2009年江苏高考数学试题及答案.doc-资料库

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2009 年江苏高考数学试题及答案注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题——第 14 题）、解答题（第 15 题——第 20 题）。本卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。 2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。 5.如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。参考公式：样本数据 1 , x x 2 , x 的方差 , n 2 s  1 n n  i 1  ( x i  x 2 ) , x 其中  1 n n  i 1  x i 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．. z 1.若复数 1 【答案】 20 【解析】略   ，其中i 是虚数单位，则复数 1 ( z 4 29 , i z 的实部为★. 6 9 i   ) z i 2  2 2.已知向量 a 和向量 b 的夹角为30 ，| a b 【答案】3 ★ . a | 2,|  b |  3 ，则向量 a 和向量 b 的数量积【解析】 a b 2   3   3 。 3 2  2 3  的单调减区间为 ★ . x x   6 33 15 ( ) f x  x 3.函数【答案】( 1,11)  ( ) 3 x f x     得单调减区间为( 1,11) 1) 0 x y A  0) sin(  在闭区间[ 33 3(  , 【解析】 ( 11)( x 30     x 2 4. 函数 0, A  ★ .  )( , A x    ,0] 上的图象如图所示，则 为常数， x 11)( x 1)  ，由。 y 1   2  3   3 O 1 x

【答案】3 3 2 【解析】 T  ， T  ，所以 2 3 3 ， 5.现有 5 根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为 2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 ★ . 【答案】0.2 【解析】略 6.某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1，2，3，4，5 的学生进行投篮练习，每人投 10 次，投中的次数如下表：学生 1 号 2 号 3 号甲班 7 6 则以上两组数据的方差中较小的一个为 2s  ★ . 乙班 7 7 6 6 【答案】 2 5 【解析】略 7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W  ★ . 【答案】22 【解析】略 4 号 8 7 5 号 7 9 开始 S  0 T  1 8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1：2，则它们的面积比为 1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为 1：2，则它们的体积比为 ★ . 【答案】1：8 【解析】略 C y 9.在平面直角坐标系 xoy 中，点 P 在曲线且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为 ★ . 【答案】( 2,15)  上， 10 3    3 x : x S   T 2 S T T  2 S  10 Y W S T  N 输出W 结束【解析】略 a  10.已知 5 1  2 小关系为 ★ . 【答案】 m n ，函数 ( ) f x x a ，若实数 ,m n 满足 ( f m )  ( ) f n ，则 ,m n 的大

【解析】略  x  A | log 11.已知集合 2 ( , ) c  ，其中c  ★ . 【答案】4 x  ，  2 B   ，若 A B 则实数 a 的取值范围是 , ) a ( a  ，所以c  4。 4 A  2x  得0 4x  ，；由 A B 知 (0,4] log 【解析】由 2 12.设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线l 与内的一条直线平行，则l 和平行；（3）设和相交于直线l ，若内有一条直线垂直于l ，则和垂直；（4）直线l 与垂直的充分必要条件是l 与内的两条直线垂直. 上面命题中，真命题．．．的序号【答案】（1）（2）（写出所有真命题的序号）. ★ 【解析】略 13．如图，在平面直角坐标系 xoy 中， 1 A A B B 为椭圆 , , 2 , 1 2 2 2 x a  2 2 y b  1( a b   的 0) 四个顶点，F 为其右焦点，直线 1 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 ★ . 2A B 与直线 1B F 相交于点 T，线段OT 与椭圆的交点 M T A2 x M y n a   B2 1( | 1 2 7 5  ,a b c 表示交点 T，得出 M 坐标，代入椭圆方程即可转 q  ，令   若数列  nb 有连续四项在集合 1,2,  53, 23,19,37,82 e  【答案】【解析】用 , 化解得离心率. 14 ．设  na 是公比为 q 的等比数列， | b n   【答案】 9 【解析】将各数按照绝对值从小到大排列，各数减 1，观察即可得解. 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15．（本小题满分 14 分） ) 中，则6q  ★ . n  A1 O a  设向量（1）若a 与 (4cos ,sin ),    c 垂直，求 tan( 2b b  ), (sin ,4cos  )  的值； c  (cos  , 4sin )  

