2011年广东高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2011 年广东高考理科数学真题及答案本试题共 4 页，21 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。注意事项：试卷类型：A 1、答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2、选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求做大的答案无效。 4、作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。 5、考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：柱体的体积公式 V=Sh 其中 S 为柱体的底面积，h 为柱体的高线性回归方程  y    bx a 中系数计算公式其中 ,x y 表示样本均值。 N 是正整数，则 n a n  b   a b   1  ( n a n  a 2 b  … ab n  2 n  ） b 1 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设复数 z 满足 1  i z  ，其中i 为虚数单位，则 z = 2 A．1 i 2．已知集合 B. 1 i  ,  x y  A C. 2 2i  ∣ ,x y 为实数，且 x Ｄ． 2 2i  1 y 2 2  ， y x ，则 A B 的元素个数为  Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 B   ,  x y  ,x y 为实数，且 1

3. 若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则 (  c a  2 ) b  Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．0 4. 设函数  f x 和    g x 分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是Ａ．  f x    g x  是偶函数Ｃ．  f x    g x  是偶函数Ｂ．  f x    g x  是奇函数Ｄ．  f x    g x  是奇函数 5. 在平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 2    0 x  2 y    x 2 y 给定。若 ( , M x y 为 D 上 )   的动点，点 A 的坐标为 ( 2,1) ，则 z OM ON   的最大值为 A． 4 2 B．3 2 C．4 D．3 6. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 A． 1 2 B． 3 5 C． 2 3 D． 3 4 7. 如图 1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为 A. 6 3 B. 9 3 C. 12 3 D. 18 3 8.设 S 是整数集 Z 的非空子集，如果 ,  a b S  有 ab S ，则称 S 关于数的乘法是封闭的. , 若 T,V 是 Z 的两个不相交的非空子集， T U Z   且 , a b c T  有  , , , abc T   ; , x y z V  有 xyz V ，则下列结论恒成立的是 , , A. ,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的 B. ,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的 2

C. ,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D. ,T V 中每一个关于乘法都是封闭的 16. 填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分。 (一）必做题（9-13 题） 9. 不等式 1 x     的解集是 0 x 3 . 10. 72   x x  x   的展开式中， 4x 的系数是（用数字作答） a 11. 等差数列 na 前 9 项的和等于前 4 项的和. 若 1  1, a k  a 4 0  ，则 k=____________. 12. 函数 ( ) f x   x 3 x 2 1  在 x=____________处取得极小值。 13. 某数学老师身高 176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173cm、170cm 和 182cm . 因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 _____cm. （二）选做题（14 - 15 题，考生只能从中选做一题） 14.（坐标系与参数方程选做题）已知两面线参数方程分别为   x  y    x    y 25 t 4 t ( t R  ) ，它们的交点坐标为___________.  5 cos sin  (0   )   和 15.（几何证明选讲选做题）如图 4，过圆O 外一点 p 分别作圆的切线和割线交圆于 A , B ，且 PB =7，C 是圆上一点使得 BC =5， ∠ BAC =∠ APB , 则 AB = 。三．解答题。本大题共 6 小题，满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。（1）（本小题满分 12 分） 3

 2sin( 1 3 x   ), 6 . x R  (1)求 f 的值；已知函数 ( ) f x 5(  ) 4 (2)设  ,  0,       2  , f (3 a   ) 2  10 13 , f (3 2 )     6 5 , 求 cos( )  的值. 17. 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取 14 件和 5 件，测量产品中的微量元素 x,y 的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的 5 件产品的测量数据：编号 x y 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81 （1）已知甲厂生产的产品共有 98 件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素 x,y 满足 x≥175，且 y≥75 时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述 5 件产品中，随机抽取 2 件，求抽取的 2 件产品中优等品数 的分布列极其均值（即数学期望）。 18.(本小题满分 13 分) 如图 5.在椎体 P-ABCD 中，ABCD 是边长为 1 的棱形，且∠DAB=60 ， PA PD  2 ,PB=2, E,F 分别是 BC,PC 的中点. (1) 证明：AD  平面 DEF; (2) 求二面角 P-AD-B 的余弦值. 19.(本小题满分 14 分) 设圆 C 与两圆 ( x  2 5)  2 y  4,( x  2 5)  2 y  中的一个内切，另一个外切。 4 （1）求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程; 4

