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插值的概念和各种基本方法.pdf
插值的概念和基本方法
1 插值的基础知识
1.1 插值问题的提出
1.2 插值的定义
1.3 插值多项式的存在惟一性
2 拉格朗日插值
2.1 线性插值（ ）
2.2 抛物线插值（ ）
2.3 次拉格朗日插值多项式
2.4 拉格朗日插值余项
2.5 拉格朗日插值的MATLAB实现
3 均差与牛顿插值多项式
3.1 均差及其性质
3.2 牛顿插值多项式
3.3 牛顿插值的MATLAB实现
4 差分与等距节点插值多项式
4.1 差分及其性质
1. 差分概念
2. 差分的基本性质
4.2 等距节点插值多项式
1. 牛顿前插多项式
2. 牛顿后插多项式
5 分段线性插值多项式及其余项估计
5.1 分段线性插值多项式
5.2 余项估计
6 埃尔米特插值
6.1 埃尔米特插值多项式
1. 埃尔米特插值基函数
2. 埃尔米特插值函数的惟一性
3. 余项估计
6.2 分段三次埃尔米特插值
1. 分段三次埃尔米特插值基函数
2. 余项估计
7 三次样条插值
7.1 三次样条插值函数的定义
7.2 三次样条插值函数的构造
7.3 误差估计
7.4 三次样条函数的MATLAB实现
插值的概念和基本方法
内容提要：本文主要介绍了插值的概念和插值的基本方法，包括拉格朗日插值多项式、均差与
牛顿插值多项式、差分与等距节点插值多项式、分段线性插值多项式、埃尔米特插值、三次样条插
值。在介绍这些方法的同时，还介绍了均差与差分的概念。
关键字：插值理论、拉格朗日插值多项式、均差、牛顿插值多项式、三次样条插值、差分
引言：插值理论是数值积分、数值微分、数据拟合、解微分方程等数值分析应用方面的基础。
插值法的应用十分广泛，在查表和求值的计算过程中，可以根据已知数据构造插值函数来求得被插
函数在某些点的精确值。
正文：
1 插值的基础知识
1.1 插值问题的提出
在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，但是这些关系的显式表达式不
一定都知道，通常只是由观察或测试得到一些离散数值，所以只能从这些数据构造函数的近似表达
式。
有时，虽然给出了解析表达式，但由于解析表达式过于复杂，使用或计算起来十分麻烦。这就
需要建立函数的某种近似表达，本文所讨论的插值法就是构造函数的近似表达的方法。
例如，已经测得某化学反应在不同时刻生成物的浓度如表 1 所示。
表 1 某化学反应在不同时刻生成物的浓度
时刻（秒） 5
浓度（％） 0.045
10
0.055
15
3.40
20
22.54
25
72.13
如果希望由这些数据合理地估计出它在其他时刻（如 30 秒，40 秒，50 秒……）处的浓度，这
就是一个典型的插值问题。
1.2 插值的定义
]a b
在区间 [ , 上有定义，且已知 在
,
y
（ 0,1,
x
≤
<
<
0
为( )P x
= L ）成立，就称
1n + 个节点
n
P x
(
)i
( )P x
y=
i
x
1
a
i
x x L x 称为插值节点，包含插值节点的区间 [ , 称为插值区间，而
]a b
n
b
≤
x
<
上的
L
n
f x 关于节点
( )
f x
( )
,
yL
,
y
=
f x
( )
定义 1：设函数
y y
,
0
1
,
值为
x x L x 的插值函数，点 0
1,
称为被插函数，求插值函数
n
( )P x
若
,
n
n
0
，若存在简单函数
,
的方法称为插值法。
1,
,
( )P x
，使
是次数不超过 次的代数多项式，即若有：
+
P x
( )
=
a
0
a x
1
+
+L
n
a x
n
其中 为实数，就称
ia
( )P x
式，就是分段插值。
为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。若
（1）
为分段的多项
( )P x
由插值定义可知，插值函数实际上是一条经过平面上 1n + 个节点 (
可以用这条平面曲线
代替近似已知曲线
y P x
( )
f x
( )
