论文研究-地面沉降的非等时距灰色线性回归组合模型 .pdf-资料库

中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 地面沉降的非等时距灰色线性回归组合模型# 秦利芬，肖新平* （武汉理工大学理学院，武汉 430072）摘要：针对地面沉降中的监测时间具有非等间距性并且少沉降监测数据的预测建模问题，先将非等时距序列转化为等时距序列,然后经过累加生成,最后用线性回归方程及指数方程的和来拟和累加生成序列从而得到一种非等时距的灰色线性回归组合模型，并给出该模型在地面沉降监测中的一个应用实例，并与其他模型进行比较，验证了该模型在建筑物安全评判、建筑工程防灾减灾中的实用性、正确性和有效性。关键词：系统工程方法论；地面沉降；预测建模；非等间距；组合模型；灰色线性回归中图分类号：N941 None-spacing Grey Linear Regression Combined Model Based on Ground Subsidence Qin Lifen, Xiao Xinping (School of Science, Wuhan University of Technologe, WuHan 430072) Abstract: Based on the predictive modeling problems of none-spacing interval and less subsidence monitoring data in the time of monitoring of land, first transform none-spacing time sequence into a average time sequence, then through AGO, last let the sum of linear regression equation and exponential equation construct to a none-spacing interval gray linear regression combined model, gives an application example in the ground subsidence monitoring and compare with other models to verify its practicality, accuracy and effectiveness in building safety evaluation, disaster prevention and mitigation works. Keywords:systematicengineeringidea;groundsubsidence;predictivemodeling;none-spacinginterval;com bined model;gray linear regression 0 引言地面沉降是一个全球性问题。20 世纪 80 年代以来，随着社会经济的快速发展，地下水开采规模不断扩大，特别是工程建设的迅猛发展，全国地面沉降出现影响范围迅速扩大、沉降幅度不断加大的态势。对沉降的发展趋势进行预测并实现准确预测一直是人们普遍关注的问题，提出一种稳定的预测方法，并实现地区沉降的准确预测是制定合理沉降防治决策的基础。 GM 为了真实地对地面沉降进行监测，必须建立合理的预测模型。在此方面，文献[1-2]中的模型适用于具有较强指数规律的序列，只能描述单调的变化过程,不能很好 GM 模型适用于非单调摆动发展序列；文地面沉降 (1,1) 地对异常数据进行处理；文献[3]中的地面沉降 (2,1) 献[4]中的灰色线性回归组合模型将 (1,1) 型中没有指数增长趋势和 (1,1) 模型只适用于监测时间具有等周期性的序列。文献[5-7]中的非等间距 (1,1) 具有不等周期规律的序列，但是该模型也只适用于具有较强指数规律的序列。基金项目：基于广义累加灰生成的极限承载力建模与预测研究（200804970005）作者简介：秦利芬(1986-),女,硕士研究生,系统控制与优代化. E-mail: b2-1@qq.com GM 模型和线性回归模型相结合，弥补了线性回归模模型中没有线性因素的不足。文献[1-4]的共同特点是：这些 GM 适用于监测时间 GM - 1 -