), F ( 5,0) ，且 P 为 L 上动点，求 MP FP 的最大值及此时（2）已知点 M ( 3 5 4 5 5 5 , 点 P 的坐标. 20.（本小题共 14 分）设 b>0,数列 na 满足 a1=b， a n  nba 1 n  2 n   1  a n 2 ( n  2) . （1）求数列 na 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数 n， a n  n n 1  1 1.   b 2 21.（本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 xOy 上，给定抛物线 L: y x2 是方程 2 x  px q   的两根，记 0 (  , ) max p q  21 x 4  x 1 实数 p，q 满足 2 4 q p  ，x1， 0 . , x 2  。（1）过点 ( A p , 0 1 4 p 0 2 )( p  作 L 的切线教 y 轴于点 B. 证明：对线段 AB 上任一 0 0) 点 Q(p，q)有 , ) p q (  p 0 2 ; （2）设 M(a，b)是定点，其中 a，b 满足 a2-4b>0,a≠0. 过 M(a，b)作 L 的两条切线 1 2,l l ，切点分别为 ( E p 1 , 1 4 2 p 1 ),  ( E p , 2 1 4 p 2 2 ) ， 1 2,l l 与 y 轴分别交与 F,F'。线段 EF 上异于两端 P 点的点集记为 X.证明：M(a,b) X  1 P  ( , )a b 2  p 1 2 ; （3）设 D={ (x,y)|y≤x-1,y≥ 1 4 (x+1)2- 5 4 （记为 min ）和最大值（记为 max ）. }.当点(p,q)取遍 D 时，求 ( , )p q 的最小值一、选择题 2011 年广东高考理科数学参考答案题号 1 答案 B 2 C 3 D 4 A 5 C 6 D 7 B 8 A 5

二、填空题９. [1, )  ； 185； 10. 84； 11. 10； 12. 2； 13. 14. (1, 2 5 5 三、解答题 ) ； 15. 35 ； 16．解：(1) f (  2sin( 5  ) 4  ) 2  5   ) 6 12 10 13  ，  2sin  4  2 ;  sin  ，又 5 13  [0,  ] 2 ，  cos  ， 12 13 (2) f (3    2sin  f (3 2 )     2sin(   又  [0,  ] 2 ，  sin  ，  ) 2 4 5  2cos   ， 6 5  cos  ， 3 5 cos( )     cos     sin sin cos   16 65 . 17．解：（1）乙厂生产的产品总数为 5  14 98  ； 35 （2）样品中优等品的频率为 2 5 ，乙厂生产的优等品的数量为 35   ； 14 2 5 （3）  0, 1, 2 ， P (   i )   i 2 i C C 2 3 2 C 5 ( i  0, 1, 2) ，的分布列为 0 3 10 1 3 5  P 1 10  4 5 . 2 1 10 P P 均值 E      ( ) 1 2 3 5 ， F F   18.解：(1) 取 AD的中点 G，又 PA=PD， PG AD ，  由题意知ΔABC是等边三角形， BG AD  又 PG, BG是平面 PGB的两条相交直线，   平面 / / ,  DEF  平面 AD  平面  AD ， EF PB DE GB PGB / / //平面 DEF ， PGB ， (2) 由（1）知 PGB 在 Rt PGA  中，  为二面角 P AD B 7 4 21 ) 2 PG  2  ( 2 2  的平面角，  ；在 Rt BGA  D D ＳＳ G A A ＳＳ C C ＳＳ E B B ＳＳ中， 2 BG  2 1  ( 21 ) 2  ； 3 4 6