，如图 1 所示。
x y ，（
i
=
=
y
)
,
i
i = L n
,
0,1,
）的曲线。
图 1
※ 1 ※
1.3 插值多项式的存在惟一性
给 定 被 插 函 数 ( )
0, 1,
）的插值函数
f x ， 若 插 值 节 点 为 0
y=
i
是否存在？若存在，那么是否惟一？这就是插值问题的存在惟一性
P x
， 则 满 足 插 值 条 件 (
)i
xL ，
x x
1,
f xi
(
( )P x
iy
=
)
,
,
n
（
i =
L n
,
问题。
定理 1：给定被插函数 ( )
f x ，插值节点 0
x x
1,
）。
y= （
n
,
0, 1, 2,
( )P x
满足
=
i
,
P x
(
)i
i
L
的插值函数
xL ，且
,
n
iy
=
f xi
(
)
，则必存在惟一的形如表达式（1）
证明：
要证明
( )P x
存在惟一，就是要证明存在惟一的一个
a x
1 0
a x
1 1
a
0
a
0
+
+
+L 满足：
a x
n
n
P x
( )
+
+
a
=
+
0
a x
n
=
n
0
a x
n
=
n
1
L
L
a x
1
y
0
y
1
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
L
⎪ +
a
⎩
0
a x
n
1
+
L
a x
n
n n
=
y
n
（2）
显然方程组（2）的系数行列式为：
V x x
,
1
(
0
,
L
,
x
n
)
=
L
x
1
0
x
1
1
L L L L
x
1
n
x
2
0
x
2
1
x
2
n
x
n
0
x
n
1
x
n
n
L
且是范德蒙（Vandermonde ）行列式。可算得
V x x
,
1
(
0
,
L
,
x
n
)
知
V x x
,
1
(
0
,
x ≠L
)
,
n
0
。故方程组（2）存在惟一解
a a
1,
0
,
aL
,
n
，即
x
k
)
（3）
，且当 i 时
x≠ ，
k≠
x
i
k
(
x
i
−
n
=
L
i
1
−
∏∏
i
1
=
( )P x
0
=
k
存在惟一。
2 拉格朗日插值
由定理 1 知，要求插值多项式
( )P x
算复杂，且得到的不一定是
个节点的情形。
2.1 线性插值（
1n =
）
( )P x
的最简表达式。下面就先讨论
，可以通过解方程组（2）求得
a a
1,
。但这样会导致计
0
n = 的情形，然后推广到 1n +
1n = 和 2
aL
,
,
n
i
,
)
i =
x y （
i
0,1
给定两个不同点 (
的次数不超过 1。
（1）
1( )P x
（2）
i =
0,1
y=
P x
1(
)i
（
i
1( )P x
显然，可以取
为过
）。
x y
(
,
i
i
)
），要求插值多项式
1( )P x
满足：
（ 0,1
i = ）的直线。设：
+
( )P x
1
a
0
=
a x1
（4）
=
=
y
0
y
1
把两点坐标代入方程（4 ），得方程组：
a
+
⎧
0
⎨
a
+
⎩
0
x
由 0
a x
1 0
a x
1 1
x≠ 可解出 ， 。
y0
x
0
y
两点之间的斜率为 1
x
1
1a
−
−
0a
=
+
−
x
(
)
1
P x
( )
1
y
0
x
0
y
1
x
1
−
−
y
0
x
0
，将直线表示为点斜式：
若用两点式表示，则为：
P x
( )
1
=
y
0
x
x
0
−
−
x
1
x
1
+
y
1
x
x
1
−
−
x
0
x
0
（5）
※ 2 ※
现在，就用直线
1( )P x
近似地代替被插函数
f x ，如图 2 所示。
( )
图 2
通常，记式（5）中出现的两个线性函数为：
l x
( )
0
l x
( )
1
，
=
=
x
x
1
−
−
x
0
x
0
−
−
x
x
1
x
x
0
1
l x
为0( )
并称
0x 上的一次插值基函数，
l x
为1( )
1x 上的一次插值基函数。插值基函数
l x
0( )
，
l x
1( )
在
对应的插值节点上取值 1，其余插值节点取值 0，且次数不超过 1，如表 2 所示。