（2）求| （3）若 tan tan 【解析】由a 与即 4sin( b c   |b c 的最大值; 16 2b c 垂直， ( a b  ) 8cos(     (sin cos      ，求证：a ∥b . 2 ) 2 0 c a c       ， ) 0  ， tan( ) 2       ； ,4cos 4sin )    a b 16cos 2   32cos    sin 16sin 2  | 2 |b c    2 2 ， cos        sin 2sin cos 17 30sin cos   17 15sin2  |b c 的最大值为4 2 。最大值为 32，所以| 16 由 tan tan   得sin sin   即4cos sin sin      所以a ∥b . 4cos    16cos cos  0  ，， 16．（本小题满分 14 分）如图，在直三棱柱 ABC A B C 1 1 1  中， E,F 分别是 1 A B,AC 的中点，点 D 在 1 1B C 上， 1 A D B C 1 1 求证：（1） EF ∥ 平面（2）平面 A FD 1 ABC  平面 BB C C 1 1 A1 A F E C1 C D B1 B 【解析】证明：（1）因为 E,F 分别是 1 A B,AC 的中点，所以 EF // BC ，又 EF  面ABC ，BC  面ABC ，所以 EF ∥ ABC 平面； 1 （ 2 ）因为直三棱柱 ABC A B C 1 1 1  BB ，所以 1  面 A B C 1 1 1 BB ， 1 A D 1 ，又

A D B C 1 1 A FD 1 平面  ，所以 1 BB C C 平面 1 1 。 A D  面B B C C 1 1 ，又 1 A D  面 A FD 1 ，所以 17．（本小题满分 14 分）设 na 是公差不为零的等差数列， nS 为其前n 项和，满足（1）求数列 na 的通项公式及前 n 项和 nS ； a 2 2  2 a 3  a 2 4  2 a ,S 5 7  7 （2）试求所有的正整数 m ，使得 1  为数列 na 中的项. a a m m a 2 a 5 ) m   2  a  ， 2 4 ( d a 4 2 a 3  a 3 ) ，  2 2  a 4 a 3 由性质得解析：（1）设公差为 d ，则 3 ( d a  0 d  ， a a 所以 4 3 即 12 5 a d 因为 0  ， 0  ，又由 7 a S  得 1 7 7  7 6  2 d  ， 7 5 a   ，解得 1 2 d  所以 na 的通项公式为 2 )( m  3 )  2 ) 7  2 ( m 4 )( t  t 2 ( m ( t    1  2 na 5 ) 2 n  ，前 n 项和 7 nS  2 n  。 6 n （2） m  2  t t 1  ，令 2 3m   ， 8 6    ， t a a m m a m a a m m a 因为t 是奇数，所以t 可取的值为 1 ， 8 6 3    ， 2 5 7 3 t 8 6     ，数列 na 中的最小项是 5 ，不符合。 t    ，是数列 na 中的项； 2m  时， 1m  时，当 1t  ， t   ， 15 1 t t 所以满足条件的正整数 2m  。 18．（本小题满分 16 分）在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆 1 :( C x  2 3)  ( y 2  1)  和圆 4

