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IIR带阻滤波器设计.doc
湖南文理学院课程设计报告
课程名称：
I I R 带 阻 滤 波 器 设 计
教学院部：
电气与信息工程学院
专业班级：
通信工程 08101 班
学生姓名： 林洪湖（ 200816020143 ）
朱明旱
2011 年 6 月 24 日
指导教师：
完成时间：
报告成绩：
评阅意见：
评阅教师
日期
IIR 带阻滤波器设计
1． 设计要求：
用模拟底通滤波器变换成数字带阻滤波器，采用双线性变换法来设计 IIR 带阻滤波器。
-3dB 衰减处的边带频率分别为 f1=20kHz,f2=40kHz,其-15B 衰减处的频率分别为 fs1=28kHz,f
s2=35kHz,采样频率 fs=100kHz。
2． 设计原理：
（1）.步骤：将给出的带阻数字滤波器的性能指标，按双线性变换规则转换成巴特沃斯
模拟带阻滤波器的性能指标。
将得到的带阻滤波器的性能指标变换成模拟底通滤波器的性能指标。这是因为只有模
拟底通滤波器才有图形的表格可资利用。
用所得到的底通滤波器的性能指标，利用某种模拟滤波器逼近的方法，设计并查表求
得巴特沃斯模拟底通滤波器的系统函数，以它作为数字滤波器的“样本”。
用双线性变换法将此作为样本的模拟巴特沃斯底通滤波器的系统函数最终变换成数
字带阻滤波器的系统函数 H（z）。
（2）双线性变换法的原理：
双线性变换法是使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种变换方
法。为了克服多值映射的缺点，需要先把整个 s 平面压缩变换到某一中介的 s1 平面的一
条横带里（宽度为
2,即从
T
到
）再通过标准变换关系 z=e s1t 将此横带变换到整个 z
平面上去，这样就使 s 平面与 z 平面是一一对应的关系，消除了多值变换性，也就消除了
频谱混叠现象，如下图：
j
1j
T/
T/
T1
Tse
1
z
1
双线性变换法的映射关系图
Z平面
e
e
Tj
j
1
单位圆
2
将 s 平面整个 j 轴压缩变换到 s1 平面 j 1 轴上的
到
T
T
一段，可以采用以下变换关系：
= tan(
1
2
)
这样 = 变到 1=
， 0 变到
1
0
，可将上式写成:
j
j
1
2
j
1
2
e
e
j
1
2
e
j
1
2
e
解析延拓到整个 s 平面和 s1 平面，令
j
,
js
=s1,则得
1
s
ts
1
2
ts
1
2
e
e
tsj
1
2
tsj
1
2
e
e
th
s
( 1
2
)
1
1
e
e
s
1
s
1
再将 s1 平面通过以下标准变换关系映射到 z 平面：
从面可得：
z
1se
所以有：
z
s
1
1
1
1
z
z
1
1
s
s
为了使模拟滤波器的某一频率与数字滤波器的任一频率有对应的关系，可心引入待定常数
c,故有：
=c tan(
1
2
)
s =c
th
( 1s
2
)
=c
1
1
e
e
ts
1
ts
1
将
z
1se
代入上式得：
s
c
所以有：
z
1
1
z
z
1
1
s
s
c
c
上面两式是 s 平面与 z 平面之间的单值映射的关系，这种变换称之为双线性变换。
3
不同的方法选择 c 可使模拟滤波器频率特性与数字滤波器频率特性在不同频率处有对应的
关系，也就是可以调节频带的对应关系 。常数 c 的选择有以下两种方法：
①采用使模拟滤波器与数字滤波器在低频处有较确切的对应关系，即在低频处有
1
当 1 较小时有：
故面得到：
c:可得
2
tan(
1
2
)
1
2
1
c
1
2
此时，模拟原型滤波器的低频特性近似等于数字滤波器的低频特性。
②采用数字滤波器的某一特定频率与模拟原型滤波器的一个特定频率 c 严格相对应，
即 ：
c
c
tan(
1
c
2
