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2004年河南高考文科数学真题及答案.doc
2004 年河南高考文科数学真题及答案
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分. 共 150 分. 考试时间 120 分钟.
第 I 卷（选择题 共 60 分）
2R
球的表面积公式
S=4
其中 R 表示球的半径，
球的体积公式
3
4 R ，
3
其中 R 表示球的半径
参考公式：
如果事件 A、B 互斥，那么
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件 A、B 相互独立，那么
P（A·B）=P（A）·P（B）
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么
n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
V=
Pn(k)=C k
n Pk(1－P)n－k
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分
新疆
王新敞
奎屯
.
1．设集合 U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则 A∩（ UC B）= （
）
A．{2}
2．已知函数
)(
xf
B．{2，3}
x
x
若
,
1lg
1
1
2
C．{3}
D． {1，3}
,
则
f
(
a
)
A．
1
2
均为单位向量，它们的夹角为 60°，那么|
B．－
C．2
3．已知 ,a b
D．－2
3a
b
|=
)(
af
1
2
A． 7
B． 10
C． 13
D．4
4．函数
y
x
1 1(
x
的反函数是
1)
A．
y
2
x
2
x
(2
x
)1
B．
y
2
x
2
x
(2
x
)1
C．
y
2
x
(2
xx
)1
D．
y
2
x
(2
xx
)1
5．
2(
3
x
7
)1
x
的展开式中常数项是
B．－14
若
sin 则
2
cos(
3
5
,
1
5
B．
C．42
)
4
=
C．
7
2
D．－42
D．4
（
）
（
）
（
）
（
）
（
）
A．14
6．设
,0(
)
2
7
5
2
x
4
A．
7．椭圆
他身背三角架，手拎仪器箱，每天起早贪黑，晴天一身汗，雨天一身泥，晚上记录复核到深夜建设新时代高素质专业化干部队伍，要坚持严管与厚爱相结合，政治上激励、工作上支持、待遇上保障、心理上关怀，增强干部的荣誉感geographiclocationYibincityislocatedinbeautifulrichof"abundance"--SichuanbasinSouthmargin,islocatedinn103°39'-105°20',latitude27°49'-29°16'Zhijian;YibinEastand,Luzhoucity,adjacent;Northandzigongcitydevelopment12thafiveyearsplanningplatformforintoYucityintertracknetworkplanning(2011-2030)nationalandplaceofrelatedplanning,andpolicyYibinCitytourismdevelopmentplanningYibincityeasecityholdblockingspecialplanningYibincityrelatedtabletsdistrictcontrolsexdetailedplanningYibincitypublictrafficdevelopmentplanningYibincitylandusinggeneralplanningYibincityindustrialconcentrateddistrictlayoutplanning1.4planningbackgroundYibincityinsandsRiver,andminjiangRiverandYangtzeRiverofSanjiangintersectionat,isChinafamousof"wineare",belongstochuan,andYunnan,andGuizhouthreeprovincecombinedDepartmentarea,knownas"YangtzeRiverCity,"said,is"inpanxi-liupanshui"importantpartoftheresource-richregion.Inthenewmasterplan,asthenationalhistoricalandculturalcityinYibincity,China,DepartmentofSichuan-Yunnan-Guizhou-basedregionalcenterintheupperreachesCountiesare:Yibin,andJiang'an,andchangningCounty,andGaoPingshanCounty,xingwenjunlian,andGong,and,and,and.2.1-2administrativemapofYibin,Yibincity,endof2014thecity'stotalpopulationof5.5429millionpeople,residentpopulationof825,000peopleintheCenter.2.1.3socialeconomicdevelopmentinYibincity,2014toachieveGDPof144.381billionyuan,anincreaseof8%,keepingthetotalprovince-4thplace;localpublicbudgetincomeof10.56billionyuan,ranking4thplace,above-scaleindustrialaddedvalueof78.716billionyuan,ranking3rdinsocialretailsalesofconsumergoodstotaled56.169billionyuan,ranking4thin24990Yuanofdisposableincomepercapitaofurbanresidents,percapitanetincomeoffarmers9831,Share12314.5:60.0:25.5.Wine-makingindustry,
2
y
1
的两个焦点为 F1、F2，过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，一个交点
