考研数学公式手册随身看(打印版).pdf-资料库

目录一、高等数学 ...................................................................................... 1 (一) 函数、极限、连续 ..................................................... 1 (二) 一元函数微分学 ......................................................... 4 (三)一元函数积分学 ......................................................... 11 (四) 向量代数和空间解析几何 ....................................... 16 (五)多元函数微分学 ......................................................... 24 (六)多元函数积分学 ......................................................... 30 (七)无穷级数 ..................................................................... 34 (八)常微分方程 ................................................................. 40 二、线性代数 .................................................................................... 44 (一) 行列式 ....................................................................... 44 (二)矩阵 ............................................................................. 45 (三) 向量 ........................................................................... 48 (四)线性方程组 ................................................................. 50 (五)矩阵的特征值和特征向量 ......................................... 51 (六)二次型 ......................................................................... 53 三、概率论与数理统计 .................................................................... 55 (一)随机事件和概率 ......................................................... 55 (二)随机变量及其概率分布 ............................................. 58 (三)多维随机变量及其分布 ............................................. 60 (四)随机变量的数字特征 ................................................. 63 (五)大数定律和中心极限定理 ......................................... 65 (六)数理统计的基本概念 ................................................. 66 (七)参数估计 ..................................................................... 68 (八)假设检验 ..................................................................... 70 经常用到的初等数学公式 ................................................................ 72 平面几何 ............................................................................ 