第 31卷 第 1期 　　　 2008年 2月 测绘与空间地理信息 GEOMA T ICS & SPA T IAL IN FORMA T ION TECHNOLOGY Vol. 31, No. 1 Feb. , 2008 用切比雪夫多项式标准化 GPS卫星轨道 王义峰 , 文鸿雁 , 刘立龙 (桂林工学院 土木工程系 ,广西 桂林 541004) 摘 要 :根据精密星历提供的等时间间隔点上的卫星坐标 ,采用切比雪夫多项式拟合的方法 ,选用达到精度要求 的最佳拟合多项式阶数 ,对 GPS卫星轨道进行标准化 ,从中得出 :选用不同的多项式阶数直接影响到拟合的精 度 。 关键词 :广播星历 ;精密星历 ;切比雪夫 ;标准化 中图分类号 : P228. 1　　　文献标识码 : B　　　文章编号 : 1672 - 5867 (2008) 01 - 0021 - 02 Standardize the Satellite Orbit using Chebyshev Polynom ial WANG Yi - feng,W EN Hong - yan, L IU L i - long ( D epartm en t of C iv il Eng ineer ing, Gu ilin Un iversity of Technology, Gu ilin 541004, Ch ina) Abstract: According to coordinates of satellites that are p rovided by p recision ephemeris, we choose the required accuracy of the poly nom ial fitting, and use the Chebyshev polynom ial simulation to fit the GPS satellite orbit standardization. W e draw from the examp le that the different rank of the polynom ial you choose will affect the p recision. Key words: broadcast ephemeris; p recision ephemeris; Chebyshev; Standardization 0　引 　言 GPS星历分为广播星历和精密星历两类 。用广播星 历计算卫星坐标时 ,需反复调用星历数据进行计算 ,并且 精度较低 ,主要用于适时导航定位 ;而用精密星历计算卫 星坐标精度较高 ,如用 SP3 格式给出等时间间隔点上的 卫星坐标 ,主要用于事后处理 。选用精密星历提供的坐 标 ,用切比雪夫多项式拟合整个观测时段 ,即用一组标准 化的轨道方程来覆盖整个观测时段 ,在计算机内存中仅 保存拟合好的多项式系数 ,以备以后计算卫星坐标时调 用 ,切比雪夫多项式拟合逼近效果 ,即使在时间的两端近 似性也很好 [ 1 ] 。由于精密星历文件所包含的历元数不 同 ,达到拟合精度要求所需拟合多项式的阶数也不同 。 本文根据精密星历提供的卫星坐标 ,选用适当的拟合多 项式阶数 ,实现了 GPS卫星轨道的标准化 ,对于提高计算 GPS卫星坐标的速度有着重要意义 。 1　GPS卫星轨道标准化原理 假设欲将时间间隔 [ t0 , t0 +Δt ]的卫星星历用 n阶切 比雪夫多项式来拟合 ,其中 0 和 Δt分别为开始历元和拟合 时间区间的长度 ,设 t∈[ t0 , t0 +Δt ],做以下变换 : τ = 2 Δt ( t - t0 ) - 1　τ∈ [ - 1, 1 ] 切比雪夫多项式 Ti 的递推公式 [ 2 ]如下 : T0 (τ) = 1 T1 (τ) =τ Tn (τ) = 2τTn - 1 (τ) - Tn - 2 (τ) ( | τ| ≤ 1, n ≥ 2) 卫星坐标可用如下多项式表示 : ( 1) [ x ( t) 　y ( t) 　z ( t) ] = ∑ Cx i Ti (τ) 　 n i =0 ∑ Cy i Ti (τ) 　∑ CZ i Ti (τ) n i =0 n i =0 其中 n为所要拟合多项式的阶数 , Cx i , Cy i , Czi 多项式的系数。 为切比雪夫 以 X 坐标为例 ,误差方程为 V = TC - X 其矩阵形式 Vx1 Vx2 ⁝ Vxm = T0 (τ1 ) T0 (τ2 ) ⁝ T1 (τ1 ) … Tn (τ1 ) T1 (τ2 ) … Tn (τ2 ) ⁝ … ⁝ T0 (τm ) T1 (τm ) … Tn (τm ) Cx0 Cx1 ⁝ Cxn - X1 X2 ⁝ Xm 收稿日期 : 2007 - 03 - 07 基金项目 :国家自然科学基金项目“基于小波变形分析模型 ”(40574002)资助 作者简介 :王义峰 (1978 - ) ,男 ,山东济宁人 ,在读硕士研究生 ,研究方向为 GPS数据处理。 