中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 在实际的地面沉降监测中由于某些主客观原因，一般不能做到定期对地面沉降进行监测，并且实际的地面沉降序列具有整体呈指数增长，但部分呈线性增长的趋势。本文将非等时距 (1,1) 模型和灰色线性回归组合模型联系起来，提出的非等时距灰色线性回归组合模 GM 型即是基于监测时间不等周期，既包含了灰色系统预测模型的指数增长因素，又包含了线性回归模型中的线性因素，与其他模型相比取得了较好的效果。 1 非等时距灰色线性回归组合模型 GM 模型基本数学原理 1.1 非等时距 (1,1) 传统的 (1,1) 不是等间距的，不能直接利用 (1,1) 模型[8]是以等间距序列为基础的，但实际观测中所得到的观测资料往往模型。但是，非等时距[9-10]原始数据序列可以看成是 GM GM 等间距序列，只是某些原因使得数据缺失造成的，因而假定对非等间距数据序列，客观地存在着等间距的实际数据序列，即是把非等间距序列转化等间距序列，再经过累加生成，建立 GM 模型即可。 (1,1) 设沉降观测的非等间距时间序列数据为： X (0) t ( ) = ( x (0) (1), (0) (0) x , ⋅⋅⋅ (2), n ( )) x ⋅⋅⋅ 为因素 (0)X 在第i 时刻的观测数据，那么从第一时刻开始，对应 n , ) x = i i ( 其中 (0)( ) 1,2, 的累积观测时段为： )n T 则平均时间间距为： t ( , 1 , ⋅⋅⋅ = (0) t t , 2 t Δ = nt n − − t 1 1 (1) 各观测时段与平均时段的单位时段差系数为： t )(μ i = t i t )1 Δ−− i ( t Δ ， 1,2, = i , ⋅⋅⋅ n (2) 各实际观测时段的差值序列为： x Δ 1)] t ( ) i ( ) μ = − − x x (0) (0) (0) ( i t ( )[ i (3) t 分别对实际序列 )()0( x 和差值序列 xΔ t )()0( t 做一次累加生成得到 )()1( x 和 xΔ t )()1( ，再对生成序列做均值生成： )1( x t )( = 1 2 x Δ )1( t )( = )1( [ x t )( + x )1( ( t + )]1 )1( [ x Δ t )( x Δ+ )1( t ( + )]1 1 2 )1( 得到等间距累加均值生成序列： X 然后就可按等间距序列的建模方法进行建模，得时间响应函数： Δ+ t )( t )( t )( = x x )1( )1( k k / 0 t Δ ) ( ) (0) (1) kat (0) e x (0) − = X t ( X kt (1) u a + ， T∈ ， 1,2, u a X (1) 1.2 非等时距 (1,1) 非等间距灰色线性回归模型既包含了灰色系统预测模型的指数增长因素，又包含了线性 t ( GM 模型基本数学原理 − Δ ) , ⋅⋅⋅ X t ( t ( = n = − k (1) ) ) − k k t - 2 -

中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 回归模型中的线性因素，因此该组合模型更适合既有线性趋势又有指数增长趋势的序列。对于这样的序列，其建模过程如下：按照模型 2.1 中的(1)，(2)，(3)确定 (0)( )i t x Δ x Δ )]1 t )( i )( − − × = x x )0( )0( )0( ( [ i t )( iμ ： (4) t 分别对实际序列 )()0( x 和差值序列 xΔ t )()0( 做一次累加生成得到 )()1( t x 和 xΔ )()1( t ： t ∑ i 1 = t ∑ i 1 = )1( x t )( = )0( x i )( (5) )1( Δ x )( t = )0( x Δ )( i (6) )1( x t )( t )( 则新的一次累加生成序列为 X 1 =）（此时非等间距序列已经转换成等间距序列。由 (1,1) GM Δ+ t )( x )1( (7) e −) at + u a (8) ˆ X )1( t )( = ( X 可得到 u a )1( − )0( (1) 其形式可记为 ˆ X (1), 用线性回归方程Y t ( ) = ˆ x ˆ x (1) (1) ( (2), ˆ x (1) , ⋅⋅⋅ aX b = n ( )) = vt C e 1 + ， 1, 2, X t = a e C 2 Y + 及指数方程 = × 的和来拟合累加生成序列 ˆ )1( X t )( ，因此 , ⋅⋅⋅ n (9) 可将生成序列写成 2 vk k + = C e 1 C k C 3 + ， 1,2, ∧ X (1) 其中，参数v 及参数 1C ， 2C ， 3C 待定。为了确定以上参数，设参数序列 , ⋅⋅⋅ = n (10) vk ) ( − + = ∧ X (1) k k ( ) 1) + − Z k m Z k ( ( ) ∧ X Z k ( ) (1) = 设 mY k ( ) 同样有 mv 由式(8)与(9)的比可得到v 的解为 v C e × 1 C e × 1 ( = mY k ( C e × 1 1) + = ln = × v k ( 1) + e = vk Y k ( 1) + m Y k ( ) m 1) − + ， 1, 2, C ⋅⋅⋅ − 1 n , × ( × e v e ( mv 1) − × ( e v 2 e 1) ( − × − 1) v k = − 1) ∧ 将式(7)中的 (1)X 换成 (1)X ，由式(10)可得v 的近似解V ，取不同的 m （ m = 1,2, ⋅⋅⋅ − n , 3) 可得到不同的V ，以它们的平均值作为v 的估值V ，即 V n − 3 n 2 − − m = ∑ ∑ m 1 = n ( − − L k 令 ( ) V k ( ) m 3) / 2 t 1 = n 2)( e= ，则式(11)可写为 Vk + + = ( ) k ( ) C L k C k C 1 3 ∧ X (1) 利用最小二乘法可求得 1C ， 2C ， 3C 的估计值。令 2 - 3 -