76 考试内容函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形，初等函数，函数关系的建立：数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限与右极限无穷小和无穷大的概念及其 1 2 一、高等数学 (一) 函数、极限、连续公式、定理、概念函数：设有两个变量x 和 y ，变量x 的定义域为 D ，如果对于 D 中的每一个 x 值，按照一定的法则，变量 y 有一个确定的值与之对应，则称变量 y 为变量 x 的函数，记作： yf x= ( ) 基本初等函数包括五类函数: 1 幂函数: = yx ( R m m ) ; 2 指数函数 y a= x ( a > 且 1a „ 0 ); x y = ( loga == yxyxy a > 且 1a „ 3 对数函数: 0 = 4 三角函数:如 sin,cos,tan x 5 反三角函数:如 = == yxyxy arcsin,arccos,arctan x 等. ); 等; 初等函数：由常数 C 和基本初等函数经过有限次四则运算与有限此复合步骤所构成，并可用一个数学式子表示的函数，称为初等函数. = fxAfxfx ) = = A - + 0 0 lim()()( x x 0 ==+ lim()()(),lim() xxx fxAfxAaxa x 0 x 0 0 =其中 0 3(保号定理) fxAA lim(),0(0), x 设 x 0 =><$ A 又或 > 0 则一个 d , -+„> xxxxxfxf xd 时 (,),()0(()0) 当且 00 = lim)0,lim() 设（ a x < d 0 b 0 x = ，或 1 ˛ ﬁ ﬁ ﬁ ﬁ ˛

关系，无穷小的性质及无穷小的比较记为 (x)=o((x)). a b x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) = = ) (2)lim,() a b a (3)lim(0),() b a (4)lim1,() b 若若 a (1)lim0,() b x ( ) = 若则是比（ x ( ) ) a x b x 高阶的无穷小，若则是比（低阶 = ¥ ) a x b x 的无穷小， ccx ) 则与（是同阶无穷小， x a b 则与（是等价的无穷小， a b x x a b 记为 (x)(x) x ( ) a (5)lim(0),0,() 若则是（ x k ( ) b =„ cckx ) > x a b 的k阶无穷小常用的等阶无穷小：当 x ﬁ 时 0 x x sin arcsin x tan x arctan + x ) ln(1 1x e x ,  1cos x  + (1) x 1 1n 1 2  2 x 1 n x 无穷小的性质（1）有限个无穷小的代数和为无穷小（2）有限个无穷小的乘积为无穷小（3）无穷小乘以有界变量为无穷小 Th 在同一变化趋势下，无穷大的倒数为无穷小；非零的无穷小的倒数为无穷大极限的四则运算 fxAgx lim(),lim() B= . = 则 (1) lim(()()) –= – fxgxA B ； (2)lim()( ) fxgxA B =  ； fx ( ) (3)lim(0) gx ( ) A B = B 1 ()()(), j 夹逼定理）设在的邻域内，恒有（ xxfx x 0 f 且 = xx lim()lim() xxx j x 0 A f , 0 = 则 fx lim( ) x x 0 = A 2 单调有界定理：单调有界的数列必有极限 3 两个重要极限： (1)lim 0 x x sin x = 1 + (2)lim(1) x 0 1 ex x = 重要公式： lim x n +++ axaxax a n 01 +++ bxbxbx b m 01 m 1 1 + L 1 + L 1 n m = n m a 0 b 0 0, = n m , < n m > n m , limarctan ﬁ+¥ x x p = 2 4 几个常用极限特例 lim1,n n = n = - x p 2 limarctan x limarccot x x limarccot0, = = x p = ﬁ+¥ x lime0,x xﬁ 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则，两个重要极限： lime xﬁ+¥ x = ¥ , x+ lim1, x ﬁ+ x 0 = 函数连续的概念：函数间断点的类型：初等函数的连续性：闭区间上连续函数的性质连续函数在闭区间上的性质： (1) (连续函数的有界性)设函数 ( ) f x 在[ ],a b 上连续,则 ( ) f x 在[ ],a b 上有界,即 $ 常数 0M > ，对任意的 [ xa b˛ ], ,恒有 ( ) fx M£ . (2) (最值定理)设函数 ( ) f x 在[ ],a b 上连续,则在[ ],a b 上 ( ) f x 至少取得最大值与最小值各一次,即 ,x h 使得: 2 3 „ - - - „ £ £ ﬁ ﬁ ﬁ ﬁ ﬁ - - - ﬁ ¥ - ¥ ﬁ ¥ ﬁ - ¥ ﬁ - ¥ - ¥ $

