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连续时间信号傅里叶级数分析.doc
摘要
Abstract
绪论
1 MATLAB简介
1.1 MATLAB语言功能
1.2 MATLAB语言特点
2 连续时间周期信号的傅里叶级数
2.1 连续时间周期信号的分解
2.1.1 三角形式的傅里叶级数
2.1.2 指数形式的傅里叶级数
2.2 连续时间周期信号的傅里叶综合
2.3吉布斯现象
3 连续时间周期信号的频谱分析
3.1单边与双边频谱关系
3.2以单边幅度频谱为例，研究脉冲宽度与频谱的关系
3.3以单边幅度频谱为例，研究脉冲周期与频谱的关系
4 典型周期脉冲的频谱
4.1 周期方波脉冲频谱的MATLAB实现
4.1.1 周期方波脉冲双边频谱的MATLAB实现
4.1.2 周期方波脉冲单边频谱的MATLAB实现
4.2 周期三角波脉冲频谱的MATLAB 实现
4.2.1 周期三角波双边频谱的MATLAB实现
4.2.2 周期三角波单边频谱的MATLAB实现
5小结即心得体会
致谢
参考文献
附录
Matlab 应用实践课程设计
课程设计任务书
专业班级:
工作单位:
学生姓名:
指导教师:
题 目:
连续时间信号傅里叶级数分析及 MATLAB 实现
初始条件：
MATLAB 6.5
要求完成的主要任务：
深入研究连续时间信号傅里叶级数分析的理论知识，利用 MATLAB 强大的图
形处理功能，符号运算功能以及数值计算功能，实现连续时间周期信号频域分析
的仿真波形。
1.用 MATLAB 实现周期信号的傅里叶级数分解与综合。
2.用 MATLAB 实现周期信号的单边频谱及双边频谱。
3.用 MATLAB 实现典型周期信号的频谱。
4.撰写《MATLAB 应用实践》课程设计说明书。
时间安排：
学习 MATLAB 语言的概况
学习 MATLAB 语言的基本知识
学习 MATLAB 语言的应用环境，调试命令，绘图能力
课程设计
答辩
第 1 天
第 2、3 天
第 4、5 天
第 6-9 天
第 10 天
指导教师签名：
年 月
日
系主任（或责任教师）签名：
年
月 日
Matlab 应用实践课程设计
目 录
摘要..................................................................................................................................................I
ABSTRACT................................................................................................................................... II
绪论.................................................................................................................................................1
1 MATLAB 简介............................................................................................................................ 2
1.1 MATLAB 语言功能..............................................................................................................2
1.2 MATLAB 语言特点..............................................................................................................2
2 连续时间周期信号的傅里叶级数.............................................................................................3
2.1 连续时间周期信号的分解...................................................................................................3
2.1.1 三角形式的傅里叶级数................................................................................................3
2.1.2 指数形式的傅里叶级数................................................................................................4
2.2 连续时间周期信号的傅里叶综合.......................................................................................4
2.3 吉布斯现象........................................................................................................................... 6
3 连续时间周期信号的频谱分析.................................................................................................7
3.1 单边与双边频谱关系........................................................................................................... 7
3.2 以单边幅度频谱为例，研究脉冲宽度与频谱的关系....................................................... 8
3.3 以单边幅度频谱为例，研究脉冲周期与频谱的关系....................................................... 9
