2008年福建高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2008 年福建高考理科数学真题及答案第Ⅰ卷（选择题共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (1)若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数 a的值为 A.1 B.2 C.1 或 2 D.-1 (2)设集合 A={x| x 1 x  A.充分而不必要条件 C.充要条件＜0 },B={x|0＜x＜3},那么“mA”是“mB”的 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 (3)设｛an｝是公比为正数的等比数列，若 a1=7,a5=16,则数列｛an｝前 7 项的和为 A.63 B.64 C.127 D.128 (4)函数 f(x)=x3+sinx+1(x R),若 f(a)=2,则 f(-a)的值为 A.3 B.0 C.-1 D.-2 (5)某一批花生种子，如果每 1 粒发芽的概率为 4 5 ,那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是 A. 16 625 B. 96 625 C. 192 625 D. 256 625 (6)如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=BC=2, AA1=1, 则 BC1 与平面 BB1D1D所成角的正弦值为 A. 6 3 B. 52 5 C. 15 5 D. 10 5 (7)某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，如果要求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案种数为 A.14 B.24 C.28 D.48

(8)若实数 x、y满足 x-y+1≤0，则 y x 的取值范围是 x>0 A. (0,1) B. (0,1) C. (1,+∞) D. [1, +∞] (9)函数 f(x)=cosx(x)(x R)的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数 y= -f′(x)的图象，则 m的值可以为  2 A.  2 － B. C.－ D. (10)在△ABC中，角 A、B、C的对边分别为 a、b、c, 若(a2+c2-b2)tanB= 3ac ,则角 B 的值为 A.  6 B.  3 C.  6 或 5  6 D.  3 或 2  3 (11)双曲线 2 2 x a  2 2 y b  1 （a＞ 0,b＞ 0）的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点，且 |PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为 A.(1,3) B. 1,3 C.(3,+  ) D. 3,   (12)已知函数 y=f(x), y=g(x)的导函数的图象如下图，那么 y=f(x),y=g(x)的图象可能是第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在答题卡的相应位置. （13）若(x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则 a1+a2+a3+a4+a5=__________.(用数字作答) x=1+cos (14)若直线 3x+4y+m=0 与圆范围是 . y=-2+sin （为参数）没有公共点，则实数 m 的取值（15）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是 .

（16）设 P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 a、b∈P，都有 a+b、a-b， ab、 a b ∈ P（除数 b ≠ 0 ），则称 P 是一个数域 . 例如有理数集 Q 是数域；数集 F   a b  2 , a b Q  也是数域.有下列命题：  ①整数集是数域； ②若有理数集Q M ，则数集 M必为数域； ③数域必为无限集；其中正确的命题的序号是 ④存在无穷多个数域. .（把你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分 12 分）已知向量 m=(sinA,cosA),n= ( 3, 1) ，m·n＝1，且 A为锐角. （Ⅰ）求角 A的大小；（Ⅱ）求函数 ( ) f x  cos 2 x  4cos A （18）（本小题满分 12 分） sin ( x x R  的值域. ) 如图，在四棱锥 P-ABCD中，则面 PAD⊥底面 ABCD，侧棱 PA=PD＝ 2 ，底面 ABCD为直角梯形，其中 BC∥AD, AB⊥AD, AD=2AB=2BC=2, O为 AD中点. （Ⅰ）求证：PO⊥平面 ABCD；（Ⅱ）求异面直线 PB与 CD所成角的大小；（Ⅲ）线段 AD上是否存在点 Q，使得它到平面 PCD的距离为 3 2 ？若存在，求出 AQ QD 的值；若不存在，请说明理由. （19）（本小题满分 12 分）已知函数 ( ) f x  1 3 3 x  2 x 2  . （Ⅰ）设{an}是正数组成的数列，前 n项和为 Sn，其中 a1=3.若点 ( , a a n 2 1 n   2 a n 1  ) (n∈ N*)在函数 y=f′(x)的图象上，求证：点（n, Sn）也在 y=f′(x)的图象上；（Ⅱ）求函数 f(x)在区间（a-1, a）内的极值. （20）（本小题满分 12 分）某项考试按科目 A、科目 B依次进行，只有当科目 A成绩合格时，才可继续参加科目 B的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。现某人参加这项考试，科目 A每次考试成绩合格的概率均为 2 3 ，科目 B每次考试成绩合格的概率均为 1 2 。假设各次考试成绩合格与否均互不影响。

