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非线性控制讲义（讲义中存在错误与疏漏之处，阅读时请注意！）哈尔滨工业大学航天学院•控制与仿真中心

目录第 1 章绪论………………………………………………………………………………………..1 第 2 章 Lyapunov 稳定性…………………………………………………………………………13 第 3 章输入输出稳定性………………………………………………………………………….71 第 4 章无源性分析……………………………………………………………………………….95 第 5 章微分几何基础…………………………………………………………………………...111 第 6 章非线性系统的几何描述与坐标变换…………………………………………………...139 第 7 章精确线性化……………………………………………………………………………...159 第 8 章基于坐标变换的控制设计……………………………………………………………...183 第 9 章 Backstepping 设计………………………………………………………………………203 参考文献…………………………………………………………………………………………215

第1章绪论 1.1 非线性系统的概念及非线性控制的必要性线性系统的基本特征是满足叠加原理，即对于一个输入-输出算子 L ，考虑任意的两个输入变量 1u 、 2u 和任意的两个常数 1k 、 2k ，如下关系成立： L k u ( 1 1 + k u 2 2 ) = k L u ( 1 1 ) + k L u ( 2 2 ) 相对于线性系统，任何不满足叠加原理的系统均可称为非线性系统。除了不满足叠加原理这个性质之外，非线性系统并没有统一的性质。正如 M. Vidyasagar 在[1]中指出：The adjective "nonlinear" can be interpreted in one of two ways, namely, "not linear" or "not necessarily linear"，非线性系统理论研究的对象是非线性系统，而将线性系统看作非线性系统的特例，针对一般非线性系统得到的一般性结论，一般来说对于线性系统也是适用的。显然，非线性系统具有非常广泛的涵义。对于一个系统来说，只要系统中至少存在一个非线性环节，则该系统就是非线性系统。对于实际系统来说，很多因素可以导致系统的非线性特性。由于非线性本身包含的内容十分丰富，其来源也相当广泛，如运动体的速度等物理量具有上界而导致的饱和非线性，机械系统的间隙、非线性摩擦、继电器特性等情形。对于控制系统来说，常见的非线性系统包括：线性对象与非线性环节组成的非线性系统（如带有摩擦特性非线性环节的线性系统）、非线性被控对象与控制器组成的非线性闭环系统、线性被控对象与非线性控制器组成的非线性闭环系统（如线性系统的自适应控制和变结构控制）等情形。此外，随着数字控制技术的广泛应用，在数字控制系统中普遍存在着由于 A/D、 D/A 转换而引入的量化非线性特性和饱和非线性特性。线性系统由于满足叠加原理这一特性，许多成熟的数学工具可以应用于对线性系统的研究，目前已经建立起了相对完整的分析和设计体系，如伺服控制（频域矫正）、过程控制（PID 控制）、飞行器控制（最优控制）等。但是，对于非线性系统进行深入的研究，仍是十分必要的。因为非线性系统具有广泛性，更重要的是，很多现象，利用线性模型是无法涵盖的，导致必须建立非线性的分析和设计体系。 1.1.1 线性化方法的局限从严格意义上来说，一切实际的动态系统都是非线性的。线性系统是非线性系统的一种近似的、简化的描述形式，在近似处理的过程中，一般需对系统进行一定的处理，如限定系统的运行范围、省略非线性特性等。而针对非线性系统进行研究，可以更加深入地揭示线性系统理论无法涵盖的非线性现象，并且通过非线性方法可以得到线性控制器无法实现的控制品质，如提高系统的鲁棒性、响应速度等。将非线性系统简化为线性系统，即对非线性系统进行线性近似是有条件的，一般要求系统是在其工作点附近小范围运行的。例 1.1：如图 1-1 所示，考虑一个带有摩擦阻尼的单摆系统，动力学方程描述为 (1.1) 其中 m 为单摆的质量，l 为摆长(假设为无质量的刚性连接)，θ为单摆离开垂直线(平衡位置) 的角度， k 为摩擦阻尼系数， g 为重力加速度。 = − − mg sin θ ml θ θ kl 1

(0.1) x 2 x 1 ) − sin( ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ − g l ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ k m x 2 取 1x θ= ， 2x θ= ，则可得如下非线性的状态空间模型图 1-1 单摆 x = x 1 x 2 ⎡ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎦ = f x ( ) = 对上述系统可以利用线性化方法进行分析。当系统在平衡位置附近小范围运行时，即θ和θ 较小时， sinθ近似等于θ，因此系统(1.1)可近似地写为如下线性模型 x 仍取 1 = θ ml = − mg θ θ kl − xθ θ 2, = ，则可得如下状态空间模型 0 g l x 1 x 2 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎦ = − 1 k m − ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ x 1 x 2 ⎡ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎦ (0.2) (0.3) 线性化分析方法的主要思想是在平衡点附近利用线性模型与非线性模型之间误差较小的特点，利用线性化模型分析非线性系统的性质，如进行稳定性分析，在这里就是对线性化模型 (1.3)、(1.4)进行分析，以便得到原非线性系统(1.2)的性质。容易看出，线性模型(1.4)的平衡点 (0,0) 是稳定的，而非线性模型(1.1)在 (0,0) 也有一个平衡点，是局部稳定的。因此，利用线性化方法可以对系统的平衡点 (0,0) 进行局部稳定性分析。但当系统在大范围运行时，随着线性模型与非线性模型之间的误差的加大，可能导致线性模型失效，即由于线性化模型 (1.4)的状态与原非线性系统(1.2)的状态之间的误差随运行范围的增大而增大。另外，线性模型(1.4)只有一个平衡点，而非线性系统的模型(1.2)在 ( ,0)π 还有一个不稳定的平衡点。 ■ 用线性系统来近似描述非线性系统，实际上是假设所要描述的非线性系统是可以进行线性化的，即在工作点附近要求系统中的非线性项是可导的。对于实际系统中许多非线性环节来说，描述其非线性特性的函数是不可导的，如饱和特性(见图 1-2)和死区特性(见图 1-3)。此外，还存在不连续的非线性特性，如继电特性(见图 1-4)和量化特性(见图 1-5)。一些复杂情况下，有些非线性特性甚至是没有办法用函数关系来描述的，如滞环特性(见图 1-6)。这些非线性特性称为本质非线性。 2

1.1.2 利用非线性特性改善系统的性能线性系统理论目前已形成了完整、成熟的体系，如频域法等分析方法具有明确的物理意义，因而获得了广泛的应用。线性控制器的一个突出优点是实现简单，但是随着计算机技术的发展和数字控制技术的广泛应用，利用数字控制器实现非线性控制规律，与实现线性控制规律没有本质差别。在控制系统设计中，可以通过人为引入非线性环节，来改善系统的特性，如常见的时间最优控制、智能控制、自适应控制、变结构控制等。考虑线性系统的时间最优控制，对控制加以约束，则形成 Bang-Bang 控制，控制形式具有非线性的形式。智能控制中的模糊控制、神经网络等方法本质上都是非线性的。无论是针对线性对象还是非线性对象，利用自适应控制律所构成的闭环系统都是非线性的。滑模控制能够在一定条件下实现对干扰和摄动等不确定性的完全适应性，具有很好的鲁棒性。滑模控制也是一种典型的非线性控制，实际上，只有非线性的（实际上是非光滑的）控制律才能够保证系统状态在有限时间内到达切换面且保持在其上，而线性控制律只能实现对切换面的渐近趋近。图 1-2 饱和特性图 1-3 死区特性 3

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