Simple算法有限体积法离散求解方腔流问题.doc-资料库

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Simple 法有限体积法离散求解方腔流问题一．问题描述假设 0  , yx  1 的方腔内充满粘性不可压缩流体，左、右、下壁固定，上壁以 u /1 sm 运动，方腔内初始时刻压力和密度为 =1.0 p 、 =1.0 它周围壁面（左右壁面和底面）固定不动，上壁面以量纲为一的速度1.0 沿着上壁面方向自左向右运动。方腔如图 1 所示。 u=1m/s 图 1 方腔内流动示意图基本方程组、初始条件和边界条件设流体是黏性流体。二维方腔流动问题的动量方程为： uu  (  x   uv  y  )  F  x  vu  (  x   vv  y  )  F  y  P  x  P  y   (  2 u  2 x   2 u  2 y  )  (  2 v  2 x   2 v  2 y  ) 1 2

连续方程为： u  x   v  y  0 （3）其中u 为水平 x 方向的流速， v 为 y 方向的流速，为黏度初始条件：方腔上壁面以量纲为一的速度1.0 沿着上壁面方向自左向右运动。 u=1m/s,v=0,p 左边界 u=0,v=0,p 右边界 u=0,v=0,p 压力参考点 u=0,v=0,p=0 底边 u=0,v=0,p 边界条件：如上图所示二、离散动量方程本算例采用求解不可压缩流动的经典算法，即 SIMPLE 算法，求解方腔内粘性不可压缩流体运动的定常解。

同位网格如图 2 所示， uw W ue E N vn vs P S 图 2 同位网格在同位网格上，将 u 动量方程 uu  (  x   uv  y  )  F  x  P  x   (  2 u  2 x   2 u  2 y  ) 对控制容积 P 作积分，可得到：     A  uu  (  x   uv  y  )   dA       A  F  x  P  x     dA      A  (  2 u  2 x   2 u  2 y  )   dA  （4） _ S F   x  令 u ,   u A    e  P  x     A   u A      x    e  w        A  利用 Gauss 定理写成如下形式：    v A         x     w  n A   v A      y   n    s     A    y     s x y    S  （5）对        x   e ,        x   w ,        y   ,        y   e , n 采用一阶向前差分：       W x x      w    e  x   x     , P P E ,      S y   y   y   y           , N P P n e 记： F e  ( ) FAu  w , e e  ( ) FAu  n ww ,  ( ) FAv  s , n n  ( ) Av  s s D e   e x  A e PE , D w  A  ww x  PW , D n   n x  A n PN , D s   s x  A s PS , （6）（7）（8）

这样方程（5）可以写成： F F   ww ee ( ) D   P e E   F   nn s ( D  w W F s  P  )  D n (  P  N )  D s (  S  P ) yx  S  （9）对于对流项，采用三阶迎风型QUICK 离散格式进行分析，当 0, u u e  时， 0 w 通过WW 、W 和 P 三个节点值拟合曲线来计算主控制单元左侧界面参数 w 。通过节点W 、 P 和 E 三个节点值拟合曲线来计算主控制单元右侧界面参数 e 。当 u e 0, u w  ，则分别通过节点W 、 P 、 E 和 P 、 E 、 EE 三个节点值计算主控 0 制单元左、右两侧界面参数 w 和 e。根据上述计算原则，可以得到界面参数 w 计算公式如下： NN N WW W P E EE S SS 当 wu  时，界面参数 w 计算公式为： 0  w  6 8  W WW   1 8 3 8 P 当 0 eu  时，界面参数 w 计算公式为：（10）

当时，界面参数计算公式为：  e W   E P  6 8 0wu  w  6 8  E   W P 3 8 3 8 3 8 1 8 1 8 1 8 当 0eu 时，界面参数计算公式为：  e EE    P E 6 8 （11）（12）（13）类似的我们可以得到 s n , 的具体表达式。这样我们可以写出在控制容积 P 上，关于的离散方程如下： a  P P  a  W W a  S S a  a   E E  N N   a a  EE EE  SS SS a  a   EE EE  NN NN  S V   （14）其中 S为有限体积算法中源项平均值。式中各个系数为：  6 8  F w w a W  D w a WW   a E  D e 1 8  a EE  a S  a SS   a N  a NN  1 1  8 D s  F s  s 6 8  s 3 8   n  n 1 8 D  n 1 1  8  F w w  1 8  e F e  3 1   8  w  F w 3 8  e F e  6 8  1   e  F e  1 8  1   w  F w   e  F e F s  1 8  n F n  3 1   8  s  F s  1   n  F n  1 8  1   s  F s 6 8 F n   F n a P  a W  a E  a WW  a EE  a S  a N  a SS  a NN   F F e w   F n  F s  （15）式中