C 2 :( x  2 4)  ( y  2 5) 4  ，且被圆 1C 截得的弦长为2 3 ，求 A （1）若直线l 过点 (4,0) 直线l 的方程；（2）设 P 为平面上的点，满足：存在过点 P 的无穷多对互相垂的 l和，它们分别与圆 1C 和圆 2C 相交，且直线 1l 被圆 1C 截 l 直线 1 得的弦长与直线 2l 被圆 2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点 P 的坐标. 2 y . 1 O 1 . x 【解析】(1) y  或 0 y   7 ( 24 x  ， 4) (2)P 在以 C1C2 的中垂线上，且与 C1、C2 等腰直角三角形，利用几何关系计算可得 (  点 P 坐标为 3 13 , 2 2 19.(本小题满分 16 分) ) 或 ( 5 2 ,  。 ) 1 2 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为 a 元，如果他卖出该产品的单价为 m 元，则他的满意度为 m m a ；如果他买进该产品的单价为 n 元，则他的满意度为 .如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为 1h 和 2h ，则他对这两种交易的 n n a 综合满意度为 1 2h h . 现假设甲生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元，乙生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 3 元和 20 元，设产品 A、B 的单价分别为 Am 元和 Bm 元，甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为 h甲，乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为h乙 (1) 求 h甲和 h乙关于 Am 、 Bm 的表达式；当 m A m 3 5 时，求证： h甲 = h乙； B (2) 设 m A m 3 5 ，当 Am 、 Bm 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的 B 综合满意度为多少？ (3) 记(2)中最大的综合满意度为 0h ，试问能否适当选取 Am 、 Bm 的值，使得 h h甲 0 和 h h乙 0 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。

(4) 求 h甲和 h乙关于 Am 、 Bm 的表达式；当 m A m 3 5 时，求证： h甲 = h乙； B (5) 设 m A m 3 5 ，当 Am 、 Bm 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的 B 综合满意度为多少？ (6) 记(2)中最大的综合满意度为 0h ，试问能否适当选取 Am 、 Bm 的值，使得 h h甲 0 和 h h乙 0 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。【解析】(1) h 甲 = m A 12  A  m B  m B m 5 , h 乙 = m A  A m m B  m B  3 20 , ( m A  [3,12], m B  [5,20]) 当 m A m 时， B 3 5 3 5 m m B   12 B h 甲 = 3 5 m B  B m  5 2 m B 20)( m  5) B ( m B   m B  m B 20  2 m B 5)( m B ( m B   20) m B 3 5 m B  3 h = 乙 3 5 显然 =h h乙甲 3 5 时， B (2)当 m A m , , h 甲 = 2 m B 20)( m B   5) ( m B  1 )(1   5 m B ) (1  20 m B 100( 1 m B 2 ) 1  , 1  25 1 m B 由 m B  [5,20] 得 1 m B [ 1 1 , 20 5 ] ，故当 1 Bm  即 1 20 m B  20, m A 12  时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 10 5 20．(本小题满分 16 分) ( ) 2 设 a 为实数，函数 f x (1) 若 (0) 1 (2) 求 ( ) f f x 的最小值； (  ，求 a 的取值范围；   x 2 x a x a  ) |  | .

(3) 设函数 ( ) h x  ( ), f x x 解集.   ，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式 ( ) 1 h x  的 ( , a ) 【解析】（1）若 (0) 1  ，则 f  a a | | 1   0 a   2 1 a   1    a （2）当 x a 时， ( ) 3 f x  x 2  2 ax a  2 , ( ) f x  min      ( ), f a a a 3 ), ( f a  0  0  当 x a 时， ( ) f x  2 x  2 ax a  2 , ( ) f x  min 0 ( ), a a f  ( ), f a a   0     0      2 2 , a a  2 2 , a a   0 2  2 , a a   2 2 a  3  ,  0 a  0  0  0 min 综上 ( ) f x 2  2 , a a   2 2 a  3 a  时， ( ) 1 h x  得 2 x 1) 12 8    ) 12( ( , 4 a 3  a a , a 2 2 2   (3) x  2 ax a  2 1 0   ，当 a   6 2 或 a 6 2 时，   0, x   ； ( , a ) 当 6 2    a 6 2 时，   得 0, a     ( x    x a 2 3 2 a  3 a  )( x  2 3 2 a  3 ) 0  1） a  ( 2 2 , 6 2 ) 时， ( , a  x ) 2） [ a   3） ( a   2 2 6 2 a  时， x  [ , 2 2 ] 2 a 3 2  3 ,  ) ,  2 2 ] 时， x  ( , a a  2 a 3 2  3 a  ]  [ 2 a 3 2  3 ,  )

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