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2020年贵州高考理科数学试题及答案.doc
2020 年贵州高考理科数学试题及答案
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．已知集合 {( ,
x y
A
) |
,
x y
*N
,
y
}
x
， {( ,
x y
B
) |
x
，则 A B 中元素的个数为
8}
y
B．3
C．4
D．6
A．2
2．复数
A．
1
1 3i
3
10
的虚部是
B．
1
10
C．
1
10
3．在一组样本数据中，1，2，3，4 出现的频率分别为 1
p p p p ，且
,
,
,
2
3
4
D．
3
10
p
i
1
4
i
1
，则下面四种情形中，对应
样本的标准差最大的一组是
p
A． 1
p
4
0.1,
p
2
p
3
0.4
p
B． 1
p
4
0.4,
p
2
p
3
0.1
p
C． 1
p
4
0.2,
p
2
p
3
0.3
p
D． 1
p
4
0.3,
p
2
p
3
0.2
4．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠
肺炎累计确诊病例数 ( )
I t （t的单位：天）的 Logistic 模型：
( )=
I t
K
0.23(
t
53)
1 e
，其中 K为最大确诊病
例数．当 *(
I t
) 0.95
K
时，标志着已初步遏制疫情，则 t*约为 (ln19 3)
A．60
B．63
C．66
D．69
5．设 O为坐标原点，直线 x=2 与抛物线 C： 2
y
2
(
px p
交于 D，E两点，若 OD OE⊥ ，则 C的焦点坐标
0)
为
A．
1(
4
,0)
B．
1(
2
,0)
C． (1,0)
D． (2,0)
6．已知向量 a，b满足|
| 5a ，|
| 6b ，
6
a b
，则 cos
,
a a b
=
A．
31
35
B．
19
35
C．
17
35
D．
19
35
7．在△ABC中，cosC= 2
3
，AC=4，BC=3，则 cosB=
A． 1
9
B． 1
3
C． 1
2
D． 2
3
8．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是
A． 6+4 2
B． 4+4 2
C． 6+2 3
D． 4+2 3
9．已知 2tanθ–tan(θ+ π
4
)=7，则 tanθ=
A．–2
B．–1
C．1
D．2
10．若直线 l与曲线 y= x 和 x2+y2= 1
5
B．y=2x+ 1
2
A．y=2x+1
都相切，则 l的方程为
C．y= 1
2
x+1
D．y= 1
2
x+ 1
2
11．设双曲线 C：
2
2
x
a
2
2
y
b
（a>0，b>0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 5 ．P是 C上一点，且
1
F1P⊥F2P．若△PF1F2 的面积为 4，则 a=
A．1
B．2
C．4
D．8
12．已知 55<84，134<85．设 a=log53，b=log85，c=log138，则
A．a
③f（x）的图像关于直线x=
④f（x）的最小值为2．
2
对称．
其中所有真命题的序号是__________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生
都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）
设数列{an}满足 a1=3， 1
a
n
3
a
n
．
n
4
（1）计算 a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前 n项和 Sn．
18．（12 分）
某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据
得到下表（单位：天）：
锻炼人次
锻炼人次
空气质量等级
1（优）
2（良）
3（轻度污染）
4（中度污染）
[0，200]
（200，400]
（400，600]
2
5
6
7
16
10
7
2
25
12
8
0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 3 或 4，
则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的 2×2 列联表，并根据列联表，判断是否有 95%
的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次≤400
人次>400
空气质量好
空气质量不好
附：K2=
a
2
n ad bc
)
d a c b d
b c
，
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828 ．
19．（12 分）
如图，在长方体
ABCD A B C D
1
1 1 1
中，点 ,E F 分别在棱 1
,DD BB 上，且
1
2DE ED ，
1
BF
2
FB
1
．
（1）证明：点 1C 在平面 AEF 内；
AD ， 1
AA ，求二面角
1
3
A EF A
1
的正弦值．
（2）若
AB ，
2
20．（12 分）
:
C
已知椭圆
2
y
m
（1）求 C 的方程；
2
x
25
2
1(0
m
的离心率为 15
5)
4
， A ， B 分别为 C 的左、右顶点．
（2）若点 P 在 C 上，点 Q 在直线 6x 上，且|
BP
|
|
BQ
|
， BP BQ ，求 APQ△
的面积．
21．（12 分）
设函数
( )
f x
3
x
bx
，曲线
c
y
( )
f x
在点( 1
2
，f( 1
2
))处的切线与 y轴垂直．
（1）求 b．
（2）若 ( )
f x 有一个绝对值不大于 1 的零点，证明： ( )
f x 所有零点的绝对值都不大于 1．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为
2
x
t
t
2 3
y
t
2
2
t
（t为参数且 t≠1），C与坐标轴交于 A、B
两点．
（1）求|
|AB ；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB的极坐标方程．
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
设 a，b，c∈R，
a b c
，
0
abc ．
1
（1）证明：
ab bc ca
；
0
（2）用 max{ ,
a b c 表示 a，b，c的最大值，证明： max{ ,
, }
a b c ≥ 3 4 ．
, }
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
2．D
6．D
10．D
3．B
7．A
11．A
4．C
8．C
12．A
选择题答案
一、选择题
1．C
5．B
9．D
非选择题答案
二、填空题
13．7
14．240
三、解答题
15． 2
3
16．②③
a
17．解：（1） 2
35,
a
猜想
7,
na
2
n
1,
由已知可得
a
n
1
(2
n
3)
3[
a
n
(2
n
1)]
，
a
n
(2
n
1) 3[
a
n
1
(2
n
1)]
，
……
a
2
5 3(
a
1
3)
.
