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2017年广东暨南大学高等数学考研真题B卷.doc
2017 年广东暨南大学高等数学考研真题 B 卷
学科、专业名称：理工类, 理论物理、凝聚物理、光学、计算物理、生物医学工程专业
研究方向：各方向
考试科目名称：601 高等数学 (B 卷)
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
一. 选择题（每小题 3 分, 共 21 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要
求, 请将所选项前的字母填在答题纸上）
1. 设
( )
f x
1
2
x
0
x
cos
0,
x
,
x
0
,
则 f 在 0
x 处 (
).
a．极限不存在;
b. 极限存在但不连续;
c. 连续但不可导;
d. 可导.
2. 设函数 f 定义在[0,1] 上, 若对
x
[0,1],
f
x
( ) 0,
则以下结论中正确的是(
).
a． (1)
f
f
(0)
f
(1)
f
(0);
b.
f
(1)
f
(0)
f
(1)
f
(0).
c.
f
(1)
f
(0)
f
(1)
f
(0);
d.
f
(1)
f
(1)
f
(0)
f
(0);
3. 设
D
( ,
f x y dxdy
)
1
0
dx
2
x
x
( ,
f x y dy
)
, 则它改变积分的顺序后为 (
).
a．
c.
1
0
1
0
dy
dy
1
y
2
y
y
2
( ,
f x y dx
)
( ,
f x y dx
)
2
1
2
1
dy
dy
y
y
2
1
y
2
( ,
f x y dx
)
;
( ,
f x y dx
)
b．
d.
2
0
2
0
dy
dy
y
y
2
1
y
2
( ,
f x y dx
)
;
( ,
f x y dx
)
.
4. 下列级数中发散的是 (
).
a．
n
1
n
n
1 n
;
b．
n
1
sin
1
2
n
;
c.
n
1
n
;
arctan
2
n
d.
( 1)n
n
1
1
n
.
5. 已知函数
y
( )
f x
是方程
2
y
y
e
sin
x
的一个解. 若
0
f x
0(
) 0
, 则函数 f 在
点 0x
(
).
a．取得极大值;
b. 取得极小值;
c. 某个邻域内单调递增;
d. 某个邻域内单调递减.
6. 设 1
2
, 是非 齐次 线性方 程组 AX b 的两 个不 同的解 ,
, 是对 应齐 次方程 组
1
2
AX 的基础解系,
0
,k k 为任意常数, 则方程组 AX b 的通解是 (
1
).
;
;
b.
k
1
(
2
k
)
1
2
2
d.
k
1
(
1
2
k
)
2
2
1
2
;
2
1
2
2
.
a．
c.
k
1
k
1
(
2
k
)
1
2
2
(
1
2
k
)
2
2
1
2
1
2
2
2
2
7. 设 ,A B 都是 m 阶非零矩阵, 且
AB , 则 A 和 B 的秩 (
0
).
a．必有一个等于零;
b. 都小于 m ;
c. 一个小于 m , 另一个等于 m ;
d. 都等于 m .
二. 填空题（每小题 4 分, 共 36 分）
1. 设函数
y
( )
y x
是由参数方程
2
t
x
y
ln (1
t
)
arctan
所确定, 则
t
2
d y
2
dx
.
2. 将
( )
f x
展开成 (
1
x
x 的幂级数为
2)
其收敛域为
.
3. 过点 (2, 1, 1)
且与平面 3
x
y
平行的平面方程为
2 0
z
4. 圆锥面
z
2
x
2
在点 (1,1, 2) 处的法线方程为
y
,
.
.
5.
lim
( ,
)
x y
(0,0)
2
x
2
x
2
y
2
y
4 2
.
6. 设 L 为平面上一条无重点的分段光滑的连续闭曲线, 且原点在 L 的外部, L 的方向为
逆时针方向. 则
L
ydy
xdx
2
2
x
y
.
7. 全微分方程 2
x
(3
x
2
x
2
y
)
dx
y
2
x
2
y
dy
0
的通解为
L
8. 直线 1
:
x
1
1
2
y
1
3
z
1
L
与 2
:
x
2
2
y
1
y
z
的夹角余弦为
.
.
9.
0 0 0 3
0 0 3 0
0 3 0 0
3 0 0 0
1
.
三. 计算题 (每小题 9 分, 共 72 分).
1.
lim
x
1
x
2
1
x
3
1
x
10
9
9
x
.
2.
x
1ln
1
x
x
.
dx
3.
1
0
dx
x
3/2
1)
2
(
x
.
dx
其中
z
( ,
z x y
)
由方程
ze
xy
所确定, f 具有连续的二阶偏
z
0
4. 设
,
u
(
f xz
)y
x
导数, 求 , u
x
u
y
及 du .
5. 求幂级数
n
( 1)
n
1
x
1
1
n
n
的和函数.
6. 求
S
3
x dydz
3
y dzdx
3
z dxdy
,
其中 S 是上半球面
z
1
2
x
2
y
, 取外侧.
7. 求二阶常微分方程
y
y
x
cos 2
x
的通解.
8. 设矩阵
0 0 3
3
x
y
3 0 0
有 3 个线性无关的特征向量, 求 x 和 y 应满足的条件.
四. 证明题 (每小题 7 分, 共 21 分).
1. 证明方程 5
x
x 只有一个负根.
1 0
2. 设
( )
f x
2
(
x
0,
2
2
x y
y
2
x
2 3/2
)
y
2
0
,
2
x
2
y
0
,
证明 f 在点 (0,0) 处不可微.
3. 设函数 f 在闭区间[0,1] 上连续, 在开区间 (0,1) 可导, 且满足
f
(1) 3
1
3
0
2
1
x
e
( )
.
f x dx
证明至少存在一点 (0,1),
使得 ( )
( ).
2
f
f
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