)
c
tan(
c
2
)
则有 ：
c
c
cot
c
2
这一方法的主要优点是在特定的模拟频率和特定的数字频率处，频率响应是严格相等
的，因而可以较准确的控制截止频率的位置。
由于 s 到 z 之间的变换是简单的代数关系，故用代数转换得到数字滤波器的系统函数
即
)(
z
)(
s
a
a
c
1
1
1
1
z
z
s
1
1
1
1
z
z
也可以先将模拟系统函数分解成并联的子系统函数或级联的子系统函数，使每个子系
统函数都变成低阶的，然后再对每个子系统函数分别采用双线性变换。也就是说，分解为
低阶的办法是在模拟系统函数上进行的，面模拟系统的分解已有大量的图表可以利用，分
解起来比较方便。
4
（3）模拟低通滤波器变成数字滤波器
①由模拟低通到模拟带阻的变换
这一低通到带阻的变换关系为
s
2
0
2
2
0
p
其中 s 为模拟低通原型拉普拉斯变量（s=
j
）,p 为模拟带阻的拉普拉斯变量
（
p
j
）， 0 是模拟带阻滤波器的几何中心频率。令
p
j
代入上式，可得
s
2
0
2
0
2
故 p 平面的虚軕与 s 平面的虚轴相对应，代入 s=j ,可得
2
0
2
0
2
如下图所示,可得出对应频率的关系：
0
,0
c
1
0
2
c
c
0
c
2
0
1
其中 c 为低通滤波器的通带截止频率，故低通的阻带映射到带阻的阻带，如下图：
5
应
响
度
幅
通
低
拟
模
应
响
度
幅
阻
带
拟
模
应
响
度
幅
阻
带
学
数
0
0
0
c
1
20
1
0
2
所以可得到 ：
c
2
0
1
2
2
0
1
c
2
0
2
2
0
2
2
化简可得以下两个关系式：
0
1
2
2
1
2
1
c
其中
2 、 分别为带阻滤波器上、下通带的截止频率，B 为带阻滤波器的阻带带宽。
1
B 与低通原型的带宽 c 成反比。
因此，由模拟低通滤波器确定模拟带阻滤波器的方法有以下两种：
01 定出低级通系统函数
LP
)(s
，而低通的截止频率 c 与带阻滤波器阻带带宽 B 成反
比；
6
02
BR
(
p
)
LP
)(
s
2
0
s
p
2
(
p
2
0
)
② 由模拟带阻到数字带阻的变换
仍利用双线性变换
p
c
1
1
1
1
z
z
③ 由此可得到直接从模拟低通原型滤波器的 s 平面变换成数字带阻滤波器的 z 平面的
表达式
s
2
p
0
2
2
0
p
1
1
1
z
z
1
c
2
0
2
c
1
1
1
1
z
z
2
0
经推导后得
s
2
(
c
2
0
c
2
0
1(
2
c
c
2
21)[
2
z
)
2
0
2
0
1
z
z
2
]
利用双线性变换的频率间关系
tan
2
c
是数字带阻滤波器的数字频率。
由此可得
2
tan
0
2
tan
1
2
2
2
tan
tan
2
2
tan
1
2
c
2
tan
0
2
c
tan
c
tan
1
2
2
2
c
设数字带阻滤波器的阻带中心频率 0 ，则有
c
0
tan 0
2
因而
7
令
所以
又令
c
0
cot
0
2
D
1
2
c
0
2
c
2
0
D
1
c
tan(
1
2
)
2
E
1
2
2
2
c
c
2
0
2
0
所以可心导出
E
1
2
cos
0
2
1
2
cos(
2
1
cos(
2
2
)
)
1
z
2
)
z
2
所以可得：
s
1
因此，从模拟低通系统函数
数：
D
LP
1(
1
zE
1
)(s
，经过上式进一步变换，就可变成数字带阻系统函
BR
(
p
)
LP
)(
s
s
1(
D
z
1
1
1
zE
1
2
z
)
2
数字带阻滤波器的极点数等于模拟低通滤波器极点数的两倍。
令
s
z
j
,
je
。可得
D
1
sin
0
cos
cos
所以有
,0
0
0
8
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