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矩阵的Kronecker积及其应用.doc
The Kronecker Product Of A Matrix And Its Applicat
矩阵的 Kronecker 积及其应用
陈蔚
（集美大学理学院数学系 2005 届，厦门 361021）
[摘要] 本文主要介绍了矩阵理论中的 Kronecker 积，通过对概念的引入，性质、
定理的推导，简单地体现出矩阵的 Kronecker 积在求解几类矩阵方程中的应用。
[关键词] Kronecker 积，特征值，拉直，
t
1
i
A XB
i
i
F
矩阵方程， AX ＋
XB
F
矩阵方程， X －
AXB 矩阵方程，矩阵微分方程
F
0、引言
众所周知，我们学习到的矩阵运算中，普遍提及的均是乘积问题，两矩阵可以相
乘的条件是：前面矩阵的列数必须等于后面矩阵的行数，如果不满足这个条件，则我
们就无法求解这两个矩阵的乘积，但我们却可以求它们的 Kronecker 积.对于矩阵的
Kronecker 积问题，绝大多数人是陌生的.本文主要介绍了 Kronecker 积的定义、性质、
应用，让大家一起来领略这个新知识点的风采.文中所用到的符号均可从参考文献
[1-11]中找到.
一、 矩阵的 Kronecker 积的概念
[1]
1.1定义
设 (
A
a
ij
)
m n
C
，
B
(
b
ij
)
qp
C
，则称如下的分块矩阵
A B
a
a
11
B
B
21
a
B
1
m
a
a
B
12
B
22
a
B
m
2
张量积）.
1
B
n
B
a
a
2
n
a
mn
B
C
mp nq
为 A 与 B 的 Kronecker 积（也称为直积或
BA 是一个 nm 块的分块矩阵，所以上式还可以简写为 BA = (
)
ija B .
例 1.1 设
A
(
,
,
aaa
1
2
T
)
3
,
B
,
(
1 bb
2
T
)
，求 BA 和 AB .
解
BA =
AB =
a B
1
a
B
2
a B
3
b A
1
b A
2
a b a b a b a b a b a b
， ， ， ， ， ，
1
1
1
2
2
1
2
2
3
1
3
2
T
b a b a b a b a b a b a
， ， ， ， ， .
1
1
1
2
1
3
2
1
2
2
2
3
T
这个例子表明，矩阵的 Kronecker 积与乘积一样不满足交换律，即
BA ≠
AB .
二、 矩阵的 Kronecker 积的性质、定理及推论
由定义 1.1，容易证明
性质 2.1
(
BAk
)
(
)
kA
AB
(
kB
)
.
性质 2.2 设 A1 与 A2 为同阶矩阵，则（1） 1
A A
)
2
B
A
1
B
A
2
.
B
(
（2）
B
(
A A
1
)
2
B
A B
1
A
2
.
性质 2.3 （ A B ） C = A （ B C ）.
性质 2.4 设 A =
(aij
)
nm
， B =
(bij
rl ，C =
)
(cij
)
pn
， D =
(d ij
)
sr ，则
（ BA ）（ DC ）= AC BD .
证 （ BA ）（ DC ）= (
ija B (
)
ijc D
)
=
=
a
B
11
a
B
1
m
n
1
k
a
1
k
n
1
k
a
mk
a
B
12
a
B
m
2
a
1
B
n
a
mn
B
c
c
D
11
D
1
n
c
c
D
12
D
2
n
c
1
c
np
D
p
D
k
1
c
B D
B D
c
1
k
n
1
k
a
1
k
n
1
k
a
mk
B
B
c
k
2
D
c
D
k
2
n
1
k
a
1
k
n
1
k
a
mk
kp
c
B D
B D
c
kp
=
1
BD
n
1
k
n
1
k
k
a c
1
k
2
BD
k
a c
1
k
n
1
k
a c
mk
k
1
BD
n
1
k
a c
mk
k
2
BD
n
1
k
n
1
k
kp
a c
1
k
a c
mk
kp
BD
BD
=
AC
BD
.
推论 2.1 （1）
A
1
A
2
A B
l
1
B
2
B
l
A B
= 1
1
A B
2
2
A B
l
l
.
（2）
A
1
B A
1
2
B
2
A
l
=
B
l
A A
1
2
A
l
B B
1
2
.