( ) = ffxa bx ( ) = ffxa bh { max, ax b { min, ax b } ( ) , x } ( ) , h [ [ ] ] ； . 切线和法线 (3) (介值定理)若函数 ( ) f x 在[ ],a b 上连续, m 是介于 ( f a 与 ) f b (或最大值 M 与最小值 m )之间的任一实数,则在[ ( ) ],a b 上至少 $ 一个x ,使得 ( fa ) xm =£ b . ( x ) (4) (零点定理或根的存在性定理)设函数 ( ) f x 在[ ],a b 上连续,且 ( ) faf b ( ) < ,则在( ),a b 内至少 $ 一个x ,使得 0 ( fa x ) ( =< < b 0. x ) (二) 一元函数微分学对应公式、定理、概念 1导数定义： = f x '()lim 0 或 f = x '()lim 0 + fxxf x ) ()(  0 x  0 x x 0 fxf x ()( x  ) x 0 0 （1） x 0 （2）导数和微分的四则运算，初等函数的导数， 0 右导数： 0 0 0 + 0 = 0 0 f x 在 0x 处的左、右导数分别定义为： 2 函数 ( ) 左导数： 0 00 fxxx +D fxxfxfxf x ()()()( ) ) xx ===+ D x ()limlim,( x xx 0 +D fxxfxfxf x ()()()( ) xx x ()limlim 0 xx = 00 f + x + x 0 f x 在 0x 处可微 x Th1: 函数 ( ) Th2: 若函数 yf x= ( ) 在点 0x 处可导，则 f x ( ) 在 0x 处可导 ( ) yf x= 不成立.即函数连续不一定可导. f x¢ 存在 0( = x ()( 0 fxf ) ) + 0 Th3: 4 设函数在处可导 fxxxfxMx y= ()()(, ) 0 切线方程：法线方程: = x yyfxx -'()( 00 yyxxf 00 =- x -(),'()0. ，则在处的 0 0 ) 0 1 0 x '( f ) 0 四则运算法则:设函数 (1) ( (2) ( + vv x= 在点 x 可导则 uu x= ( ) –= duvdudv ( ) duvudvvdu= ( ) ， ( ) + v¢ –= uvu ) ¢= )uvuvvu ()(0)uvuuv ¢ = v (3) v d ( = )uvduudv v 2 v 2 v 基本导数与微分表 (1) y c= （常数） y¢ = 0 dy = 0 (2) y xa= (a 为实数) ¢ = y xaa - 1 dyxdx aa - = 1 (3) y a= x ¢ = ya a lnx dyaadx= lnx 特例 (e) x ¢ = e x ddx = (e) e x x x = dydx 1 a ln ¢ = 1 x x x dxdx (ln ) = 1 x dxxdx = (sin)cos = - dxxdx (cos)sin = 2 sec x dxxdx = (tan)sec 2 csc x dxxdx = - (cot)csc dxxxdx = (sec)sectan dxxxdx = - (csc)csccot (4) ¢ = y 1 ln x a 特例 = y ln x (ln )x (5) (6) (7) (8) (9) (10) = = = = = = y y y y y y sin cos x x ¢ = y ¢ = - y tan x y ¢ = cot x y ¢ =-= - sec csc x x ¢ = yx ¢ = - yx x cos sin 1 cos 2 1 sin 2 x sectan x csccot ¢ = x y (12) = y arccos x ¢ = - y 2 2 dxdx (arcsin ) = dxdx (arccos ) = - 1 1 2 x 1 1 2 x 1 1 2 x 1 1 2 x 5 在点 0x 处连续，反之则 (11) = y arcsin x 考试内容导数和微分的概念左右导数导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的 £ £ ˛ £ £ ˛ £ ﬁ - ﬁ - - - - - D ﬁ ﬁ - - ¢ D - D ﬁ ﬁ - - ¢ D - - ¢ ¢ - - „ ¢ ¢ – – ¢ ¢ ¢ ¢ - „ - - - - -

