数值计算方法雅克比迭代法实验报告及源码.doc

发布时间：2022-06-08 发布人：admin 分类：说明书资料大小：0.26M 资料格式：doc 举报版权申诉

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实验题目：雅可比迭代法一、问题定义 Input 输入 p154 中的 6 阶方程组，要求用雅克比迭代法分析求解方程组的收敛性，并求出使| | X(k+1)--X(k)| |2<=0.0001 近似解及相应的迭代次数。二、问题分析 1、雅可比迭代法是迭代法中求解线性方程的一种典型方法，它是一种解对角元素几乎都是各行和各列的绝对值最大的值的线性方程组的算法。求解出每个对角元素并插入近似值，不断迭代直至收敛 2、算法的核心在于如何用代码实现雅可比迭代法的求解过程，可设计一个函数实现这个功能，雅可比迭代法首先将方程组中的系数矩阵 A 分解成三部分，即：A = L+D+U，如图 1 所示，其中 D 为对角阵，L 为下三角矩阵，U 为上三角矩阵。之后确定迭代格式，X^(k+1) = B*X^(k) +f ，（这里^表示的是上标，括号内数字即迭代次数），如图 2 所示，其中 B 称为迭代矩阵，雅克比迭代法中一般记为 J。（k = 0,1，...）再选取初始迭代向量 X^(0)，开始逐次迭代。 3、矩阵形式的雅可比迭代法公式：X(k+1) =BJX(k)+f J (k=0,1,2,3...) 其中 BJ=D-1(L+U) (称为雅可比迭代矩阵)，f J =D-1b 迭代过程如下图所示三、算法设计 (1) main 函数中必须包括输入 input 系数矩阵 A，向量 b，和误差控制 eps，然后进行雅可比迭代法求解，达到收敛条件之后，输出 output 解 (2)首先设计 MatrixInput(float A[][MAX_n],int m,int n)，输入求解线性方程组的阶，然后用二维数组存储方程组的增广矩阵系数。VectorInput(float x[],int n)输入一个初始向量，然后是 VectorOutput(float x[],int n)输出一个数组解，迭代跳出条件误差控制也可以设计一个函数。这样可以使一个算法看上去很清楚。

(2) 算法核心雅可比迭代法，Jacobi_()中进行相应的迭代算法，由第一个方程解出 X1，由第二个方程解出 X2，...将方程进行转化，直到满足精度要求跳出循环。求解方法我使用了动态演示，将每一次迭代之后的解都输出，简单算法可由下图所示 1、输入系数矩阵 A 和向量 b，和误差控制 eps 2、x1={0,0,…..,0} , x2={1,1,…..,1} //赋初值 3、while( ||A*x2-b||>eps) { x1=x2; for(i=0;i #include #include #include #include using namespace std; #define MAX_n 100 #define eps #define MAX_Number 1000 0.0001 void VectorInput(float x[],int n) { int i; cout<<"请输入初始向量"<>A[i][j]; } }; void VectorOutput(float x[],int n) { int i; for(i=1;i<=n;++i) cout<<"x["<eps) return 1; else return 0; }; int Jacobi_(float A[][MAX_n],float x[],int n) { float x_former[MAX_n]; int i,j,k; VectorInput(x,n); k=0; do{ cout<<"第"<

VectorOutput(x,n); } } 五、测试 1、通用测试书本 p154 页第 7 题数据进行测试，在 Jaboci_()中进行精度的约束，输入数据：

2、边缘测试另外测试了几组边缘数据如： 0.00001 2.000 1.000 2.000 3.000 X1 X2 2.000(这组数据超过了收敛的精度，所以计算失败) 0.01 2.00 X1 1.00 2.00 3.00 X2 2.00 这个算法是正确的！

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