22 　　　　　　　　　　　　　　 测绘与空间地理信息 　　　　　　　　　　　　　　　　2008年 其中 m 为已知坐标点的个数 。 设 : C = Cx0 Cx1 … Cxn T X = X1 T T0 (τ1 ) T0 (τ2 ) ⁝ T1 (τ1 ) … Tn (τ1 ) T1 (τ2 ) … Tn (τ2 ) ⁝ … ⁝ T0 (τm ) T1 (τm ) … Tn (τm ) T = 由最小二乘原理得 C = ( TT PT) - 1 TT PX ,卫星的轨道 为等权观测 [ 3 ] , P 为单位阵 ,上式可简化为 C = ( TT T) - 1 TT X 故拟合得多项式为 : f (τ) = Cx0 + Cx1 τ + Cx3 T2 (τ) + … + Cxn Tn (τ) ( 2) 根据上式可求得已知历元处的拟合坐标 f (τi ) ( i = 1, 2, …, m ) ,其拟合精度 ,由下式来评定 : ∑ i =1 M x = ± m ( xi - f (τi ) ) 2 m ( 3) 多项式系数和切比雪夫递推公式计算在拟合区间内任意 时刻卫星的坐标。需要注意的是在计算切比雪夫递推公 式时 ,将需要计算的时间转换到 [ - 1, 1 ]区间上的变量 。 2　GPS卫星轨道标准化实例 本文从 http: / / igscb. jp l. nasa. gov/网站上下载开始时 间为 2005年 11月 3日的 SP3精密星历文件 ,该精密星历 文件时间间隔为 15 m in (即 900 s) ,共包含 96个历元 、29 颗卫星 。选取 1号卫星进行轨道标准化 ,计算过程如下 : 1)计算得到开始历元 t0 = 345 600 s, 拟合区间长度 Δt = 85 500 s 2)将 GPS Time变换到区间 [ - 1, 1 ]上的变量 τ。 3)根据切比雪夫递推 (1)式初时化矩阵 T。 4)由已知点的坐标矩阵 X ,根据最小二乘原理 ,计算 拟合多项式的系数 C。 5)根据拟合好的多项式系数和切比雪夫递推公式得 到卫星坐标与时间的函数式 (2) 。 6)根据 (2)式可求得已知历元处的坐标 f (τi ) ( i = 1, 2, …, m ) ,并根据 (3)式来评定精度 。 　　同理可求得坐标 y和 z的拟合多项式系数及其拟合 精度 。如果拟合精度能满足使用要求 , 则可用拟合好的 7) 如果满足精度要求 , 将任意时刻 t转换到区间 [ - 1, 1 ]上的变量 ,可计算这一时刻的卫星坐标 。 Tab. 1　The com par ison between the prec ision of acqu ired results using Chebyshev polynom ia l f itting 表 1　运用切比雪夫多项式得到的拟合精度比较拟合阶数 拟合阶数 X 拟合精度 /mm Y拟合精度 /mm Z 拟合精度 /mm 42 2. 935 2. 446 1. 223 45 2. 144 1. 850 0. 867 46 2. 112 1. 693 0. 866 47 1. 813 1. 775 1. 220 48 2. 108 1. 914 1. 496 49 2. 760 7. 678 6. 198 50 14. 926 10. 364 10. 626 　　由表 1知 ,对于 X 坐标 , 最佳拟合阶数为 47阶 , Y坐 标为 46阶 , Z坐标为 46阶 。取最佳拟合精度评定结果见 表 2,其精密星历坐标点与多项式拟合曲线如图 1 所示 , 拟合达到了很好的效果 。 表 2　曲线拟合结果精度卫星坐标 Tab. 2　The prec ision of acqu ired results 　　　using curve f itting 卫星坐标 X Y Z 拟合精度 /mm 1. 813 1. 693 0. 866 与已知数据点误差的绝对值之和 /mm 123. 999 112. 64 161. 841 与已知数据点误差绝对值的最大值 /mm 6. 863 6. 285 3. 385 与已知数据点误差的平方和 /mm2 0. 316 0. 275 0. 72 同样其他编号的 GPS卫星也根据这一方法进行计 算 ,计算结束后在计算机内存中保存了拟合好的各卫星 轨道的多项式系数 ,在以后计算卫星坐标时调用 ,进而提 高了计算速度。多项式的拟合精度与拟合区间的长度有 关 ,即与精密星历中包含的历元数有关 。 图 1　切比雪夫多项式拟合 F ig. 1　Chebyshev polynom ia l f itting 3　结束语 运用切比雪夫多项式拟合的方法 ,在 GPS定位测量 中为实现卫星轨道标准化提供了一种较好的 、行之有效 的方法 。用切比雪夫多项式进行 GPS卫星轨道标准化 , (下转第 28页 ) 

