2020-2021 学年江苏省无锡市滨湖区九年级上学期数学期末
试题及答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题所给出的四个选项中,只
有一项是正确的,请用 2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑
.............)
1. 下列方程有实数根的是( )
A. x2+x+1=0
B. x2-x-1=0
C. x2-2x+3=0
D. x2- 2 x+1=0
【答案】B
【解析】
【分析】计算一元二次方程的判别式,逐一判断每个选项,即可.
【详解】A. x2+x+1=0,∆=12-4×1×1=-3<0,该方程没有实数根,
B. x2-x-1=0,∆=(-1)2-4×1×(-1)=5>0,该方程有实数根,
C. x2-2x+3=0,∆=(-2)2-4×1×3=-8<0,该方程没有实数根,
D. x2- 2 x+1=0,∆=(- 2 )2-4×1×1=-2<0,该方程没有实数根,
故选 B.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的判别式,掌握∆≥0,一元二次方程有实数根,∆<0,
一元二次方程没有实数根,是解题的关键.
2. 一个不透明的盒子中装有 4 个形状、大小质地完全相同的小球,这些小球上分别标有-1、
0 、 2 和 3 . 从 中 随 机 摸 取 一 个 小 球 , 则 这 个 小 球 所 标 数 字 是 正 数 的 概 率 为 ( )
B.
1
3
C.
1
4
D.
2
3
A.
1
2
【答案】A
【解析】
【分析】根据随机事件概率大小的求法,找准两点:①符合条件的情况数目,②全部情况的
总数,二者的比值就是其发生的概率的大小.
【详解】根据题意可得:在 4 个小球中,其中标有正数的有 2 个,分别是 2,3,
故从中随机地摸取一个小球,则这个小球所标数字是正数的概率为:2÷4=
1
2
.
故选:A.
【点睛】本题考查了概率的求法与运用,一般方法:如果一个事件有 n 种可能,而且这些事
件的可能性相同,其中事件 A 出现 m 种等可能的结果,那么事件 A 的概率 P(A)=
3. 对于一组数据-1,2,-1, 4,下列结论不正确的是( )
m
n
.
A. 平均数是 1
B. 众数是-1
C. 中位数是 1.5
D. 方差是
4.5
【答案】C
【解析】
【分析】根据众数、中位数、方差和平均数的定义和计算公式分别对每一项进行分析,即可
得出答案.
【详解】这组数据的平均数是:(−1−1+4+2)÷4=1;
−1 出现了 2 次,出现的次数最多,则众数是−1;
把这组数据从小到大排列为:−1,−1,2,4,中位数是第 2、3 个数的平均数,则中位数是
(−1+2)÷2=0.5;
×[(−1−1)2+(−1−1)2+(4−1)2+(2−1)2]=4.5;
这组数据的方差是:
1
4
∴结论不正确的是 C,
故选:C.
【点睛】此题考查了方差、平均数、众数和中位数,一般地设 n 个数据,x1,x2,…xn 的平
均数为 x ,则方差 S2=
1
n
[(x1− x )2+(x2− x )2+…+(xn− x )2];一组数据中出现次
数最多的数据叫做众数;将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的
个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果这组数据的个数是偶数,则
中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
4. 抛物线 y=(x+2)2+1 的对称轴是( )
A. 直线 x=-1
B. 直线 x=1
C. 直线 x=2
D. 直线 x
=-2
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用顶点式的特殊性可求对称轴.
【详解】∵抛物线 y=(x+2)2+1 的顶点坐标是:(-2,1),
∴对称轴是:直线 x=-2,
故选 D.
【点睛】本题主要考查抛物线的对称轴,属于二次函数的基础知识,难度较小.
5. 生活中到处可见黄金分割的美,如图,在设计人体雕像时,使雕像的腰部以下 a 与全身b
的高度比值接近 0.618,可以增加视觉美感,若图中b 为 2 米,则 a 约为( )
A. 1.24 米
B. 1.38 米
C. 1.42 米
D. 1.62
米
【答案】A
【解析】
【分析】根据 a:b≈0.618,且 b=2 即可求解.
【详解】解:由题意可知,a:b≈0.618,代入 b=2,
∴a≈2×0.618=1.236≈1.24.