(13) = y arctan x ¢ = y 1 (14) = y arccot x ¢ = - y (15) yshx= (16) ychx= ¢ = ychx yshx¢ = 2 1 + x 1 + x 1 2 dxdx (arctan ) = 1 dxdx (arccot = - ) dshxchxdx= ( dchxshxdx= ( ) ) 2 1 + x 1 + x 1 2 1 反函数的运算法则: 设 f x¢ 续，在点 x 处可导且 () yf x= ( ) 在点 x 的某邻域内单调连 „ ，则其反函数在点 x 所对应的 0 复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法，高阶导数，一阶微分形式的不变性 = dy dx y 处可导，并且有 1 dx dy 2 复合函数的运算法则:若在对应点 m ( 导,且 ( )x yf = m j= xm j ()( ) dy dx m j= ( )x 在点 x 可导,而 xj (()) = yf y ) f m ( = 在点 x 可 )可导,则复合函数 3 隐函数导数 (1)方程两边对 x 求导，要记住 y 是 x 的函数，则 y 的函数是的求法一般有三种方法： x 的复合函数.例如 1 y ， 2y ， ln y ， e y 等均是 x 的复合函数. 对 x 求导应按复合函数连锁法则做. Fx y (, (2)公式法.由 (,) Fx y x (, dy dxFx y = 知 0 = - y ) ) xFx y¢ ,其中， (, ) ，微分中值定理，必达法则，泰勒公式 yFx y¢ (, ) 分别表示 (, Fx y 对 x 和 y 的偏导数 ) (3)利用微分形式不变性常用高阶导数公式 a=> （1） ()( ) aaa ()ln(0)(e) xnxnxn x e = （2）（3） (sin)sin( ( =+ kxkkx n n n ) n (cos)cos( ( =+ kxkkx n n ) ) ) p 2 p 2 6 （4） = xmm-m-n+ x ()(1)(1) mnm-n ( ) L （5） (ln)(1)n ()(1) x = - n （6）莱布尼兹公式：若 ()( ) n (1)! x n ux,v x 均 n 阶可导，则 uvcu v= ( ) niin-i ()()( ) n i= 0 n ，其中 (0)u= u ， (0)v= v Th1(费马定理)若函数 ( ) f x 满足条件： f x 在 0x 的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有 (1)函数 ( ) fxf x£ ()( ) 0 或 fxf x‡ ()( ) , 0 (2) ( ) f x 在 0x 处可导,则有 f x¢ 0() = 0 f x 满足条件： Th2 (罗尔定理) 设函数 ( ) (1)在闭区间[, ]a b 上连续； (2)在 (, )a b 内可导，则在 (, )a b 内 $ 一个x ，使 Th3 (拉格朗日中值定理) 设函数 ( ) (1)在 [, ]a b 上连续；(2)在 (, )a b 内可导；则在 (, )a b 内 $ 一个 x ，使 fbf a ()( ) f x 满足条件： = 0 f x¢ () ¢= f ( ) x b a Th4 (柯西中值定理) 设函数 ( ) (1)在[, ]a b 上连续；(2)在 (, )a b 内可导且 ( ) 则在 (, )a b 内 $ 一个 x ，使 f x ， ( )g x 满足条件： f x¢ ， ( ) = f fbfa ()()( ) gbga ()()( ) g x x g x¢ 均存在，且 () g x¢ 0 洛必达法则：法则Ⅰ ( 0 0 ( ) = fxg x lim0,lim xxx x 0 型)设函数 ( ) fxg x , ( ) 满足条件： ( ) = ; ( ) fxg x , ( ) 在 0x 的邻域内可导 0 0 (在 0x 处可除外)且 ( ) g x¢ 0 ; lim x x 0 ( ) f x ¢ 存在(或 ¥ ( ) g x ).则 ( ) x fxf = limlim ( ) gxg x xxx x 0 ( ) ( ) . 0 7 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ - - - - „ ¢ - ¢ - ﬁ ﬁ „ ﬁ ¢ ﬁ ﬁ ¢ ¢

