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2004年河南高考理科数学真题及答案.doc
2004 年河南高考理科数学真题及答案
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分. 共 150 分. 考试时间 120 分钟.
第 I 卷（选择题 共 60 分）
参考公式：
如果事件 A、B 互斥，那么
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件 A、B 相互独立，那么
P（A·B）=P（A）·P（B）
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么
n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
Pn(k)=C k
n Pk(1－P)n－k
一、选择题 ：本大题共 12 小题，每小题 6 分，共 60。
球的表面积公式
2R
S=4
其 中 R 表 示 球 的 半
径，
球的体积公式
V=
3
4 R ，
3
其中 R 表示球的半径
1．(1－i)2·i=
A．2－2i
2．已知函数
)(
xf
1lg
1
B．2+2i
x
x
.
若
)(
af
A．b
B．－b
C．－2
D．2
.
b
则
f
(
a
)
C．
1
b
D．－
1
b
（
）
（
）
3．已知 a、b 均为单位向量，它们的夹角为 60°，那么|a+3b|=
（
）
A． 7
B． 10
C． 13
D．4
4．函数
y
x
(11
x
)1
的反函数是
A．y=x2－2x+2(x<1)
B．y=x2－2x+2(x≥1)
C．y=x2－2x (x<1)
D．y=x2－2x (x≥1)
5．
2(
3
x
7
)1
x
的展开式中常数项是
A．14
D．－42
6．设 A、B、I 均为非空集合，且满足 A B I，则下列各式中错误．．的是
B．－14
C．42
（
）
（
）
（
）
A．(
I A)∪B=I
C．A∩(
I B)=
B．(
I A)∪(
I B)=I
D．(
I A)∪(
I B)=
I B
7．椭圆
2
x
4
2
y
1
为 P，则
|
|
2PF =
的两个焦点为 F1、F2，过 F1 作垂直于 x轴的直线与椭圆相交，一个交点
（
）
A．
3
2
B． 3
C．
7
2
D．4
8．设抛物线 y2=8x的准线与 x轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l与抛物线有公共点，则直线 l
的斜率的取值范围是
（
）
A．[－
1 ，
2
1 ]
2
y
9．为了得到函数
A．向右平移
C．向左平移
6
6
B．[－2，2]
C．[－1，1]
D．[－4，4]
sin(
2
x
)
6
的图象，可以将函数
y
cos
2
x
的图象
（
）
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
D．向左平移
3
3
个单位长度
个单位长度
10．已知正四面体 ABCD 的表面积为 S，其四个面的中心分别为 E、F、G、H.设四面体 EFGH 的表面积为 T，
则
A．
T 等于
S
1
9
B．
4
9
C．
1
4
（
）
D．
1
3
11．从数字 1，2，3，4，5，中，随机抽取 3 个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于 9
的概率为
A．
12．
2
a
13
125
2
b
A． 3 －
,1
1
2
B．
B．
16
125
2
,2
c
a
1 － 3
2
C．
18
125
bc
ca
1 － 3
2
C．－
（
）
D．
19
125
D．
1 + 3
2
2
b
2
c
2
则,2
ab
的最小值为
（
）
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中横线上.
13．不等式|x+2|≥|x|的解集是
.
14．由动点 P 向圆 x2+y2=1 引两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B，∠APB=60°，则动点 P 的轨迹方程
为
.
15．已知数列{an}，满足 a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项
1,
an=
n=1,
,n≥2.
16．已知 a、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则 a、b 在α上的射影有可能是
.
①两条平行直线
③同一条直线
②两条互相垂直的直线
④一条直线及其外一点
在一面结论中，正确结论的编号是
（写出所有正确结论的编号）.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分 12 分）
求函数
)(
xf
4
sin
x
cos
2
4
sin
x
2sin
x
2
x
cos
2
x
的最小正周期、最大值和最小值.
18．（本小题满分 12 分）
一接待中心有 A、B、C、D 四部热线电话，已知某一时刻电话 A、B 占线的概率均为 0.5，电话 C、D 占
线的概率均为 0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概
率分布和它的期望.
19．（本小题满分 12 分）
已知
,Ra 求函数
)(
xf
2
axex
的单调区间.
20．（本小题满分 12 分）
如图，已知四棱锥 P—ABCD，PB⊥AD 侧面 PAD 为边长等于 2 的正三角形，底面 ABCD 为菱形，侧面 PAD
与底面 ABCD 所成的二面角为 120°.
（I）求点 P 到平面 ABCD 的距离，
（II）求面 APB 与面 CPB 所成二面角的大小.
21．（本小题满分 12 分）
设双曲线 C：
2
2
x
a
2
y
(1
a
)0
与直线
:
xl
y
1
相交于两个不同的点 A、B.
（I）求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围：
（II）设直线 l与 y 轴的交点为 P，且
PA
5 PB
.
12
求 a的值.
22．（本小题满分 14 分）
已知数列
}{
an 中
1 a
1
，且
a2k=a2k－1+(－1)K,
a2k+1=a2k+3k,
其中 k=1,2,3,…….
（I）求 a3, a5；
（II）求{ an}的通项公式.
2004 年高考理科数学答案
一、选择题
DBCBABCCBADB
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中横线上.
13．{x|x≥－1}
14．x2+y2=4
15．
!n
2
16．①②④
三、解答题
17．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分 12 分.
解：
)(
xf
2
(sin
x
2
2
cos
)
x
sin22
2
sin
cos
x
x
x
cos
2
x
sin
2
2
cos
x
sin
cos
x
x
)
x
1(
sin
x
cos
x
)
1
1(2
1
2
1
4
2sin
x
1
2
所以函数 f(x)的最小正周期是π，最大值是
3 ，最小值是
4
1 .
4
18．本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满
分 12 分.
解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.
P(ξ=1)= 1
2C ×0.52×0.62+ 1
2C ×0.52×0.4×0.6=0.3
P(ξ=2)=
2
2C ×0.52×0.62+ 1
2C
1
2C ×0.52×0.4×0.6+
2
2C ×0.52×0.42=0.37.
P(ξ=3)=
2
2C
2C ×0.52×0.4×0.6+ 1
1
2C
2
2C ×0.52×0.42=0.2
P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.04
于是得到随机变量ξ的概率分布列为：
ξ
P
0
0.09
1
0.3
2
0.37
3
0.2
4
0.04
所以 Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8.
19．本小题主要考查导数的概率和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想.满分 12
分.
解：函数 f(x)的导数：
f
)(
x
2
xe
ax
2
eax
ax
2(
x
ax
2
)
e
ax
.
（I）当 a=0 时，若 x<0，则
f
)(x
<0，若 x>0,则
f
)(x
>0.
所以当 a=0 时，函数 f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.
（II）当
a
2,0
由时
x
2
ax
,0
解得
x
2
a
或
x
,0
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