（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为  ，求  的数学期望 E  . （21）（本小题满分 12 分）如图、椭圆 2 2 x a  2 2 y b  （a>b>0）的一个焦点是 F（1，0），O为坐标原点. 1 （Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点 F的直线 l交椭圆于 A、B两点。若直线 l绕点 F任意转动，恒有 2 OA  OB 2 p 2 AB ,求 a的取值范围. （22）（本小题满分 14 分）已知函数 f(x)=ln(1+x)-x （Ⅰ）求 f(x)的单调区间；（Ⅱ）记 f(x)在区间 0,  （n∈N*）上的最小值为 bx 令 an=ln(1+n)-bx. （Ⅲ）如果对一切 n，不等式 a n p a n  2  c a n  2 恒成立，求实数 c的取值范围；（Ⅳ）求证： a 1 a 2  a a 1 3 a a 2 4   ggg a a 1 3 a a 2 4 a ggg 2 a ggg p n 1  2 n 2 a n   1 1. 参考答案一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算.每小题 5 分，满分 60 分. （1）B （7）A （2）A （8）C （3）C （9）A （4）B （10）D （5）B （11）B （6）D （12）D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分，满分 16 分. （13）31 （14） (   ,0) (10,  ) （15）9  （16）③④ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力.满分 12 分. 解：（Ⅰ）由题意得 m n g  3 sin A  cos A  1,

所以 ( ) f x  cos 2 x 2sin x   1 2sin 2 x  2sin   2(sin 因为 x∈R，所以 sin x   ，因此，当  1,1  sin x  时，f(x)有最大值 x  21 ) 2  3 . 2 3 2 . x 1 2    33, 2    . 2sin( A   6 ) 1,sin(  A  由 A为锐角得 A （Ⅱ）由（Ⅰ）知    6 cos  6 A    1 2  3 . . )  6 , A 1 2  , 当 sinx= -1 时，f(x)有最小值-3，所以所求函数 f(x)的值域是（18）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分 12 分. 解法一：（Ⅰ）证明：在△PAD中 PA=PD, O为 AD中点，所以 PO⊥AD, 又侧面 PAD⊥底面 ABCD, 平面 PAD  平面 ABCD=AD, PO  平面 PAD，所以 PO⊥平面 ABCD. （Ⅱ）连结 BO，在直角梯形 ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC, 有 OD∥BC且 OD=BC, 所以四边形 OBCD是平行四边形，所以 OB∥DC. 由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角，所以∠PBO是异面直线 PB与 CD所成的角. 因为 AD=2AB=2BC=2, 在 Rt△AOB中，AB=1,AO=1, 所以 OB＝ 2 ，在 Rt△POA中，因为 AP＝ 2 ，AO＝1，所以 OP＝1，在 Rt△PBO中，tan∠PBO＝ PO BO  1 2  所以异面直线 PB与 CD所成的角是 arctan 2 2 2 2 （Ⅲ）假设存在点 Q，使得它到平面 PCD 的距离为 ,  PBO  arctan 2 2 . . 3 2 .

设 QD＝x，则 S  DQC  ，由（Ⅱ）得 CD=OB= 2 ， x 1 2 在 Rt△POC中， PC  2 OC OP  2  2, 所以 PC=CD=DP, S△PCD=  )2( 2  3 4 3 2 , 由 Vp-DQC=VQ-PCD,得 1 3  x 1 2 1  1 3 3 2  3 2 ，解得 x= 3  ，所以存在点 Q满足题意，此时 2 2 AQ QD 1  . 3 解法二： (Ⅰ)同解法一. uuur uuur uuur (Ⅱ)以 O为坐标原点，OC OD OP、、的方向分别为 x轴、y 轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系 O-xyz,依题意，易得 A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0), P(0,0,1), uuur CD 所以＝（，，），＝（，，）. 1 1 1    11 0 uur PB cos< PB , CD  PB PB  || CD CD | |  11  3 2   6 3 所以异面直线 PB与 CD所成的角是 arccos (Ⅲ)假设存在点 Q，使得它到平面 PCD的距离为由(Ⅱ)知 uur CP   ( 1,0,1), uuur CD   ( 1,1,0). 6 3 ， 3 2 ，设平面 PCD的法向量为 n=(x0,y0,z0). uur n CP g uuur n CD g 则       0, 0, x    所以 0   x  0 z y 0 0   0, 0, x 即 0  y 0  ， z 0 取 x0=1,得平面 PCD的一个法向量为 n=(1,1,1). 设 (0, Q y ,0)( 1    y uuur CQ 1), ( 1,   y ,0), 由 | CQ  | | n n |  3 2 ,得 y 1   3  3 , 2 解 y=- 1 2 或 y= 5 2 (舍去)，