法则 I¢ ( 0 0 ( ) = fxg x lim0,lim x 型)设函数 ( ) fxg x , ( ) 满足条件： ( ) 0 x = ; $ 一个 0X > ,当 x X> 时, ( ) fxg x , ( ) 可导,且 ( ) g x¢ ( ) f x ¢ 存在(或 ¥ ( ) g x 0 ; lim x x 0 ).则 ( ) fxf x = limlim ( ) gxg x xxx x 0 ( ) ( ) . 0 法则Ⅱ( ¥ 型) 设函数 ( ) fxg x , ( ) =¥= ¥ ; fxg x lim,lim xxx ( ) x 0 0 ( ) 满足条件： ( ) fxg x , ( ) 在 0x 的邻域内可导(在 0x 处可除外)且 ( ) g x¢ 0 ; lim x x 0 ( ) f x ¢ 存在(或 ¥ ( ) g x ).则 ( ) fxf x = limlim ( ) gxg x xxx x 0 ( ) ( ) . 0 同理法则 II¢ ( ¥ 型)仿法则 I¢ 可写出 f x 在点 0x 处的某邻域内具有 1n + 阶导泰勒公式: 设函数 ( ) 数，则对该邻域内异于 0x 的任意点 x ，在 0x 与 x 之间至少 $ 一个x ，使得 =+-+- fxfxfxxxfxx ()()()()()( x 0000 + ) 0 +- ( f x ( n ) + 0 n ! ) ()( ) xxR x n 0 1 2 ! n 2 L 其中 Rxx ()( n = x x+ f ( ) n (1) ) + n (1)! n + 1 称为 ( ) f x 在点 0x 处的 n 阶泰勒余 0 项.令 0 x = ，则 n阶泰勒公式 0 =++++ fxffxfxxR x ()(0)(0)(0)( ) 1(0) + 2! 2 L ( f n ) n ! n n ……(1) 函数单调性的判别，函数的极值，函数的图形的凹凸性，拐点 = Rx n ( ) 其中 x+ f ( ) n (1) x + n (1)! x = 处的泰勒公式常用五种函数在 0 0 + 1 n ，x 在 0 与 x 之间.(1)式称为麦克劳林公式 x e =++++ xxx 1 21 + 2!!(1)! L e 1 n 或 =++++ 1( 1 xxxo x ) 2! 2 + L n 1 n ! =-+++ sinsinsin( xx 31 x 3!!2(1)! ) L xnx n + n 2 + x n 1 + n x n p n + n n 1 + n 或 =-++ 1 xxo x 3!! 3 =-+++ cos1coscos( x 或 ln(1)(1) +=-+-+- xxx 2 ) x L 1 2!!2(1)! 211cos( =-++ ) 2!! 11(1) + x 23 23(1)(1 xo x +L 2 x n xnx n + n n n p ) sin( n p 2 + n n 1 + n +L 2 n p x n n 1 n L ) x x + 1 p + 1 p n x nn n n x n n x + + 1 x n + 1 + n n n 或 (1) +=+++ xmxx m 1 + =-+-+- 1 xxxo x 2 23 1 + 3 - + (1)(1)(1) 2! mmmmm n 2 + - + mmm n (1)(1) L + n (1)! L (1)( 1 n ) L x L n ! x +- nm n (1 1 + x ) 1 或 (1) +=++ xmx m 1 m m (1) + x 2 ! 2 L + + mmm n (1)(1) L n ! 1 函数单调性的判断： + xo x n ( n ) Th1 设函数 ( ) （或 '() f x 在 (, )a b 区间内可导，如果对 f x > 0 f x 在 (, )a b 内是单调增加的（或单调减少），都有 '() xa b (, ) x < ），则函数 ( ) 0 f Th2 （取极值的必要条件）设函数 ( ) f x 在 0x 处可导，且在 0x 处取极值， 8 9 ﬁ ¥ ﬁ ¥ „ ﬁ ¢ ﬁ ﬁ ¢ ¢ ¥ ﬁ ﬁ „ ﬁ ¢ ﬁ ﬁ ¢ ¢ ¥ ¢ ¢ ¢ - ¢ ¢ ¢ - - - - - - - - - - " ˛

及渐近线，用函数图形描绘函数最大值和最小值， x = . '() 则 0 0 f Th3 （取极值的第一充分条件）设函数 ( ) x = （或 ( ) f x 在 0x 处连续，但 0 '() ) 且 0 f x 在 0x 的某一邻域内可微， f x 不存在.） '( 0 f f (1)若当 x 经过 0x 时， '( ) (2)若当 x 经过 0x 时， '( ) (3)若 '( ) x 经过 x f f x 由“+”变“-”，则 0( x 由“-”变“+”，则 0( f x 为极大值； ) f x 为极小值； ) x= 的两侧不变号，则 0( f x 不是极值. ) 0 Th4 ( 取极值的第二充分条件 ) 设 ( ) f x = ，则当 '() 0 f x 在点 0x 处有 ''() 0 ) x > 时， 0( ''() x < 时， 0( ''() f f x 为极大值； f x 为极小值. 