2003年江苏扬州大学高等代数考研真题.doc

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2003 年江苏扬州大学高等代数考研真题一. (15 分)设矩阵 A  23 58       ,求矩阵 A 的伴随矩阵 *A 和逆矩阵,并将 A 表示成对称矩阵与反对称矩阵的和,证明奇数阶反对称矩阵的行列式等于零. 二. (15 分)设 f 3  3 )(  3   ,矩阵 A  751 910 100           ,计算 (Af ) ,矩阵 A 能否相似于对角阵,为什么? 三. (15 分)设有向量组:  1 ],2,1,0,01[   2 ],1,0,1,2[  3 ],3,2,1,0[   4 ],3,1,2,3[   5 ]7,4,4,2[  , 求向量组的秩及一个极大无关组,并将其余向量用极大无关组线性表示. 四. (15 分)设三阶方阵 A 的特征值为 ,2,1,0 AB  2  2 A  2 E ,这里 E 是单位矩阵,求 B 的特征多项式和伴随矩阵 *B 的行列式;设 AC  2  2 EA  ,计算 BC ,由此求出 B 的逆矩阵,并表示成 A 的多项式. 五. (15 分)设 A  3 2  2      01  1 1 41       ,求 A 的伴随矩阵 *A , A 的行列式 A , A 的逆矩阵 1A 及

逆矩阵的伴随矩阵 ( A *1) . 六. (15 分 ) 设 V  { ba  2  c 3  d |6 , , dcba , } 为有理数是有理数域上的线性空间 , u 2  3 , 写出 6,3,2,1 到 ,1 2, , uuu 3 的过渡矩阵 , 并求 ,1 2, , uuu 3 到 6,3,2,1 的过渡矩阵. 七. (15 分)解下列含参数 a 的线性方程组: 3 x   1  2 x   1  x  1   ax 2 3 x 2 2 x  2   8 x 3 5 x 3 3 x  3 4 1   2 a 2 a a  八. (15 分)设 A 为三阶实对称矩阵, A 的特征值为 ,1 3  1   2  ,2 , 1  T]2,1,2[ 和 2  T]0,1,1[ 是 A 的特征值为 1 的两个线性无关的特征向量 ,求正交矩阵 P ,使得 P 1 AP 为对角阵,并求出矩阵 A . 九. (15 分)设矩阵 A 的初等因子组为: (   2 (,)1   2 (,)1   3 ,)1   (,1  2 (,)1   2 )2 . 写出该矩阵的不变因子组 , 最小多项式及下列矩阵的秩: AEAEA   , ,  ,2 AE  2 E (不必证明) 十. (15 分)已知 n 阶实对称矩阵如下

An  a 1          1 a  a 1          1 a 确定 a 的取值范围,使得 3A 正定;证明:当 2a 时,对所有正整数 n , nA 均正定.

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