表 2 一次插值基函数在x 0及x1上取值
节
点
值
数
数
0x
1x
函
函
l x
0( )
l x
1( )
由表 2 和图 3 可以看出两个基函数的性质。插值函数
1
0
0
1
1( )P x
实质上是插值基函数
l x
0( )
和
l x
1( )
的线
性组合，组合系数是对应点上的函数值。
【例 1】给定被插函数 2x
y = 及两点坐标（0,1），（1,2），构造线性插值函数
1( )P x
，并求 的近
0.32
图 3
似值。
解：
先求得线性基函数：
l x
( )
0
=
x
1
−
0 1
−
1
= −
x
， 1
l x
( )
=
x
0
−
1 0
−
=
x
代入式（5）得：
P x
1( )
2
(1
= −
x
x
⋅ + ⋅ = + ， 0.3
) 1
1
2
x
P≈
1
(0.3) 1
=
.3
2.2 抛物线插值（
n =
2
）
与线性插值类似，抛物线是给定三不同点 (
的次数不超过 2。
（1）
2( )P x
）。
（2）
i =
0,1,2
y=
P x
2(
)i
（
i
x y （
2( )P x
)
,
(
为过
显然，可以取
i
0,1,2
i =
i
x y
,
i
i
)
（ 0,1,2
i =
），要求插值多项式
2( )P x
满足：
）的一条抛物线，假设：
( )P x
2
=
a
0
+
a x a x
1
2
+
2
（6）
※ 3 ※
+
+
+
a x
1 0
a x
1 1
a x
1 2
把上面三点的坐标代入方程（6），得方程组：
a
⎧ +
0
⎪
a
+
⎨
0
⎪ +
a
⎩
0
由三点互异，可解出系数 ， ， 的值。
另外，同线性插值类似，也可以通过构造抛物线插值的基函数来求
a x
2
2 0
a x
2
2 1
a x
2
2 2
y
0
y
1
y
=
=
=
2a
0a
1a
2
在对应的节点上取 1，其余点取 0，如表 3 所示。
表 3 抛物线插值的基函数x0、x1及x2上取值
节
点
1x
0x
2( )P x
的表达式。插值基函数
2x
0
1
0
(
有因子
l x
0( )
0
0
1
x
−
x
1
) (
⋅
x
−
x
2
)
，又因为它的次数不超过 3，故
函
数
数
值
函
l x
0( )
l x
1( )
l x
2( )
l x
有0( )
可设它的表达式为：
x
) (
A
⋅
代入，可求得：
1
0
0
1x 和 2x 两个零点，故
由上表知
l x
( )
0
再把
x
2
)
A x
x
(
−
=
1
l x =
0(
) 1
0
1
) (
⋅
−
x
0
x
1
A
=
(
−
x
2
)
x
0
− ，其中 为待定系数。
这样就求得了 0x 上的抛物线插值基函数：
l
0
=
)
x
(
x
0
(
−
−
x
1
x
1
) (
⋅
) (
⋅
x
x
0
x
−
2
x
−
2
)
同理，可求得 1x 和 2x 上的抛物线插值基函数分别为：
l
1
，
=
=
l
2
x
(
x
(
1
−
−
x
0
x
0
) (
⋅
) (
⋅
x
x
1
x
−
2
x
−
2
)
)
x
0
x
0
) (
⋅
) (
⋅
x
x
2
x
)
−
1
x
−
1
)
x
(
x
2
−
−
(
如图 4 所示中的中（a）、（b）和（c）分别为基函数
l x
0( )
、
l x
1( )
和
l x
2( )
的图形。
（ a） （ b） （ c）
图 4
通过 ， ， 可求得：
2l
0l
1l
P x
( )
2
=
y
0
【例 2】给定被插函数
y
=
f x
( )
x
x
(
−
1
x
x
(
−
0
1
x
cos
=
)
+
x
x
0
x
−
2
x
−
2
x
x
x
x
) (
(
(
) (
−
−
−
⋅
⋅
0
2
x
x
x
x
) (
) (
(
(
−
−
−
⋅
⋅
2
0
1
2
，用 3 个节点
x =
x = ， 1
x = 和
1.2
0
2
x
) (
⋅
0
x
) (
⋅
0
0.0
x
x
1
)
)
0.6
y
1
+
y
)
2
（7）
x
)
−