当 0 0 ) f f 0 0 x „ ，且 0 弧微分，曲率的概念，曲率半径 Th3 (拐点的判别定理 2)设 ( ) f x = ， '''() ''() x „ ，则 0 (,())xf x 0 0 f 0 为拐点 f x 在 0x 点的某邻域内有三阶导数，且 1.弧微分： dSydx= + 1' . 2 2.曲率：曲线 yf x= ( ) 在点 (, )x y 处的曲率 k = y '' + y (1' ) . 3 22 对于参数方程 x y = = j y t ( ) t ( ) , k = 3.曲率半径：曲线在点 M 处的曲率 (0) 2 t ttt '()''()''()'( ) jyj y + t ['()'()] j y k k „ 与曲线在点 M 处的曲率半径 t . 2 3 2 注：如果 f ''() 0 x ＝，此方法失效. 0 2 渐近线的求法： r 有如下关系： r = 1 . k (1)水平渐近线若 lim( ) fx ﬁ+¥ x = ，或 lim( ) b fx x = ，则 y b b= 称为函数 yf x= ( ) 的水平渐近线. (2)铅直渐近线若 f x lim( ) x x 0 = ¥ ，或 f x lim( ) x + x 0 = ¥ ，则 x x= 0 称为 yf x= ( ) 的铅直渐近线. (3)斜渐近线若 abfxax f x ( ) == lim,lim[() x x ] x yax b= + 称为 yf x= ( ) 的斜渐近线 3 函数凹凸性的判断：，则 Th1 (凹凸性的判别定理）若在 I 上 ''() f x < （或 ''() 0 f x > ）， 0 则 ( ) f x 在 I 上是凸的（或凹的）. Th2 (拐点的判别定理 1)若在 0x 处 ''() f x = ，（或 ''( ) x 不存 0 f (三)一元函数积分学考试内容对应公式、定理、概念基本性质原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质基本积分公式 1 2 kfxdxkfxdx= ()( ) （ 0 k „ 为常数） fxfxfxdxfxdxfxdxfxdx [()()()]()()( ) k 121 2 L –=– L k 3 求导：[()]'( ) fxdxf x = 或微分： ()( ) dfxdxfxdx = 4 FxdxFx C= '()( ) + 或 dFxFx C= ()( ) + （ C 是任意常数） = k 1 C + 1 1 =- + x k + 1 + （ k „ - ） 1 C dxx C 2 = + 1 x xdxx k dx 1 x 2 1 x dxx C ln = + 在），当 x 变动经过 0x 时， ''( ) x 变号，则 0 (,())xf x f 10 为拐点. 0 xa x =+>„= adxCaadx xx a ln + C (0,1)e e 11 ﬁ - ¥ - ﬁ ﬁ ﬁ ¥ ﬁ ¥ - - – – – –

=+=- cossinsincos + xdxxCxdxx C 1 cos 2 1 sin 2 1 sin 1 cos x x + dxxdxx C sectan 2 == dxxdxx C 2 + csccot ==- x x + dxxdxxx C csclncsccot ==- dxxdxxx C seclnsectan ==+ + sectanseccsccotcsc xxdxxCxxdxx C =+=- tanlncoscotlnsin xdxxCxdxx C =-+= + + (4)sincos p 2 0 n = xdxxdx p 2 0 n p 5sincossincos = nxmxdxnxmxdx （） - p n n 13  13  n n n n n n 2 p 0 sincossincos = nxmxdxnxmxdx coscoscoscos == nxmxdxnxmxdx p p- p p 2 p 0 0 p = 0 2 0 L  1 22 2 2 2 1, L  3 p , 当为偶数 n 当为奇数 n = , p 0, = n m n m = = n m , p n m 0, 1．定积分的基本性质 (1) 定积分只与被积函数和积分限有关，而与积分变量无关，即 bb b fxdxftdtfudu== ()()( ) a L = aa (2)()( )b fxdxfxdx= - a a b (3) b a dxb a= - bb –= (4)[()()]()( ) fxgxdxfxdxgxdx b a aa b (5)()() a kfxdxkfxdx k= ( b a 为常数） bc (6)()()( ) b fxdxfxdxfxdx= c aa + (7)()(),[,],()() . 比较定理：设 fxgxxabfxdxgxdx 则 b a b a 推论：1.