4 典型周期脉冲的频谱............................................................................................................... 11
4.1 周期方波脉冲频谱的 MATLAB 实现...............................................................................11
4.1.1 周期方波脉冲双边频谱的 MATLAB 实现............................................................... 12
4.1.2 周期方波脉冲单边频谱的 MATLAB 实现............................................................... 13
4.2 周期三角波脉冲频谱的 MATLAB 实现..........................................................................15
4.2.1 周期三角波双边频谱的 MATLAB 实现................................................................... 16
4.2.2 周期三角波单边频谱的 MATLAB 实现................................................................... 17
5 小结即心得体会........................................................................................................................19
致谢...............................................................................................................................................20
参考文献.......................................................................................................................................21
附录...............................................................................................................................................22
Matlab 应用实践课程设计
摘要
MATLAB 目前已发展成为由 MATLAB 语言、MATLAB 工作环境、MATLAB 图形
处理系统、MATLAB 数学函数库和 MATLAB 应用程序接口五大部分组成的集数值计
算、图形处理、程序开发为一体的功能强大的系统。本次课程设计则在深入研究连续时间
信号傅里叶级数分析理论知识的基础上，利用 MATLAB 强大的图形处理功能、符号运算
功能以及数值计算功能，通过 MATLAB 编程进行图形功能仿真，从而实现连续时间周期
信号频域分析的仿真波形，包括以下内容：用 MATLAB 实现周期信号的傅里叶级数分解
与综合的波形；用 MATLAB 实现周期信号的单边频谱及双边频谱的波形与分析；用
MATLAB 实现典型周期信号的频谱的波形。
关键词：MATLAB；图形处理；傅里叶级数；周期信号；频谱
I
Matlab 应用实践课程设计
Abstract
MATLAB now evolved into MATLAB language, MATLAB working environment,
MATLAB graphics processing systems, MATLAB math library and the MATLAB application
program interface has five major components of the set of numerical computation, graphics
processing, program development as one powerful system. The curriculum design, in-depth
study Fourier series analysis of continuous-time signal on the basis of theoretical knowledge,
using MATLAB a powerful graphics processing capabilities, symbolic computing and
numerical computing capabilities,
through the functional simulation MATLAB graphical
programming in order to achieve continuous time periodic signal frequency domain analysis of
the simulation waveforms,
including the following: realization of periodic signals using
MATLAB Fourier series decomposition and integration of the waveform; periodic signals using
MATLAB to achieve unilateral and bilateral spectrum waveform and spectrum analysis; using
MATLAB to achieve a typical cycle of the signal wave spectrum.
Keywords: MATLAB; graphics processing; Fourier series; periodic signal; Spectrum
II
Matlab 应用实践课程设计
绪论
在科学技术飞速发展的今天，计算机正逐步将科技人员从繁重的计算工作中解脱出
来。在进行科学研究与工程应用中，往往需要大量的科学计算，一些科技人员曾经尝试使