为 P，则
|
|
2PF =
（
）
A．
3
2
8．设抛物线
y
B． 3
C．
7
2
D．4
2 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线
8
x
]
B．[－2，2]
C．[－1，1]
D．[－4，4]
（
）
l 的斜率的取值范围是
A．
1[
2
1,
2
)
6
9．为了得到函数
y
sin(
2
x
的图象，可以将函数
y
cos
2
x
的图象
（
）
A．向右平移
C．向左平移
6
6
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
D．向左平移
3
3
个单位长度
个单位长度
10．已知正四面体 ABCD 的表面积为 S，其四个面的中心分别为 E、F、G、H，设四面体 EFGH
的表面积为 T，则
A．
1
9
T
S
等于
B．
4
9
（
）
C．
1
4
D．
1
3
11．从 1，2，……，9 这九个数中，随机抽取 3 个不同的数，则这 3 个数的和为偶数的概率是
A．
5
9
a
12．已知
2
A． 3 －
B．
2
,1
b
2
2
c
4
9
2
,2
c
2
a
B．
1
2
－ 3
b
1
2
C．
11
21
ab
1
2
则,2
C．－
（
）
D．
10
21
bc
ca
的最小值为
（
）
－ 3
D．
1
2
+ 3
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中横线上.
13．不等式 x+x3≥0 的解集是
.
14．已知等比数列{
,}
an 中
a
3
,3
a
10
,384
则该数列的通项 na =
.
15．由动点 P 向圆 x2+y2=1 引两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B，∠APB=60°，则动点 P 的轨迹方程
为
.
16．已知 a、b 为不垂直的异面直线，是一个平面，则 a、b 在上的射影有可能是
.
①两条平行直线
③同一条直线
②两条互相垂直的直线
④一条直线及其外一点
在一面结论中，正确结论的编号是
（写出所有正确结论的编号）.
他身背三角架，手拎仪器箱，每天起早贪黑，晴天一身汗，雨天一身泥，晚上记录复核到深夜建设新时代高素质专业化干部队伍，要坚持严管与厚爱相结合，政治上激励、工作上支持、待遇上保障、心理上关怀，增强干部的荣誉感geographiclocationYibincityislocatedinbeautifulrichof"abundance"--SichuanbasinSouthmargin,islocatedinn103°39'-105°20',latitude27°49'-29°16'Zhijian;YibinEastand,Luzhoucity,adjacent;Northandzigongcitydevelopment12thafiveyearsplanningplatformforintoYucityintertracknetworkplanning(2011-2030)nationalandplaceofrelatedplanning,andpolicyYibinCitytourismdevelopmentplanningYibincityeasecityholdblockingspecialplanningYibincityrelatedtabletsdistrictcontrolsexdetailedplanningYibincitypublictrafficdevelopmentplanningYibincitylandusinggeneralplanningYibincityindustrialconcentrateddistrictlayoutplanning1.4planningbackgroundYibincityinsandsRiver,andminjiangRiverandYangtzeRiverofSanjiangintersectionat,isChinafamousof"wineare",belongstochuan,andYunnan,andGuizhouthreeprovincecombinedDepartmentarea,knownas"YangtzeRiverCity,"said,is"inpanxi-liupanshui"importantpartoftheresource-richregion.Inthenewmasterplan,asthenationalhistoricalandculturalcityinYibincity,China,DepartmentofSichuan-Yunnan-Guizhou-basedregionalcenterintheupperreachesCountiesare:Yibin,andJiang'an,andchangningCounty,andGaoPingshanCounty,xingwenjunlian,andGong,and,and,and.2.1-2administrativemapofYibin,Yibincity,endof2014thecity'stotalpopulationof5.5429millionpeople,residentpopulationof825,000peopleintheCenter.2.1.3socialeconomicdevelopmentinYibincity,2014toachieveGDPof144.381billionyuan,anincreaseof8%,keepingthetotalprovince-4thplace;localpublicbudgetincomeof10.56billionyuan,ranking4thplace,above-scaleindustrialaddedvalueof78.716billionyuan,ranking3rdinsocialretailsalesofconsumergoodstotaled56.169billionyuan,ranking4thin24990Yuanofdisposableincomepercapitaofurbanresidents,percapitanetincomeoffarmers9831,Share12314.5:60.0:25.5.Wine-ma
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分 12 分）
等差数列{ na }的前 n 项和记为 Sn.已知
a
10
,30 20
a
.50
（Ⅰ）求通项 na ；
（Ⅱ）若 Sn=242，求 n.