故答案为:A
【点睛】本题考查了黄金分割比的定义,根据题中所给信息即可求解,本题属于基础题.
6. 如图是小刘做的一个风筝支架示意图,已知 BC∥PQ,AB:AP=2:5,AQ=20cm,则 CQ 的
长是(
)
B. 12cm
C. 30cm
D. 50cm
A. 8cm
【答案】B
【解析】
【详解】试题解析:∵BC∥PQ,
∴△ABC∽△APQ,
∴
AB
AP
AC
AQ
,
∵AB:AP=2:5,AQ=20cm,
∴
AC ,
20
2
5
解得:AC=8cm,
∴CQ=AQ-AC=20-8=12(cm),
故选 B.
7. 二次函数 y=x2-(m-1)x+4 的图像与 x 轴有且只有一个交点,则 m 的值为( )
A. 1 或-3
B. 5 或-3
C. -5 或 3
D. 以上都
不对
【答案】B
【解析】
【详解】解:∵二次函数 y=x2-(m-1)x+4 的图象与 x 轴有且只有一个交点,
∴△=b2-4ac=[-(m-1)]2-4×1×4=0,
∴(m-1)2=16,
4
解得: 1
∴m1=5,m2=-3.
m ,
∴m 的值为 5 或-3.
故选 B.
【点睛】本题考查抛物线与 x 轴的交点.
8. 有一个三角形木架三边长分别是 15cm,20cm,24cm,现要再做一个与其相似的三角形木
架,而只有长为 12cm 和 24cm 的两根木条.要求以其中一根为一边,从另一根截下两段作为
另两边(允许有余料),则不同的截法有(
)
B. 两种
C. 三种
D. 四种
A. 一种
【答案】B
【解析】
【分析】长 24cm 的木条与三角形木架的最长边相等,则长 24cm 的木条不能作为一边,设从
24cm 的一根上截下的两段长分别为 xcm 和 ycm,且 x+y≤24cm;长 12cm 的木条不能与 15cm
的边对应,否则 x+y>24cm,故分 12cm 的木条与 20cm 的边对应和与 24cm 的边对应讨论即可
求解.
【详解】解:长 24cm 的木条与三角形木架的最长边相等,要满足两边之和大于第三边,则
长 24cm 的木条不能作为一边,
设从 24cm 的木条上截下两段长分别为 xcm,ycm(x+y≤24),
由于长 12cm 的木条不能与 15cm 的一边对应,否则 x+y>24cm,
当长 12cm 的木条与 20cm 的一边对应时,则
x
15
y
24
12
20
,
解得: 9,
x
y
14.4
,此时 +
x y
当长 12cm 的木条与 24cm 的一边对应时,则
,故满足;
y
20
12
24
,
23.4 24
x
15
17.5 24
解得: 7.5,
x
y
10
,此时 +
x y
,故满足;
综上所述,共有 2 种截法,
故选:B.
【点睛】本题考查了相似三角形的应用:构建三角形相似,然后利用相似三角形的性质:相
似三角形的对应边成比例计算即可.
9. 如图,在扇形 BOC 中,∠BOC=60°,点 D 为弧 BC 的中点,点 E 为半径 OB 上一动点,若
OB=2,则阴影部分周长的最小值为(
)
B.
3
2 3 +
3
C.
3
2
2 +
6
D. 2 2 +
A. 2+
6
3
【答案】D
【解析】
【分析】作点 C 关于 OB 对称点点 A,连接 AD 与 OB 的交点即为 E,此时 CE+ED 最小,进而得
到阴影部分的周长最小,再由勾股定理求出 AD 的长,由弧长公式求出弧 CD 的长.
【详解】解:阴影部分的周长=CE+ED+弧 CD 的长,由于 C 和 D 均为定点,E 为动点,故只要
CE+ED 最小即可,作 C 点关于 OB 的对称点 A,连接 DA,此时即为阴影部分周长的最小值,
如下图所示:
∵A、C 两点关于 OB 对称,∴CE=AE,
∴CE+DE=AE+DE=AD,
又 D 为弧 BC 的中点,∠COB=60°,
∴∠DOA=∠DOB+∠BOA=30°+60°=90°,
在 Rt△ODA 中,
DA
弧 CD 的长为
30
180
2
OD OA
3
,
2=
2
2 2
,
∴阴影部分周长的最小值为 2 2+
3
,
故选:D.