1
x
−
1
x
x
2
构造一个抛物线插
)
，x
1
0.6=
，x
=2
1.2
和
y =
0
cos(0.0) 1
= ，y1
=
cos(0.6)
=
0.825336
，y
2
=
cos(1.2)
=
0.362358
0.6)(
−
−
1.388889(
=
x
−
x
−
1.2)
−
x
0.6)(
−
(0.0 0.6)(0.0 1.2)
+
0.825336
1.2) 2.292599(
−
(
x
0.0)(
x
−
0.362358
+
(0.6 0.0)(0.6 1.2)
0.503275(
+
0.0)(
−
x
x
x
1.2)
−
1.2)
−
−
−
x
x
−
0.0)(
0.6)
(
(1.2 0.0)(1.2 0.6)
−
0.6)
−
−
−
0.0)(
−
x
※ 4 ※
解：将
值多项式
2( )P x
x =
0
。
0.0
代入式（7）得：
x
(
P x
2
( ) 1.0
=
2.3 次拉格朗日插值多项式
n
对于
1n =
及
n =
2
，前面已经得到一次与二次插值多项式
1( )P x
及
2( )P x
。下面将这种用插值基函
数表示的方法推广到更一般的情形。
1n +
x<
设有
1
定义 2：若 次多项式
个节点
x
0
n
n
（
2.4 拉格朗日插值余项
nP x
和( )
要讨论
罗尔（Rolle）定理：若 ( )
f x 的误差，先叙述一个定理。
( )
f x 在闭区间 [ , 连续，在开区间 ( , 可导，且
)a b
]a b
f a
( )
=
f b
( )
，则在
( , )a b
中必存在
f ξ′
ξ，使得 ( )
]a b
nP x
( )
若在 [ , 上用
= 。
0
近似
f x ，则其截断误差 ( )
nR x
( )
=
f x
( )
−
P xn
( )
称为插值多项式
nP x
( )
的余项。关
于插值余项有下面定理：
定理 2：设 ( ) ( )
nf
（
)iP x
(
i = L
0,1,
件
x
a b∈
对任意给定的 [ , ]
y=
i
,
，插值余项：
x 在 [ , 上连续，
]a b
nP x
( )
）和条件（1 ）的插值多项式，其中 [ , 是包含
内有定义。设
x
1)( )
+ 在
( , )a b
]a b
nf
(
n
1,
是过点
的满足条
x x L x 的任意区间，则
x x L x
,
,
1,
,
,
n
n
0
0
R x
( )
n
=
f x
( )
−
P x
( )
n
1) ( )
+
ξ
1)!
+
ω
n
x
( )
（12）
=
f
n
(
n
(
。
（依赖于 x ），
其中 ( , )a b
ξ∈
证明：
由给定条件知插值余项
ω =
x
( )
n
(
x
−
x
0
)(
x
−
x
1
)
x
−L
(
x
n
)
iR x =
n
(
)
0
（
i
= L ），故
K x x
( )(
,
0,1,
R x
( )
n
n
=
x
nR x
x
( )
(
−
有因子：
0
x
x
x
x
)
(
)(
−
−L
n
0
x
1
−
)
)(
(
)
x
1
x
−L
，设余项：
x
−
（13）
x
n )
其中 ( )K x 为与 x 有关的待定函数。
a b∈
x
固定 [ , ]
t
x
f
t
(
( )
−L
ϕ =
−
n
x x
1,
,
由插值多项式及余项的定义知，点 0
，作函数：
P t K x t
( )(
( )
−
n
t
( )
t
)(
x
0
x
1
−
−
)
)
xL 及 x 均为 ( )tϕ 的零点，则 ( )tϕ 在
,
n
由罗尔定理，
( )tϕ′ 在 ( )tϕ 的任意两个零点之间至少有一个零点，故 ( )tϕ′ 在
( )tϕ′ 用罗尔定理，可得 ( )tϕ′′ 在
[ , ]a b
上至少有 个零点。如此类推，就知
n
[ , ]a b
有
[ , ]a b
上至少有
n
(
tϕ +
1) ( )
2n +
1n +
( , )a b
在
个零点。
个零点。
内至少有
R x
( )
n
≤
M
n
n
+
(
1
ω+
n
1)!