用传统的高级语言Basic、Fortran 及C 语言编写程序，以减轻工作量。但编制程序需要掌
握高级语言的语法，还要对各种算法进行了解，这对大多数科技人员来说是不大现实的，
而且也是没有没有必要的。MATLAB 正是在这一应用要求背景下产生的数学类科技应用
软件。它具有的顶尖的数值计算功能、强大的图形可视化功能及简洁易学的“科学便捷式”
工作环境和编程语言，从根本上满足了科技人员对工程数学计算的要求，并将科技人员从
繁重的数学运算中解放出来，因而越来越受到广大科技工作者的普遍欢迎[1]。
MATLAB 是matrix 和laboratory 前三个字母的缩写，意思是“矩阵实验室”，是
MathWorks 公司推出的数学类科技应用软件。其Dos 版本（MATLAB 1.0）发行于1984 年，
现已推出了Windows 版本（MATLAB 5.3）。经过十多年的不断发展与完善，MATLAB 已
发展成为由MATLAB 语言、MATLAB 工作环境、MATLAB 图形处理系统、MATLAB 数
学函数库和MATLAB 应用程序接口五大部分组成的集数值计算、图形处理、程序开发为
一体的功能强大的系统。MATLAB 由“主包”和三十多个扩展功能和应用学科性的工具
箱（Toolboxs）组成。
目前，MATLAB已经成为国际上最流行的电子仿真计算机辅助设计的软件工具，现在
的MATLAB已经不仅仅是一个“矩阵实验室（Matrix Laboratory）”，它已经成为一种实
用的、全新的计算机高级语言。
正是由于 MATLAB 在数值计算及符号计算等方面的强大功能，使MATLAB一路领
先，成为数学类科技应用软件中的佼佼者。目前，MATLAB 已成为国际上公认的最优秀
的科技应用软件。MATLAB 的上述特点，使它深受工程技术人员及科技专家的欢迎，并
很快成为应用学科计算机辅助分析、设计、仿真、教学等领域不可缺少的基础软件。
1
Matlab 应用实践课程设计
1 MATLAB 简介
1.1 MATLAB 语言功能
MATLAB是一个高精度的科学计算语言，它将计算、可视化编程结合在一个容易使用
的环境中，在这个环境中，用户可以把提出的问题和解决问题的办法用熟悉的数学符号表
示出来，它的典型使用包括：
（1）数学和计算；
（2）运算法则；
（3）建模、仿真；
（4）数值分析、研究和可视化；
（5）科学的工程图形；
（6）应用程序开发，包括创建图形用户接口。
1.2 MATLAB 语言特点
MATLAB 是一个交互式系统，他的基本数据单元是数组，这个数组不要求固定的大
小，因此可以让用户解决许多技术上的问题，特别是那些包含矩阵和矢量运算的问题。
MATLAB的指令表达与数学、工程中常用的习惯形式相似，与C、Fortran、等高级语言相
比，它的语法规则更简单、表达更符合工程习惯，正因为如此，人们用MATLAB语言编写
程序就犹如在便笺上书写公式和求解，因而MATLAB被称为“便笺式”的科学工程语言。
MATLAB的最重要特征使他拥有解决特定应用问题的程序组，也就是TOOLBOX(工具
箱)，如信号处理工具箱，控制系统工具箱、神经网络工具箱、模糊逻辑工具箱、通信工具
箱和数据采集工具箱等许多专用工具箱，对大多数用户来说，要想灵活、高效地运用这些
工具箱，通常都需要学习相应的专业知识。
此外，开放性也许是MATLA最重要和最受欢迎的特点之一。除内部函数外，所有的
MATLAB主要文件和各工具箱文件都是可读的、可改的源文件，因为工具箱实际上是有一
组复杂的MATLAB函数（M文件）组成，它扩展了MATLAB的功能，用以解决待定的问题，
因此用户可以通过对源文件进行修改和加入自己编写的文件去构建新的专用工具箱。
2
Matlab 应用实践课程设计
2 连续时间周期信号的傅里叶级数
频域分析法即傅里叶分析法，它是变换域分析法的基石。其中，傅里叶级数是变换
域分析法的理论基础，傅里叶变换作为频域分析法的重要数学工具，具有明确的物理意义，
在不同的领域得到广泛的应用
2.1 连续时间周期信号的分解
以高等数学的知识，任何周期为T的周期函数 )(t
f ，在满足狄里赫利条件时，则该周
期信号可以展开成傅里叶级数。傅里叶级数有三角形式和指数形式两种[2]。
2.1.1 三角形式的傅里叶级数
三角形式的傅里叶级数为：
f
)(
t
1
aa
0
2
a
0
2
1
n
cos(
)
t
a
2
cos(
)
t
a
3
cos(
t
)
b
1
sin(
)
t
b
2
sin(
)
t
a
n
cos(
tn
)
n
1
b
n
sin(
tn
)
n
3,2,1
)12(
式中系数 na 、 nb 称为傅里叶系数，可由下式求得。
a
0
a
n
b
n
1
T
2
T
2
T
T
2
T
2
T
2
T
2
T
2
T
2
f
f
t dt
t
cos
n t dt
f
t
sin
n t dt
2 2
2
T
其中，
为基波频率, n 为n次谐波频率。如果将
2 1 式中同频率的正弦和余弦
分量合并，则三角形式的傅里叶级数可表示为：
f
t
A
0
2
n
1
A
n
cos
n t
n
n
1,2,3,
2 3
3
Matlab 应用实践课程设计
n
1,2,
2 4
A
0
A
n
a
0
a
2
n
上式中
n
arctan
2 ,
b
n
a
n
b
n
a
0
a
b
n
n
A
0
,
cos
A
n
n
sin
A
n
n
n
1,2,
可以看出，傅里叶系数 na 和 nb 都是 n 或
n 的函数，其中 na 和 nA 是 n 或
n 的偶函
数，即有 na na ；而 nb 和 n 是 n 或
n 的奇函数，即有 nb
nb 。
2.1.2 指数形式的傅里叶级数
根据欧拉公式：
1
2
tn
cos(
n
)
(
tnj
n
)
[
e
e
(
tnj
n
)
]
2 5
并考虑 nA 和 n 奇偶性可将
2 3 改写为指数形式的傅里叶级数：
f
t
n
F e
n
jn t
,
n
0, 1, 2, 3,
)62(
即周期信号可分解为一系列不同频率的虚指数信号之和，式中 nF 称为傅里叶复系数，
可由下式求得：
nF
1 T
2
T
T
2
f
t e
jn t
dt
2.2 连续时间周期信号的傅里叶综合
任何满足狄里赫里条件的周期信号，可以表示成式
2 6 式常称为连续周期信号的傅里叶级数综合公式。
2 1 或
或
2 7
2 6 的和式形式，
2 1
一般来说，傅里叶级数系数有无限个非零值，即任何具有有限个间断点的周期信号都
一定有一个无限项非零系数的傅里叶级数表示。但对数值计算来说，这是无法实现的。在
实际的应用中，但我们可以用有限项的傅里叶级数求和来逼近。
4
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