因为 1
a ，所以
3
na
2
n
1.
（2）由（1）得 2
n
na
(2
n
1)2
，所以
n
nS
3 2 5 2
2
3
7 2
(2
n
1) 2n
. ①
从而
2
nS
3 2
2
3
5 2
7 2
4
(2
n
1) 2n
1
.②
① ② 得
nS
3 2 2 2
2
3
2 2
2 2
n
(2
n
1) 2
n
1
，
所以
nS
(2
n
1)2
n
1
2.
18．解：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率的估计值如下表：
空气质量等级
1
2
3
4
概率的估计值
0.43
0.27
0.21
0.09
（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为
1 (100 20 300 35 500 45) 350
100
．
（3）根据所给数据，可得 2 2 列联表：
人次≤400
人次>400
空气质量好
空气质量不好
33
22
37
8
根据列联表得
2
K
100 (33 8 22 37)
55 45 70 30
2
5.820
．
由于 5.820 3.841
，故有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
19．解：设 AB a ， AD b ， 1AA
c ，如图，以 1C 为坐标原点， 1
1C D
的方向为 x 轴正方向，建立空间直
角坐标系 1C xyz
．
（1）连结 1C F ，则 1(0,0,0)
C
， ( ,
A a b c ，
, )
E a
( ,0,
2
3
)
c ，
F
(0,
b
,
1
3
EA
)
c ，
(0,
b
,
C F
， 1
c
)
1
3
(0,
b
,
1
3
c
)
，
EA C F
1
．
得
因此
EA C F∥ ，即
1
,
A E F C 四点共面，所以点 1C 在平面 AEF 内．
,
,
1
（ 2 ） 由 已 知 得 (2,1,3)
A
， (2,0,2)
E
， (0,1,1)
F
， 1(2,1,0)
A
，
AE
(0, 1, 1)
，
AF
( 2,0, 2)
，
A E
1
(0, 1,2)
A F
， 1
( 2,0,1)
．
设 1
n
( ,
, )
x y z
为平面 AEF 的法向量，则
AE
AF
0,
0,
n
1
n
1
即
z
y
2
2
z
x
0,
0,
n
可取 1
( 1, 1,1)
．
设 2n 为平面 1A EF 的法向量，则
A E
1
A F
1
n
2
n
2
0,
0,
同理可取 2
n
1(
2
,2,1)
．
因为
cos
,
n n
1
2
n n
2
1
|
|
n
n
1
2
|
|
7
7
，所以二面角
A EF A
1
的正弦值为 42
7
．
20．解：（1）由题设可得
2
25
m
5
15
4
所以C 的方程为
2
x
25
2
y
25
16
1
.
，得 2
m ，
25
16
（2）设 (
P x
,
P
y Q y ，根据对称性可设
P
(6,
),
)
Q
Qy ，由题意知
0
Py ，
0
由已知可得 (5,0)
B
，直线 BP的方程为
y
1 (
y
Q
x
，所以
5)
|
BP
|
y
1P
，
y
2
Q
|
BQ
|
1
，
y
2
Q
因为|
BP
|
|
BQ
|
，所以
Py ，将
1
Py 代入C 的方程，解得
1
Px 或 3 .
3
由直线 BP的方程得
Qy 或 8.
2
所以点 ,P Q 的坐标分别为 1
P
(3,1),
Q
1
(6,2);
P
2
( 3,1),
Q
2
(6,8)
.
|
|
PQ
1 1
10
，直线 1
1PQ 的方程为
y
x ，点 ( 5,0)
A
1
3
到直线 1
1PQ 的距离为 10
2
，故
APQ△
1
1
的面
积为 1
2
10
2
10
5
2
.
|
|
PQ
2
2
130
，直线 2
2P Q 的方程为
y
x
7
9
，点 A 到直线 2
10
3
2P Q 的距离为 130
26
，故
AP Q△
2
2
的
面积为 1
2
130
26
130
综上， APQ△
的面积为
.
5
2
.
5
2
．
b
21．解：（1）
依题意得
2
x
( ) 3
f x
1(
f
2
0
)
，即
3
4
0
b .
故
b ．
3
4
（2）由（1）知
(
f x
)
3
x
x
，
c
( ) 3
f x
x
2
3
4
3
4
.
令 )
(f x
x 或
0
，解得
1
2
f x 的情况为：
x
1
2
.
f x 与 ( )
( )
(
，
1
2
)
+
x
( )
f x
( )
f x
1
2
0
c
1
4
(
1 1
，
2 2
)
–
1
2
0
c
1
4
1(
2
，+
)
+
因为
f
(1)
f
(
因为
f
( 1)
f
(
1
2
1
2
)
)
，所以当
c
，所以当
c
1
4
1
4
c 时， ( )
f x 只有大于1的零点.
1
4
c 时，f（x）只有小于–1的零点．
1
4
由题设可知
，
c
1
4
1
4
当
当
1=
c 时， ( )
4
f x 只有两个零点
和1.
1
2
1=
c 时， ( )
4
f x 只有两个零点–1和
1
2
.
c
当
1
4
1
4
综上，若 ( )
时， ( )
f x 有三个等点x1，x2，x3，且 1
x ， 2
( 1,
(
x
)
1
2
1 1
,
2 2
)
， 3
x
1(
2
,1)
．
f x 有一个绝对值不大于1的零点，则 ( )
f x 所有零点的绝对值都不大于1.
22．解：
（1）因为 t≠1，由
2
t
t
2
得
0
t ，所以 C与 y轴的交点为（0，12）；
2
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