],4 所以 (2 a  1 n )2  ( a n  2 )2 b 令 n  a n  ,2 b 则 n  1 2 2 b 1 n   1 2 1(  2 2 2 b n  2 ) 1  2 1( 2 2 ) 2 2 b 1 n     1( 2 ) 1 n  21  2 n 2 b n , 又 bn=－1，所以 b n  1( 2 ) n 2 1  , 即 a n  2 b n 22．解：（1）设切点 A、B 坐标分别为 ,( xx 2 0 ) ( 和 2 , xx 1 1 1(2  2 x 1 )(( n 2 1  )  x 0 ) ， ∴切线 AP 的方程为： 2 xx 0  y x 2 0  ;0 切线 BP 的方程为： 2 xx 1  y 2 x 1  ;0 解得 P 点的坐标为： x P  x 0 x 1  2 , y P  xx 10 所以△APB 的重心 G 的坐标为 x G   x P x 0  x 1 3  x P ， y G  y 0  y 1 3  y P x 2 0   2 x 1 3  xx 10  ( x 0  x 1 2 ) 3  xx 10 4 x P  y p , 2  3 所以 y p 3  y G  24 x G ，由点 P 在直线 l上运动，从而得到重心 G 的轨迹方程为： x 3(  y  2 4 x 2)  ,0 即 y  1 3 2 4( x  x ).2 （2）方法 1：因为 FA  ( , xx 0 0 2  1 4 ), FP  ( x 0 x 1  2 , xx 10  1 4 ), FB  2 ( , xx 1 1  1 4 ). 由于 P 点在抛物线外，则 | FP .0|

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