中国科技论文在线 (1) X = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ x x (1) (1) (1) (2) ⋅⋅⋅ n ( ) (1) x ， C ⎡ ⎢ = ⎢ ⎢ ⎣ C 1 C 2 C 3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ， A = http://www.paper.edu.cn ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ L (1) L (2) ⋅⋅⋅ L n ( ) 1 2 ⋅⋅⋅ n 1 ⎤ ⎥ 1 ⎥ ⎥ ⋅⋅⋅ ⎥ 1 ⎦ 则有 C ( 这样就得到生成序列的预测值为 A A A X T = (1) 1 − ) T ∧ X (1) k ( ) = C e Vk 1 + C t C 2 3 + ， 1,2, n = , ⋅⋅⋅ k C = ，则一次累加生成序列为线性回归模型；如果 2 0 C = ，则 0 模型。新模型使原线性回归模型中不含指数增长趋势及非从上式可以看出，如果 1 GM 累加生成序列为非等间距 (1,1) 等间距 (1,1) 2 模型应用实例 GM 模型中不含线性因素的情形得到改善。某防洪大堤，位于地质条件不是很好的微软土地区，需要在大堤全部施工阶段进行沉降监测，并通过变形分析和预报调节施工速度，以保证大堤的施工安全。本文以大堤 10 号点沉降观测数据为例，由于某些主客观原因，每年的观测时间不一致，10 号点的部分沉降观测数据及观测时间间距见表 1。表 1 大堤 11 号点沉降监测数据 Tab. 1 Levee 11 points subsidence monitoring data 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 观测时间 2001-06 2002-06 2003-06 2004-06 2004-12 2006-06 2007-12 2008-06 时间间距(年) 0 1 1 1 0.5 1.5 1.5 0.5 累积时间间距(年) 0 1 2 3 3.5 5 6.5 7 累积沉降量(cm) 1.11 1.45 1.93 2.08 2.52 2.92 3.20 3.96 选用以上 8 组数据分别建立传统 (1,1) GM 模型、灰色线性组合模型和非等间距灰色线性回归组合模型。非等间距灰色线性回归组合模型建模过程如下：模型、非等间距 (1,1) GM 由式(1) ~ (3)，(9) ~ (12)分别计算建模需要的各项参数，计算结果列入表 2 中。表 2 非等时距灰色线性回归组合模型参数计算表 x Δ 0tΔ 1 Tab. 2 Parameter calculation of one-spacing grey linear regression combined model T i (0)( ) 0 1 2 3 3.5 5 6.5 7 x t (1)( ) 1.11 2.56 4.49 6.57 9.09 12.01 15.21 19.17 iμ 0 0 0 0 -0.5 0 0.5 0 t (0)( )i 0 0 0 0 t (1)( ) 0 0 0 0 -0.22 -0.22 -0.08 -0.08 0 0.14 0 -0.22 Δ x X t (1)( ) 1.11 2.56 4.49 6.57 8.87 11.79 15.13 19.09 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 根据式(16) ~ (20)可求得V =0.116266，相应可得到： - 4 -