【点睛】本题考查了轴对称图形求线段的最小值,弧长公式,勾股定理等,本题的关键是找
出阴影部分周长最小值时点 E 的位置进而求解.
10. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的顶点 D(-1,2),与 x 轴的一个交点 A 在(-3,0)和
(-2,0)之间(不含端点),如图所示,有以下结论:①b2-4ac>0;②a+b+c<0;③c
-a=2;④方程 ax2+bx+c-2=0 有两个相等的实数根,其中结论正确的个数有( )
A. 1 个
【答案】D
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
【解析】
【分析】根据二次函数与 x 轴有两个交点可以得到 b2-4ac>0;设出二次函数的顶点式,再
和一般式比较系数,将 b,c 均用含有 a 的代数式表示,再代入即可判断出②和③是否正确;
ax2+bx+c-2=0 可以转化为 y=ax2+bx+c 和 y=2 的交点问题即可求解.
【详解】解:对于①:二次函数与 x 轴有两个交点,故△= b2-4ac>0,故①正确;
对于②:∵与 x 轴的一个交点 A 在(-3,0)和(-2,0)之间(不含端点),∴A 点到对
称轴 x=-1 的距离在 1 到 2 之间,根据对称性,二次函数与 x 轴的另一个交点到对称轴 x=-1
的距离也在 1 到 2 之间,故此时当 x=1 时,a+b+c<0,故②正确;
对于③:设抛物线的顶点式为:y=a(x+1)²+2=ax²+2ax+a+2,与一般式 y=ax2+bx+c 比较系
数可知:b=2a,c=a+2,故此时 c-a=a+2-a=2,故③正确;
对于④:∵y=ax2+bx+c 的最大值为 2,∴y=ax2+bx+c 和 y=2 的交点只有 1 个,故方程 ax2
+bx+c-2=0 有两个相等的实数根,故④正确;
故选:D.
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系,熟练掌握二次函数的图像性质,掌握二次
函数的系数与图形之间的关系是解决本题的关键.
二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 2 分,共 16 分.不需写出解答过程,只需把答案直
接填写在答题卡上相应的位置
.........)
x
y
,则
5
2
y
x
y
11. 已知
=______.
3
2
【答案】
【解析】
【分析】先把式子
y
x
y
【详解】∵
x
y
,
5
2
变成 1x
y
,再代值计算即可得出答案.
y
∴
=
=
x
y
1x
y
5 1
2
3
2
,
故答案是:
3
2
【点睛】此题考查了比例的性质,熟练掌握比例的性质是解题的关键.
12. 想了解中央电视台《开学第一课》的收视率,适合的调查方式为______.(填“普查”
或“抽样调查”)
【答案】抽样调查
【解析】
【分析】由普查得到的调查结果比较准确,但所费人力、物力和时间较多,而抽样调查得到
的调查结果比较近似,即可得到答案.
【详解】想了解中央电视台《开学第一课》的收视率,人数众多、范围较广,适合的调查方
式为:抽样调查.
故答案是:抽样调查.
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别,选择普查还是抽样调查要根据所要考查的
对象的特征灵活选用,一般来说,对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价
值不大,应选择抽样调查,对于精确度要求高的调查,事关重大的调查往往选用普查.
13. 某小区今年 2 月份绿化面积为 6400m2,到了今年 4 月份增长到 8100m2,假设绿化面积月
平均增长率都相同,则增长率为___________.
【答案】12.5%.
【解析】
【分析】设增长率为 x,根据题意列出方程,求出方程的解即可得到结果.
【详解】解:设增长率为 x,
根据题意得:6400(1+x)2=8100,即(1+x)2=
81
64
,
开方得:1+x=
,
9
8
解得:x1=
1
8
=12.5%,x2=
17
(舍去),
8
则增长率为 12.5%.
故答案为:12.5%.
考点: 一元二次方程的应用.
14. 若甲、乙、丙、丁 4 名同学 3 次数学成绩的平均分都是 96 分,它们的方差分别是 S 甲
2
=3.6,S 乙
2=4.6,S 丙
2=6.3 ,S 丁
2=7.3,则这 4 名同学 3 次数学成绩最稳定的是______.
【答案】甲
【解析】
【分析】根据方差的意义求解可得.