此时 AQ  1 2 , QD  ，所以存在点 Q满足题意，此时 3 2 AQ QD 1  . 3 (19)本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.满分 12 分. (Ⅰ)证明：因为 ( ) f x  由点 ( , a a n 2 1 n   2 a n 1  )( n 1 3  3 x  2 x  所以 f ′(x)=x2+2x, 2, N )  在函数 y=f′(x)的图象上, 得 2 a 1 n   2 a n 1   a 2 n  ，即 1 n 2 a a (  n  a n )( a n 1   a n  2) 0,  又 na  0( n  所以 S n  3 n    a n  ，又因为 1 2 a  ， 3 n  a N ), 所以 1 ( n n  2 1)  2= n 2  2 n ,又因为 f ′(n)=n2+2n,所以 nS f n ( ) , 故点 ( , )nn S 也在函数 y=f′(x)的图象上. (Ⅱ)解:  ( ) f x  2 x  2 x  ( x x  2) , 由 ( ) 0, f x  得 0  x  或 x 2 . 当 x变化时, f x ﹑ ( ) f x 的变化情况如下表: ( ) x (-∞,-2) f′(x) f(x) + ↗ -2 0 极大值 (-2,0) - ↘ 0 0 极小值 (0,+∞) + ↗ 注意到 ( a 1)     ,从而 1 2 a ①当 a 1     2 a , 即值；     a 2 1 , ( ) f f x 时的极大值为 ( 2)    2 3 ,此时 ( ) f x 无极小 ②当 1 0    a a , 0 即   a 1 , ( ) f x 时的极小值为 (0) f   ,此时 ( ) f x 无极大值； 2 ③当 a   2 或 1    a 0 或时 1 , ( ) f x  a 既无极大值又无极小值. (20)本小题主要考查概率的基本知识与分类思想,考查运用数学知识分析问题/解愉问题的能力.满分 12 分. 解:设“科目 A第一次考试合格”为事件 A1 ，“科目 A补考合格”为事件 A2；“科目 B第一次考试合格”为事件 B1 ，“科目 B补考合格”为事件 B2. (Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为 A1·B1,注意到 A1 与 B1 相互独立，则 1 ( P A B g 1 )  ( P A 1 )  ( P B 1 )    2 1 3 2 1 3 .

答：该考生不需要补考就获得证书的概率为 1 3 . (Ⅱ)由已知得，＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得 P (  2)  P (  3)  P (  4)                      )   1 1 2 4 . 9 ( P A A g 2 1 1 1 3 9 ( P A B B g g ( ) P A B g 1 1 2 1 1 1 3 2 3 3 ( ) P A B B g g 1 2 2 1 2 1 3 2 2 3 ( ) P A A B B g g g 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 3 3 2 2 3 3 2 2 4 1 4 9 9 4 9 8 3 3  . 1 2 1          2 2 ( P A A B g g 1 6 ) 1 9 )  2 1 1 2 1 3 3 2 1 1 2 ( P A A B B g g g 2 1 1 6 ) 1 1 1 18 18  2  1 , 9 故 E       2 答：该考生参加考试次数的数学期望为 8 3 . 4 , 9 (21)本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.满分 12 分. 解法一：(Ⅰ)设 M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形，所以 OF  3 2 MN , 即 1＝ 3 2 , b g 3 2 b解得＝ 3. 2 a b 2 1 4,   因此，椭圆方程为 2 x 4 2 y 3  1. (Ⅱ)设 1 ( , A x y B x y ), ( , 1 2 ). 2 (ⅰ)当直线 AB与 x轴重合时， 2 2 , a AB 2 OB  因此，恒有  OA OA OB  2 2  1), 2 2   2 2 4 ( a a 2 . AB (ⅱ)当直线 AB不与 x轴重合时，设直线 AB的方程为： x my   1, 代入 2 2 x a  2 2 y b  1, 整理得 2 a (  2 2 ) b m y 2  2 2 b my b  2  2 2 a b  0,

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