中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn A 1.123295 1 1 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 1.261792 2 1 ⎢ ⎥ 1.417364 3 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1.592118 4 1 ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ 1.788418 5 1 ⎢ ⎥ 2.008921 6 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2.256611 7 1 ⎥ ⎢ 2.534840 8 1 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ， (1) X 1.11 ⎡ ⎢ 2.56 ⎢ 4.49 ⎢ ⎢ 6.57 ⎢ = ⎢ 8.87 ⎢ 11.79 ⎢ ⎢ 15.13 ⎢ 19.09 ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ， C = ( A A A X T 1 − ) T (1) ⎡ ⎢ = −⎢ ⎢ −⎣ 17.063246 0.883263 17.149250 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 则一次累加非等间距灰色线性回归组合模型为： = k ( ) 17.063246 ∧ X (1) 作一次累减后，得到各个时间的预测值，并将其与非等间距 (1,1) n GM 17.149250 k 0.883263 ， 1,2, = k 0.116266 , ⋅⋅⋅ k − − e 模型和灰色线性回归组合模型的拟合值进行比较，并计算其误差、后验差比值、关联度及平均相对误差，如表 3。表 3 三种模型预测结果比较 Tab. 3 The predicted results of three model 非等间距灰色线性 GM(1,1)模型回归组合模型拟合值 1.3341 1.5566 1.8163 2.1193 2.2893 2.8854 3.6367 3.9283 误差 -0.2241 -0.1066 0.1137 -0.0393 0.2307 0.0346 -0.4367 0.0317 2.7801 0.5528 7.51% 拟合值 1.0086 1.5345 1.8199 2.1384 2.4941 2.8912 3.3345 3.8295 误差 0.0214 -0.0845 0.1101 -0.0584 0.0259 0.0288 -0.1345 0.1305 2.7254 0.6439 3.22% 非等间距灰色线性回归组合模型误差 -0.0245 -0.0299 0.1587 -0.0186 0.0537 0.0408 -0.1431 0.0958 拟合值 1.1345 1.4799 1.7713 2.0986 2.4663 2.8792 3.3431 3.8642 2.7137 0.8228 2.98% 观测时间实际值 2001-06 2002-06 2003-06 2004-06 2004-12 2006-06 2007-12 2008-06 1.11 1.45 1.93 2.08 2.52 2.92 3.20 3.96 后验差比值关联度平均相对误差在 4 种模型模拟得到大堤的地面沉降量数据基础上，对照该大堤 2001 年 6 月 ~ 2008 年 6 月的实际地面沉降量，观察实际值与拟合值之间的关系，见图 1：原始数据图非等间隔GM（1，1）灰线性组合非等间隔灰线性组合 4 3.5 3 2.5 2 1.5 ) m c ( 量降沉积累从表 3 和图 1 可以看出，该组沉降数据序列利用非等时距灰色线性回归组合模型的计算 1 0 1 2 3 4 累积时间间隔(年) 5 6 7 图 1 几种沉降曲线比较 Fig. 1 The comparison of several settlement curves - 5 -

中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 结果与实际值非常接近，曲线模拟程度很高。而且本文模型的平均相对误差比其他几种模型都要小，其关联度也较大，模型精度相当高，非常适合对地面沉降进行监测和分析。 3 结论本文提出了一种非等间距灰色线性回归组合预测模型，成功解决了地面沉降监测中的监测时间具有非等间距性，并且监测样本数据少的建模预测问题。在与非等间距 (1,1) GM 模型和灰色线性回归组合模型进行比较后，更加突出了本文模型对于地面沉降监测和分析的实用性和有效性。 [参考文献] (References) [1] 崔振东，唐益群. 国内外地面沉降现状与研究[J]. 西北地震学报，2007，,29(3):275～278. [2] 赵显富，郭淳. 灰色预测模型及其在沉降预测中的应和[J]. 铁路航测，2002(3):30～32. [3] 郑良飞，折学森. 地面沉降的 GM(2,1)模型预测研究[J]. 中国地质灾害与防治学报，2007，18(4):66～ 69. 60 [4] 马保卿，张荫. 灰色线性回归组合模型在地面沉降预测中的应用[J]. 铁道勘察，2008，5:20～22. [5] 李斌，朱健. 非等间距灰色 GM(1,1)模型在沉降数据分析中的应用[J]. 测绘科学，2007，32(4):52～55. [6] 刘明波，田林亚等. 非等步长 GM(1,1)模型及其在大堤沉降监测的应用[J]. 测绘工程，2006，15(3):58～ [7] Luo M, Kuhnell B T. Forecasting machine condition using grey system theory [J]. Condition Monitoring and Diagnostic Technology.1991，1(3):105～102. [8] 肖新平，邓旅成，查金茂. 灰色系统分析理论及其应用[M]. 大连:大连海事大学出版社，1997. [9] 肖新平，宋中民，李峰. 灰技术基础及其应用[M]. 北京:科学出版社，2005. [10] 刘思峰，谢乃明. 灰色系统理论及其应用[M]. 北京:科学出版社，2008. - 6 -

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