B
l
上面两个式子只要等号右边有意义，则左边也有意义，而且两边相等.
推论 2.2 若 A 为 m 阶矩阵， B 为 n 阶矩阵，则
B =
A
A
E E
n
m
B
E
m
B A
E
n
.
利用性质 2.1—2.4 及推论 2.1，可以得到以下常用到的性质.
设 A 是 m 阶矩阵， B 是n 阶矩阵.
性质 2.5 若 A 、 B 都可逆，则 BA 也可逆，且
A
B
1
A
1
B
1
.
证 根据性质 2.4，
(
A
B A
)(
1
)
1
B
AA
1
BB
1
E
m
E
n
E
，
mn
(
A
1
)(
1
B
A
B
)
1
A
A
1
B B
E
m
E
n
E
，
mn
∴
A B
1
A
1
1
.
B
推论 2.3 若 Ai 均为方阵，且 Ai 均可逆（i =1，2，…）,则
A
1
A
2
1
A
i
1
A
1
A
2
1
1
.
A
i
证 运用归纳法.
当i =2 时，由性质 2.5 知：等式成立.
设当i = k 时，
A
1
A
2
1
A
k
1
A
1
A
2
1
1
A
k
成立.
则当i = k +1 时，根据性质 2.5，有：
A
1
A
A
2
k
A
k
1
1
=
A
1
A
2
A
k
1
1
kA
1
=
A
1
1
A
2
1
A
k
1
A
k
1
1
，
从而，等式成立.
推论 2.4
DCBA
1
1
CA
1
DB
1
.
证 由性质 2.4、2.5 知：
(
A
B
1
) (
C
D
1
)
(
A
1
B
)(
1
C
1
)
1
D
=
1
CA
1
1
DB
1
CA
1
DB
1
.
性质 2.6 若 A 、 B 均为上（下）三角矩阵，则 BA 也是上（下）三角矩阵.
性质 2.7 若 A 、 B 均为对角阵，则 BA 也是对角阵.
性质 2.8 若 A 、 B 均为对称矩阵，则 BA 也是对称矩阵.
定义 2.1 酉变换在酉空间的标准正交基下的矩阵 A 称为酉矩阵，即 A 满足：
H
A A
H
A A
E
.
性质 2.9 若 A 、 B 均为酉矩阵，则 BA 也为酉矩阵.
定义 2.2 Hermite 变换在酉空间的标准正交基下的矩阵 A 称为 Hermite 矩
阵，即 A 满足：
HA
A
.
性质 2.10 若 A 、 B 均为 Hermite 矩阵，则 BA 也为 Hermite 矩阵.
性质 2.11 设 A =
(aij
)
nm
， B =
(bij
)
qp
，则
A
T
B
(aij
)
T
A
T
，
B
(bij
)
， B =
nm
qp
A
B
H
A
H
H
B
.
性质 2.12 设 A =
，则 rank(
BA )=rank
(A rank
)
(B .
)
证 设 rank
(A = r1 ，rank
)
(B = r2 .
)
对矩阵 A ，必存在可逆矩阵 M 、 N ，使得
A MA
1N
对矩阵 B ，必存在可逆矩阵 P 、Q ，使得
B
PB
1Q
则由性质 2.4 知： A B =
(MA N
)
1
(PB Q = (
)
1
M P
.
，其中 B1 =
，其中 A1 =
)BA
1
1
)
(
1Er
0
2Er
0
0
0
N Q
0
0
(
.
)
.
由性质 2.5 知：M P 、 QN 仍为可逆矩阵.∵矩阵乘以可逆矩阵后，其秩不变. ∴
rank(
BA )=rank（ A1 B1 ）= r1 r2 = rank
(A rank
)
(B .
)
定理2.1 设
[2]
,
1 是 n 个线性无关的 m 维列向量，
xx
x
,
,
2
n
yy
,
1 是 q 个
y
,
,
2
q
线性无关的 p 维列向量，则 nq 个 mp 维列向量 i
x (i =1,2,…, n ; j =1,2,…, q )
jy
线性无关.反之，若向量组 i
x （ i =1,2,…, n ; j =1,2,…, q )线性无关，则
jy
,
1 和
xx
x
,
,
2
n
yy
,
1 均线性无关.
y
,
,
2
q
证 令
x
j
(
,
aa
1
j
2
j
,
,
a
mj
T
)
y
，
j
,
(
bb
1
j
2
j
,
,
b
T
)
pj
， A =（
,
1 ）=
xx
x
,
,
2
n
(aij
)
nm
，
2
1(
yy
,
,
B =
∵ BA =
)
q =
y
,
(bij
)
qp
，则有 rank
(A = n ， rank
)
(B = q .