当 fxxabfxdx ()[,]()0; 0, b 2.|()||() | fxdxfxdx£ a b 时， a b a 估值定理：设其中 mfxMxabm M (8)(),[,], , mbafxdxMb a ()()( ) b a 为常数，则 13 1 arctanarctan + =+= a a Cx C x 1 2 + =+= + Cx C arcsinarcsin a + 11 =+= aax 22 1 lnln 1 x C + =+– ln + xxa 2 C 2 x 1 2 x 1 2 dxxdx + ax 22 dxxdx ax 22 dxaxdx ax 22 dx 2 2 x a 重要公式 (1)()[, ]fxl l 设在上连续，则 l l =+ fxdxfxfxd x ()[()()] l 0 + x C 定积分的概念和基本性质，定积分中值定理 = 当（）为奇函数 l 0 , 2() 0 x f fxdxf , x 当（）为偶函数（）设（）是以为周期的连续函数，为任意实数，则 fxT a 2 + aT a T fxdxfxdxfxdx ()()() 0 = . (3 ) a 0 axdx 22 = a 1 2 4 p T 2 T 2 = 12 - - - - - - – - - - - - - - - - - - „ - „ – £ ˛ £ ‡ ˛ ‡ £ £ ˛ - £ £ -

x 一个 2．定积分换元法: 设函数（）在［，］上连续，若＝（）满足： j fxabx t (1)( ) 在［，］上连续，且 t jab j t '()0. aab (2)()() jjba j（）的值在［，］上变化，则 ta b= . b = t 并且当在［，］上变化时， b a fxdxfttd t ()[()]'() = . b a j j 分部积分公式 uxvxabuxv x 设（），（）在［，］上具有连续导函数 '(),'(), 则 a uxvxdxuxvxvxuxdx= ()'()()()|()'( ) a a b b 3．定积分不等式证明中常用的不等式 >+ (1) abab+ a (2)0, 2 2 2 b a 1 2 a ) (9)()[,][,] 积分中值定理：设在上连续，则在上至少 fxaba b , x 使 b a = fxdxba f ()()( ) x =- ffxdx ()( ) 1 b a b a 平均值公式 Th1 设函数（）在，上连续，，， ] fxabxa b [][ = x Fxftdt x ( ) （）对可导 a 则变上限积分且有 == '()()(())( d FxFxftdtf x ) dxdx d x = a 推论 1 设 ( j FxftdtFxfx a ()(),'()[()]'(). = ) x x 则 = j j  j 推论2 ( ( f ( x ) x ) ftdtfxxfx x ())[()]'()[()]'( ) ' jjf x = 推论 3 j x ()( ) (()())(()() ftgxdtgxftdt ) a = ' x = x ( j gxftdtgxfx ) '()()()[()]'( a ) x + f j x a j j   ' x Th2 x a 积分上限的函数及其导数，牛顿——莱布尼兹公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法设 fxabxa b (), 在 [ ]上连续， [], 则 , (3)柯西不等式： fxdtfxa b ] ()()[, 是在上的一个原函数 bb (()())()() b fxgxdxfxdxgxdx 22 a aa , ( ) (  2 Th3 , 牛顿-莱布尼茨公式:设在[ fxa b () ]上连续， ( )F x f x是的原函数，则 ( ) fxdxFxFbF a== ()()|()( ) b a b a 1 不定积分：分部积分法： udvuvvdu= dv，求导简单者选为 u 选择 u，dv 的原则：积分容易者选作换元积分法：设 fuduFu ()() C= , + 则 fxxdxfxd [()]'()[()]( jjj x ) j ==+= uxfuduFuCFx ()()()[()] j 设 = + C 14 j 其中（），（）在［，］上连续 fxgxa b 有理函数，三角函数的有理式和简单无理函数的积分，广义积分和定积分的应用 1．三角函数代换函数 ( ) f x 含根式所作代换三角形示意图 2 a x- 2 = xa t sin 2 a x+ 2 = xa t tan 2 x a- 2 = xa t sec 15 $ - - - - - ˛ - ˛ - - „ - ‡ ‡ £

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