在 PGB  中， cos  PGB  2 PG 2 PB 2 BG   2 PG BG    21 7 . 19．解：（1）两圆半径都为 2，设圆 C的半径为 R，两圆心为 1( F  | 2  ， | 2  或 | 2 |   由题意得 R CF 2 CF 1 |  |  | 2 |   R CF CF 2 1 || 4 2 5 |    CF 2 | F F 1 2 | ， ||  CF 1 |  5, 0) 、 2 ( 5, 0) F ，可知圆心 C 的轨迹是以 1 ,F F 为焦点的双曲线，设方程为 2 2 2 x a  2 2 y b  ，则 1 2 a  4, a  2, c  2 5, b  2 c  a 2  1  ，所以轨迹 L 的方程为（２）∵|| MP |  | FP MF || |  | 2  ，仅当  PF   (  0) 时，取＂＝＂， 1, b  PM 2 x 4 2 y  ． 1 由 MFk   知直线 2 MFl : y   2( x  5) ，联立 2 x 4 2 y  并整理得 1 2 15 x  32 5 x   解得 9 0 x  6 5 5 或 x  14 5 ( 15 舍去），此时 P ( 6 5 5 , - 2 5 5 ) ． , ) 3 5 4 5 5 5 2(  ba  a 1  n n a n n 1  n  1) 2 n    b a 1 b  1 n 1  ，所以|| MP |  | FP || 最大值等于 2，此时 P ( 20．解（１）法一： a n n  a n 1  设 n a n  ，则 b n b n 2   b b n 1  ，得  1) ( n  ， 2)  ba 1 n  2( n  1 b 1 2 （ⅰ）当 2 b  时， nb 是以为首项， 1 2 为公差的等差数列，即 nb   1 2 ( n 1)    1 2 1 2 （ⅱ）当 2 b  时，设 b n n ，∴ na  2 ( b    n b  2 )  1  ，则 b n 令   ( 2 b 1)  ，得 1 b  1  2 b ，   b n 1  b 2 知 nb    b n 1  1  2 2 是等比数列， b   nb 2 (  b n )   2 1  2 1 b b  b  时， nb 是以 2 b  法二：（ⅰ）当 2  ( b 1  1  2 b n n b ，   a n  n b ) (2  b  n b ． 1 2 为首项， 1 2 为公差的等差数列， ) 2 b n nb 2 n 2   b b n 2(  1 b   ， 1) ( b n 1   1  b 2 ) ( n  ， 2) ) (  b n 1  b ，又 1  ， 1 b 2   b 1  2 即 nb   1 2 ( n 1)    1 2 1 2 n ，∴ na  2 7

（ⅱ）当 2 b  时， 1a b ， a 2  2 b b  2 2  2 2 ( b b 2 b  2)  2 2 ， a 2  3 3 b 2 b  2 b  4  3 3 ( b b 3 b  2)  3 2 ，猜想 a n  n ( nb b b  n 2)  n 2 ，下面用数学归纳法证明： a  k 时， ②假设当 n ①当 1n  时，猜想显然成立； k ( 2) kb b  k 2 b   ( 1) ( b kb b k    k ( ( 2) 2 k b kb b     k k  时，猜想成立， b a  k 1) n  1 ( a n 1) 2( 所以当，则   a k 1  k k k k k ( k  2)  k 2 ) 1) b  1 k  b 2) ， k 1 (  b  1 k 2   由①②知，   n N * ， a n  n ( nb b b  n （２）（ⅰ）当 2 b  时， a n   2 （ⅱ）当 2 b  时， 2 b 2 b    2  1  2 n 2 2 2 b n n 2 2 n   2 2 n b  n  2 1  1  2)  n 2 n 2 2  1  2 n n 2 1  ． 1  ，故 2 b  时，命题成立；  n 2 1 b n ， n 1  2 n 1   2 )  1 n b  1 n 2   ．故当 2 b  时，命题成立； 1 综上（ⅰ）（ⅱ）知命题成立． 21．解：（１） k AB  y ' | x p  0  ( 1 2 x ) | x p   0 1 2 p 0 ，直线 AB的方程为   q 1 2 p p 0  1 4 y  1 4 2 p 0  1 2 ( p x 0  p 0 ) ，即 y  1 2 p x 0  1 4 2 p 0 ， 2 p 0 ，方程 2 x  px q   的判别式 0   2 p  4 q  ( p  p 0 2 ) ， 8 ，以上 n 个式子相加得 2 2  2 n 2 ) n  n n   n b  1  2 b n 2 ]( b n ， 2)  n n 1   2 b b     2 2 b    1 n 2 (  b n 2)   b n n 1  2 2 1 n    n 2 ) n 2 ( b  2) n ， b n 2 2 n 1  n 1  1  2 n n  2 2  2   2  1 n  n 1  2  [( b  1 n  2 n 2 b n b  2 b   1  n ( b n b  2 n 2 )( b  n n 2 )  1 n 2   2 n 1  b ,  2 b  n a n  2 ( b    n n n 1  1   2 b b  2 1 2 n b  b     1 n n ( 2) 2  b b n   1 n n n 2 ) 2 (  b  1 2 n 2      b n  2 2 1 n  b   2 n 2  n 2 ) n ( 2 b  n 2 )  2 n 1  ( b  2 2 2 n 1  ( b  n b 1   n n 1 n )  b  1 n 2 (  b 1 n 2 )    1 n n 2 (  b

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