)
x
1
y
,
1
x
1
y
2
,
,
x
1
y
,
q
,
x
n
y
,
1
x
n
y
2
,
,
x
n
y
q
，
∴rank (
BA )=
rank
(A
)
rank
(B
)
= nq .
又 ∵
BA 是 mp × nq 矩 阵 ， ∴
BA 是 列 满 秩 矩 阵 ， 即
BA 的 列 向 量 组
x
i
y
(
j i
1,2,
,
;
n j
1,2,
是线性无关的.
, )
q
反之，若列向量组
x
i
y
(
j i
1,2,
,
;
n j
1,2,
是线性无关的，则 BA 是列
, )
q
满秩的，∴rank(
BA )= nq =rank )
(A rank
(B .
)
下证 rank(
)A = n ，rank
(B = q .
)
假设 rank(
)A ＜ n ，则 rank
(B 必＞ q ，矛盾.∴有 rank (
)
)A = n .
同理，得：rank
(B = q .即 A 、 B 为列满秩的矩阵.
)
∴
,
1 和
xx
x
,
,
2
n
yy
,
1 是线性无关的.
y
,
,
2
q
性质 2.13 设 A 为 m 阶矩阵， B 为 n 阶矩阵，则有 BA 相似于 AB .
三、矩阵的 Kronecker 积的特征值
考 虑 由 变 量 x 、 y 组 成 的 复 系 数 多 项 式
j
i
c x
ij
y
和 mn 阶 矩 阵
l
0
j
其中， A 为 m 阶矩阵， B 为 n 阶矩阵.
,
f x y
i
,
f A B
,
l
0
j
i
,
c A
ij
i
j
B
例 3.1 设
,(
yxf
)
x
2
yx
,把
,(
yxf
)
写成：
,(
yxf
)
=
0
yx
1
2
yx
1
,于是，
(
f A B
,
)
A E
n
2
A B
.
特别地，若
,(
yxf
)
= xy ,则有
(
BAf
,
)
BA
.
定理 3.1 设
m,
,
1 是 m 阶矩阵 A 的特征值，
,
2
,
1 为 A 的对应
xx
m,
x
,
2
于
m,
,
1 的特征向量；
,
2
,
1 是 n 阶矩阵 B 的特征值，
n
,
,
2
yy
,
1 是 B 的
y
,
,
2
n
对应于
,
1 的特征向量，则 mn 个数
n
,
,
2
f
( s
,
r
)
(
r
1,2,
,
;
m j
1,
2,…, )n 为
( BAf
,
)
的特征值， r
x 是对应于
sy
f
( s
,
r
)
的特征向量.
证 由
A
x
r
r
x
r
,
B
y
s
s
y
s
知：
i
xA
r
i
r
∴
( BAf
,
)
( r
x
)
y =
s
.
i
r
s
s
,
i
s
yBx
y
BAc
ij
l
0
,
ji
j
(
s
y
)
s
x
c
i
r
ij
r
j
i
s
)
( r
y =
x
l
0
,
ji
s
( r
x
y
)
s
j
)
B
r
j
yB
i
l
,
j
(
0
c A
ij
i
xAc
ij
i
l
,
0
ji
( s
f
,
r
=
=
)
( r
x
)
y .
s
推论 3.1
BA 的特征值是 mn 个值 s
r
(
r
,2,1
,
;
jm
,2,1
),
n
,
s
r 对应的特征向量是 r
x
sy
(
r
,2,1
,
;
jm
,2,1
),
n
.
推论 3.2
E
A E
n
的特征值是 s
r ，其对应的特征向量是
B
m
x
r
sy
(
r
,2,1
,
;
jm
,2,1
),
n
.
推论 3.3(推论 3.2 的推广)
(
E
n
(
A
)
B
的特征值为
)
m
E
s
r
，其对应的特征向量为
y
s
x
r
(
r
,2,1
,
;
jm
,2,1
),
n
.
类似的， (
(
A E
)
n
E
的特征值为
m
B
)
s
r
，其对应的特征向
量为 r
x
sy
(
r
,2,1
,
;
jm
,2,1
),
n
.