18．（本小题满分 12 分）
求函数
)(
xf
4
sin
x
cos
2
4
sin
x
2sin
x
2
x
cos
2
x
的最小正周期、最大值和最小值.
19．（本小题满分 12 分）
已知
)(
xf
3
ax
2
3
x
x
1
在 R 上是减函数，求 a 的取值范围.
20．（本小题满分 12 分）
从 10 位同学（其中 6 女，4 男）中随机选出 3 位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为
位男同学能通过测验的概率均为
3
5
.试求：
（I）选出的 3 位同学中，至少有一位男同学的概率；
（II）10 位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.
4
5
，每
21．（本小题满分 12 分）
如图，已知四棱锥 P—ABCD，PB⊥AD，侧面 PAD 为边长等于 2 的正三角形，底面 ABCD 为菱形，侧面 PAD
与底面 ABCD 所成的二面角为 120°.
（I）求点 P 到平面 ABCD 的距离；
（II）求面 APB 与面 CPB 所成二面角的大小.
22．（本小题满分 14 分）
设双曲线 C：
2
2
x
a
2
y
(1
a
)0
与直线
:
xl
y
1
相交于两个不同的点 A、B.
（I）求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围：
（II）设直线 l与 y 轴的交点为 P，且
PA
5 PB
.
12
求 a的值.
一、选择题
DBCBABCCBACB
文科数学参考答案
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中横线上.
13．{x|x≥0}
14．3·2n－3
15．
2
x
2
y
4
16．①②④
三、解答题
17．本小题主要考查等差数列的通项公式、求和公式，考查运算能力.满分 12 分.
解：（Ⅰ）由
an
a
1
(
n
,)1
ad
10
,30
a
20
,50
得方程组
a
1
a
1
,30
9
d
19
.50
d
……4 分 解得
a
1
,12
d
.2
所以
an
n
2
.10
……7 分
（Ⅱ）由
S
n
12
n
)1
na
1
(
nn
2
)1
(
nn
2
2
,
Sd
n
242
得方程
242
.
……10 分 解得
n
11
或
n
(22
).
舍去
………12 分
18．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函数的有关性质.满分 12 分.
解：
)(
xf
2
(sin
x
2
2
cos
)
x
sin22
2
sin
cos
x
x
x
cos
2
x
sin
2
2
cos
x
sin
cos
x
x
)
x
………………6 分
1
1(2
1
2
1
4
1(
sin
x
cos
x
)
2sin
x
1
2
.
他身背三角架，手拎仪器箱，每天起早贪黑，晴天一身汗，雨天一身泥，晚上记录复核到深夜建设新时代高素质专业化干部队伍，要坚持严管与厚爱相结合，政治上激励、工作上支持、待遇上保障、心理上关怀，增强干部的荣誉感geographiclocationYibincityislocatedinbeautifulrichof"abundance"--SichuanbasinSouthmargin,islocatedinn103°39'-105°20',latitude27°49'-29°16'Zhijian;YibinEastand,Luzhoucity,adjacent;Northandzigongcitydevelopment12thafiveyearsplanningplatformforintoYucityintertracknetworkplanning(2011-2030)nationalandplaceofrelatedplanning,andpolicyYibinCitytourismdevelopmentplanningYibincityeasecityholdblockingspecialplanningYibincityrelatedtabletsdistrictcontrolsexdetailedplanningYibincitypublictrafficdevelopmentplanningYibincitylandusinggeneralplanningYibincityindustrialconcentrateddistrictlayoutplanning1.4planningbackgroundYibincityinsandsRiver,andminjiangRiverandYangtzeRiverofSanjiangintersectionat,isChinafamousof"wineare",belongstochuan,andYunnan,andGuizhouthreeprovincecombinedDepartmentarea,knownas"YangtzeRiverCity,"said,is"inpanxi-liupanshui"importantpartoftheresource-richregion.Inthenewmasterplan,asthenationalhistoricalandculturalcityinYibincity,China,DepartmentofSichuan-Yunnan-Guizhou-basedregionalcenterintheupperreachesCountiesare:Yibin,andJiang'an,andchangningCounty,andGaoPingshanCounty,xingwenjunlian,andGong,and,and,and.2.1-2administrativemapofYibin,Yibincity,endof2014thecity'stotalpopulationof5.5429millionpeople,residentpopulationof825,000peopleintheCenter.2.1.3socialeconomicdevelopmentinYibincity,2014toachieveGDPof144.381billionyuan,anincreaseof8%,keepingthetotalprovince-4thplace;localpublicbudgetincomeof10.56billionyuan,ranking4thplace,above-scaleindustrialaddedvalueof78.716billionyuan,ranking3rdinsocialretailsalesofconsumergoodstotaled56.169billionyuan,ranking4thin24990Yuanofdisposableincomepercapitaofurbanresidents,percapitanetincomeoffarmers9831,Share12314.5:60.0:25.5.Wine-ma
3
所以函数 )(xf 的最小正周期是，最大值是 ,
4
1
最小值是 .