82 　　　　　　　　　　　　　　 测绘与空间地理信息 　　　　　　　　　　　　　　　　2008年 方面有了较大的改观 。应用遥感和地理信息系统技术 , 利用湿地数据库编制不同比例尺 、不同专题的湿地图件 , 具有数据新、更新快 、可视性好 、表现方法多样 、综合性和 系统性强的特点 。除传统制图编绘湿地图外 ,湿地影像 地图发展迅速 ,应用广泛。 提供了新的方法和技术支持 。 通过采用 GIS和 RS等新技术手段 ,对湿地资源的环 境影响因素 、现状分布 、湿地保护等方面进行的系统研 究 ,为实现对湿地资源的科学管理和保护与可持续利用 提供了科学辅助决策支持 。 5　结束语 参考文献 : 湿地由于在维持生态平衡、保护生物多样性和珍稀 物种以及涵养水源、蓄洪抗旱 、降解污染等方面的重要作 用 ,受到全世界的广泛关注和重视 ,各国纷纷开展了对湿 地资源的调查研究和保护工作 。但是 ,大部分的研究工 作多采用传统的数据分析和野外调查的方法 ,耗费大量 的人力 、物力 ,而且周期长 ,缺乏系统性 、时效性 ,研究成果 可视性差 。湿地研究的关键在于定量化获取和分析湿地 信息 (包括时间和空间上的 ) , RS和 G1S技术为湿地研究 [ 1 ] 　Frohn RC. Remote sensing for landscape ecology[M ]. New York: CRC Press, 1998. [ 2 ] 　陈述彭. 地理信息系统导论 [M ]. 北京 : 科学出版社 , 1999. [ 3 ] 　遥感概论编写组. 遥感概论 [M ]. 北京 : 高等教育出版 社 , 1993. [ 4 ] 　仇肇悦. 遥感应用技术 [M ]. 武汉 :武汉测绘科技大学出 版社 , 1998. (上接第 20页 ) 各种后续处理和计算机管理 。对于该类型的测量电子手 簿有一定的实用价值和借鉴意义。 参考文献 : [ 1 ] 　李永隆. W indow s CE程序设计实务 [M ]. 北京 :中国电 力出版社 , 2002. [ 2 ] 　盖斯基. 嵌入式系统的描述与设计 [M ]. 北京 :机械工业 出版社 , 2005. [ 3 ] 　樊功瑜. 误差理论及测量平差 [M ]. 上海 :同济大学出版 社 , 1998. [ 4 ] 　田根. 童小华 ,张锦 ,等. 基于 PDA 的 GIS系统研究与开 发 [ J ]. 计算机工程 , 2004, 30 (2) : 76 - 77, 85. [ 5 ] 　田根. 童小华 ,张锦 ,等. 基于 PDA 的 GIS实时测图系统 开发 [ J ]. 三晋测绘 , 2003, 10 (2) : 10 - 14. [ 6 ] 　田根. 张锦 ,童小华 ,等. 基于移动的嵌入式 GIS[ J ]. 遥 感信息 , 2004, (1) : 49 - 52. 图 6　综合查询界面 F ig. 6　 In tegra tive inqu iry in terface (上接第 22页 ) 具有计算公式简洁 、占用计算机内存空间少、计算速度 快 、能满足不同应用精度要求等优点 。从而可以快速计 算任意时刻卫星的坐标 ,其精度比用广播星历计算得到 的精度要高。在一定范围内 ,多项式阶数取的越高 ,拟合 精度也越高 ,但超出一定范围后 ,拟合多项式阶数越高 , 拟合效果反而越差 。在本例中对精密星历文件进行标准 化时 ,如对 X 坐标 ,当切比雪夫次数超过 47阶时 ,拟合精 度反而降低。时间间隔为 15 m in的精密星历文件更新时 间较长 ,不利于导航和适时定位 , 这种情况下还需根据广 播星历来计算。 参考文献 : [ 1 ] 　魏子卿 ,葛茂荣. GPS相对定位的数学模型 [M ]. 北京 : 测绘出版社 , 1998. [ 2 ] 　李征航 ,黄劲松. GPS测量与数据处理 [M ]. 武汉 :武汉 大学出版社 , 2005. [ 3 ] 　周忠谟 ,易杰军 ,周琪. GPS卫星测量原理与应用 [M ]. 北京 :测绘出版社 , 1997.