注意：对矩阵
E
A E
n
，我们将其称为矩阵 A 和 B 的 Kronecker 和（或
m
B
称为直和），记作 BA .
性质 3.1 设 A 为 m 阶矩阵，特征值为
m,
,
1 ； B 为 n 阶矩阵，特征
,
2
值为
,
1 ，则det(
n
,
,
2
A B
)
(det
n
) (det
A
B
)
m
.
证一 由推论 3.1 知：
det(
BA
)
i
n
i
m
1
i
j
n
m
j
1
1
j
i
=
n
1
n
1
j
n
m
n
2
m
1
m
n
m
2
m
1
n
i
i
j
n
1
j
det
A
n
det
m
.
m
B
证二 由性质 2.4 知：
A B
A E
n
E
det
m B
E
det
B
m
，
又由性质 2.13 知：
A
E 相似于 nE
n
A ，即
，且
m
B
det
A E
n
det
∴
det(
A B
)
AE
n
det
A
n
det
det
n
，
m
.
A
B
性质 3.2 设 A 为 m 阶矩阵，特征值为
m,
,
1 ； B 为 n 阶矩阵，特征
,
2
值
1 ，则 tr(
,
n
,
,
2
A B tr(
)
)A tr(
)B .
证 ∵tr
(
BA
)
n
m
j
1
1
j
i
i
m
1
i
j
i
n
1
j
=tr
(A tr
)
(B .
)
对于矩阵的 Kronecker 积也存在幂的定义.
定义 3.1 记 [
]kA
设 A =
(aij
)
nm
， B =
A
A
，则
(bij
)
qp
AB
A
[
]
k
]
k
[
[
BA
k
]
.
，称为 Kronecker 积的幂.
四、 矩阵的 Kronecker 积的应用
定义 4.1 设 A =
aij
nm
，记
a
i
,
a a
1
i
,
,
a
2
i
mi
T
i
(1,2,
，令 vec(
, )
n
)A =
a
1
a
2
a
n
,
则 vec(
)A 称为矩阵 A 的列拉直（列展开）.
定义 4.2 设 A =
，记
aij
,
aa
1
i
a
i
i
nm
,
,
a
2
in
T
,
i
,2,1(
,
m
)
_____
(vec
)
A
令
a
1
a
2
a
m
，则称
_____
(vec
)
A 为矩阵的行拉直（行展开）.
定理 4.1 设
A
C
nm
,
X
C
pn
,
B
C
qp
，则
（1） vec(
AXB (
)
TB
A
)
vec(
)X .（2）
_____
vec(
AXB
)
(
A
T
B
_____
) vec(
X
)
.
证（1）记
X
B
x
,
x x
1
,
2
，
p
,
x C
i
n
(
i
1,2,
；
p
)
,
,
b b
1
,
2
，
b
q
,
b C
j
p
(
j
1,2,
，则
, )
q
vec(
AXB
)
vec(
AXb AXb
,
1
,
2
,
AXb
)q
AXb
AXb
AXb
1
2
q
.
而
AXb
i
b
1
i
AX
b
1
2
i
AX
2
b
pi
AX
p
(
b
1
i
A
,
b
2
i
A
,
,
b
pi
A
)
vec(
)X ，
∴
vec(
AXB
)
A
b
11
A
b
12
b
1
q
A
b
b
A
21
A
22
b
2
q
A
b
b
A
1
p
A
2
p
b
A
pq
vec(
X
)
(
T
B
A
) vec(
X
)
.
（2）设 A =
aij
nm
，
T
X
,
x x
1
,
,
2
x
n
,
X
T
x
1
T
x
2
T
x
n
, vec
X
x
x
x
1
2
n
，
则
AXB
(XBA
)
=
a
11
a
1
i
a
1
m
a
12
a
i
a
m
2
2
=
n
1
j
n
1
j
a x
1
j
T
j
B
a x
ij
T
j
B
n
1
j
a x
mj
T
j
B
j
a
1
a
ij
a
mj
n
a
1
a
in
a
mn
T
x B
1
T
x B
2
T
x B
j
T
x B
n
n
1
j
a
1
j
n
1
j
a
ij
(
T
xB
T
xB
T
xB
a
mj
n
1
j
T
j
T
)
j
T
j
，
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