源项 S为：当当 0 F   时， k k 0 F   时， k k , , , k w e s n    1 ； 0 。 S    u   t   p  x  （16）（17）若把 nu 表示 nt 时刻动量， 1nu  表示 1nt  时刻动量，则可以得到源项 S离散  格式为： S dV      u    n P  1n  u  P t  x y     p e  p w  y  （18）   V 最后，得到有限体积算法二维对流扩散方程三阶迎风型QUICK 离散格式： n ua  PP n ua  S S (| u   n n ua ua   WW EE n n ua ua   NN SS SS 1  n n ) ( )  u  P P t  n ua EE EE ua  NN a WW  n NN n u WW （19） yx  ( p n e  p n w )  y  F w w  1 8  e F e  3 1   8  w  F w 3 8  e F e  6 8  1   e  F e  1 8  1   w  F w   e  F e F s  1 8  n F n  3 1   8  s  F s  6 8  F w w a W  D w a WW   a E  D e 1 8  a EE  a S  a SS   a N  a NN  1 1  8 D s  F s  s 6 8  s 3 8   n  n 1 8 D  n 1 1  8  1   n  F n  1 8  1   s  F s 6 8 F n   F n a P  a W  a E  a WW  a EE  a S  a N  a SS  a NN   F F e w   F n  F s  （15）以上是动量方程的离散。

三、SIMPLE 算法基本思想 SIMPLE 算法是一种解决压力-速度耦合问题的“半隐式”算法。首先给定 n 时刻猜测的速度场 n vu , ，用于计算离散动量方程中的系数和常数项。给定 n 时刻猜测的压力场估计 n 值 *p ，迭代求解离散动量方程，得到 n+1 时刻速度场的估计值 *, vu * ，速度场的估计值 *, vu * 满足如下离散方程。 n n n ua ua ua    PP WW EE n n n ua ua ua    S S NN SS SS 1  n n ) ( (| )  u u   P P t   n ua EE EE ua  NN a WW  n NN n u WW yx  ( p n e  p n w )  y 其中 Pe 和 Pw 为界面压力。 ua p p  nb a nb 可以改写为:  nb u P   b nb ua nb a P  A P a P ( PP e w  )  u P  A P a P ( PP e w  ) 同样的可以写出 E 点上的 u 动量离散方程为： u E  u E     A P a P    E ( PP e w  ) 其中    A P a P    E 表示 E 点写出的该动量方程的压力作用面积与主对角元之商。不计算非稳态项时，连续方程在 P 控制容积上离散可得： ( ) uA  e  ( ) uA   ( ) vA   ( ) vA  s n w  0 界面上的流速： u e  u e  ( A P a P () e P E  P P ) u w  u w  ( A P a P () w P P  P W )

v n  v n  ( v s  v s  ( A P a P A P a P () n P N  P P ) () s P P  P S ) eu ， ( P A ) a P 等通过线性插值由节点上的值来表示： e  ex e P E   ex   ex 图 3 e 界面两侧的集合关系  ( ) x  e ( ) x  e u e  u P ( ) x  e ( ) x    e u e ( A P a P ) e  ( A P a P ) P ( ) x  e ( ) x    e ( A P a P ) E ( ) x  e ( ) x   e u w  u W ( ) x  e ( ) x    e u P ( ) x  e ( ) x   e ( A P a P ) w  ( A P a P ) W ( ) x  e ( ) x    e ( A P a P ) P ( ) x  e ( ) x   e v n  v P ( ) x  e ( ) x    e v N ( ) x  e ( ) x   e ( A P a P ) n  ( A P a P ) P ( ) x  e ( ) x    e ( A P a P ) E ( ) x  e ( ) x   e v s  v S ( ) x  e ( ) x    e v P ( ) x  e ( ) x   e

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