4
…………12 分
19．本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解
决问题的能力.满分 12 分.
解：函数 f(x)的导数：
f
)(
x
2
3
ax
6
x
.1
………………3 分
（Ⅰ）当
f
x
)(
0
（ Rx ）时， )(xf 是减函数.
2
3
ax
6
x
(01
Rx
)
a 且
0
36
12
a
0
a
.3
所以，当
a
,3
由时
f
)(
x
,0
知
(
Rxxf
)(
)
是减函数；………………9 分
（II）当
3a
时，
)(
xf
3
x
3
2
3
x
x
1
=
(3
x
1
3
)
3
8
9
,
由函数
y 在 R 上的单调性，可知
3x
当
3a
时，
(
Rxxf
)(
）是减函数；
（Ⅲ）当
3a
时，在 R 上存在一个区间，其上有
f
x
)(
,0
所以，当
3a
时，函数
(
Rxxf
不是减函数.
)(
)
综上，所求 a 的取值范围是（
].3,
………………12 分
20．本小题主要考查组合，概率等基本概念，独立事件和互斥事件的概率以及运用概率知识
解决实际问题的能力，满分 12 分.
解：（Ⅰ）随机选出的 3 位同学中，至少有一位男同学的概率为
1－
3
C
6
3
C
10
5
6
；………………6 分
（Ⅱ）甲、乙被选中且能通过测验的概率为
1
C
8
3
C
10
4
5
3
5
4
125
.
；………………12 分
21．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分
12 分.
（I）解：如图，作 PO⊥平面 ABCD，垂足为点 O.连结 OB、OA、OD、OB 与 AD 交于点 E，连结 PE.
∵AD⊥PB，∴AD⊥OB，
∵PA=PD，∴OA=OD，
于是 OB 平分 AD，点 E 为 AD 的中点，所以 PE⊥AD.
由此知∠PEB 为面 PAD 与面 ABCD
所成二面角的平面角，………………4 分
∴∠PEB=120°，∠PEO=60°
由已知可求得 PE= 3
∴PO=PE·sin60°=
3
3
2
即点 P 到平面 ABCD 的距离为
3
2
3
2
，
.………………6 分
（II）解法一：如图建立直角坐标系，其中 O 为坐标原点，x轴平行于 DA.
P
3,0,0(
2
),
B
33,0(
2
),0,
PB
中点G
的坐标为
33,0(
4
3,
4
)
.连结 AG.
又知
3,1(
A
2
),0,
33,2(
C
2
).0,
由此得到：
GA
PB
于是有
3
,1(
4
33,0(
2
GA
3,
4
3,
2
PB
),
),
BC
).0,0,2(
,0
BC
PB
0
所以
GA
PB
BC
.
PB
,
GA
BC
的夹角
等于所求二面角的平面角，…………10 分
于是
cos
GA
|
GA
BC
|
BC
|
|
72
7
,
所以所求二面角的大小为
arccos
72
7
.…………12 分
解法二：如图，取 PB 的中点 G，PC 的中点 F，连结 EG、AG、GF，则 AG⊥PB，FG//BC，
FG=
1
2
BC.
∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB，
∴∠AGF 是所求二面角的平面角.……9 分
∵AD⊥面 POB，∴AD⊥EG.
又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°.
在 Rt△PEG 中，EG=PE·cos60°=
3
2
.
在 Rt△PEG 中，EG=
1
2
AD=1. 于是 tan∠GAE=
EG
AE
=
3
2
，
又∠AGF=π－∠GAE. 所以所求二面角的大小为π－arctan
3
2
.…………12 分
22．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.
他身背三角架，手拎仪器箱，每天起早贪黑，晴天一身汗，雨天一身泥，晚上记录复核到深夜建设新时代高素质专业化干部队伍，要坚持严管与厚爱相结合，政治上激励、工作上支持、待遇上保障、心理上关怀，增强干部的荣誉感geographiclocationYibincityislocatedinbeautifulrichof"abundance"--SichuanbasinSouthmargin,islocatedinn103°39'-105°20',latitude27°49'-29°16'Zhijian;YibinEastand,Luzhoucity,adjacent;Northandzigongcitydevelopment12thafiveyearsplanningplatformforintoYucityintertracknetworkplanning(2011-2030)nationalandplaceofrelatedplanning,andpolicyYibinCitytourismdevelopmentplanningYibincityeasecityholdblockingspecialplanningYibincityrelatedtabletsdistrictcontrolsexdetailedplanningYibincitypublictrafficdevelopmentplanningYibincitylandusinggeneralplanningYibincityindustrialconcentrateddistrictlayoutplanning1.4planningbackgroundYibincityinsandsRiver,andminjiangRiverandYangtzeRiverofSanjiangintersectionat,isChinafamousof"wineare",belongstochuan,andYunnan,andGuizhouthreeprovincecombinedDepartmentarea,knownas"YangtzeRiverCity,"said,is"inpanxi-liupanshui"importantpartoftheresource-richregion.Inthenewmasterplan,asthenationalhistoricalandculturalcityinYibincity,China,DepartmentofSichuan-Yunnan-Guizhou-basedregionalcenterintheupperreachesCountiesare:Yibin,andJiang'an,andchangningCounty,andGaoPingshanCounty,xingwenjunlian,andGong,and,and,and.2.1-2administrativemapofYibin,Yibincity,endof2014thecity'stotalpopulationof5.5429millionpeople,residentpopulationof825,000peopleintheCenter.2.1.3socialeconomicdevelopmentinYibincity,2014toachieveGDPof144.381billionyuan,anincreaseof8%,keepingthetotalprovince-4thplace;localpublicbudgetincomeof10.56billionyuan,ranking4thplace,above-scaleindustrialaddedvalueof78.716billionyuan,ranking3rdinsocialretailsalesofconsumergoodstotaled56.169billionyuan,ranking4thin24990Yuanofdisposableincomepercapitaofurbanresidents,percapitanetincomeoffarmers9831,Share12314.5:60.0:25.5.Wine-ma
满分 14 分.
解：（I）由 C 与 t 相交于两个不同的点，故知方程组
2
2
y
,1
x
a
x
有两个不同的实数解.消去 y 并整理得 （1－a2）x2+2a2x－2a2=0.
2
.1
y
1
所以
4
a
2
a
4
.0
2
8
1(
a
双曲线的离心率
2
a
)
.0
解得
0
a
2
且
a
.1
① ……2 分
a
2
1
2
a
.1
0
a
2
且
a
,1
1
e
e
a
6
2
且
e
2
即离心率
e
的取值范围为
)2,
,2(
).
6
分
6(
2
),
P
1
2
,
y
2
)1,0(
（II）设
PA
1
1
,
),
(
(
xByxA
5
12
PB
,
(
,
yx
1
1
)1
5
12
(
x
2
,
y
2
).1
由此得
x
1
5
12
x
2
.
……8 分
由于 x1，x2 都是方程①的根，且 1－a2≠0，
所以
由
a
17
12
,0
x
2
所以
a
2
2
,
2
a
1
a
17
13
.
14
分
5
12
x
2
2
2
2
a
1
a
2
,
.
消去
x
,
2
得
2
2
a
1
a
2
289
60
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