x
( )
（14）
令
1n =
R x
( )
1
=
令
n =
2
R x
( )
2
=
f
f
=
1
2
x
( )
( )(
′′
ξ
( )
′′
ξω
1
，得线性插值余项为：
1
x
0
2
，得抛物线插值余项为：
1
x
)(
0
6
( )
′′′
ξω
2
( )(
′′
ξ
x
( )
1
2
)(
=
−
−
x
x
f
f
x
x
1−
)
，
ξ∈
(
x x
,
0
1
)
x
−
x
1
)(
x
x
2−
)
，
ξ∈
(
x x
,
0
2
)
【例 4】给定被插函数 2x
（1）估计例 1 中的
在点
（2）给定三点坐标（-1,0.5 ），（0,1），（1,2），构造线性插值函数
y = 。
x =
处的截断误差。
1( )P x
0.3
2( )P x
，并求 的近似值和截
0.32
断误差。
解：
（1）由例 1 求得：
P x
1( )
f x =
( )
x= +
1
2x
※ 6 ※
再对
一个零点，记为
nf
(
( )
ϕ ξ
=
1)
+
n
(
ξ，故有：
1)!
1)
+
n
+
K x
( )
=
0
求得
K x
( )
=
nf
(
n
(
( )
(
−
ξ
1)( )
ξ+
1)!
+
，其中 ( , )a b
ξ∈
，且依赖于 x 。
将 ( )K x 代回式（13），就得到式（12）。
定理得证。
值得注意的是，ξ在
M
1 max
=
a x b
< <
则有：
( , )a b
x
( )
1)
+
f
+
n
n
(
内的具体位置一般不知道，不过若可以求出：
R
1
(0.3)
=
0.3
2
−
P
1
(0.3)
≤
0.3(0.3 1)
−
=
0.09522
作为 的近似值，只能保证有一位有效数字。
1
⋅ +
1)(
x
(
0)
(1 1)(1 0)
x
−
−
+
+
2
⋅ =
0.25
x
2
+
0.75
x
+
1
2
f x′
2 ln 2
( )
x
=
x′′
f
2 (ln 2)
( )
x
=
f
x
( )
2(ln 2)
max
′′
x
0
1
≤ ≤
由式（14）得：
=
2
=
0.9609
0.9609
2!
0.32
=
P
1(0.3) 1.3
可见用
（2）将各点坐标代入式（7）得：
x
(
1)
(0 1)(0 1)
0.5
−
−
+
+
1)(
=
+
x
⋅
0.3
0)(
P x
( )
2
x
x
(
1)
−
−
( 1 0)( 1 1)
− −
− −
P≈
(0.3) 1.248
2
=
2
f
x′′′
2 (ln 2)
( )
x
=
x
f
2(ln 2)
( )
max
′′′
x
1
1
− ≤ ≤
由式（14）得：
=
3
3
=
0.6660
0.6660
3!
0.32
R
2
(0.3)
=
0.3
2
−
P
2
(0.3)
≤
(0.3 1)(0.3 0)(0.3 1)
+
−
−
=
0.03030
可见用
P
2(0.3) 1.248
=
作为 的近似值，可以保证有两位有效数字。
= ∑ k
y l x
( )
k
。
n
k
=
0
2.5 拉格朗日插值的 MATLAB 实现
程序 1
给定
1n +
个不同节点，构造
f x x
[
,
1
0
,
xL 的 n 次拉格朗日插值多项式
]k
,
P x
( )
n
function[c,l]=lagran(x,y)
%这里 x 为 n 个节点的横坐标所组成的向量，y 为纵坐标所组成的向量
%c 为所得插值函数的系数组成的向量
w=length(x);
n=w-1;
l=zeros(w,w);
for k=1:n+1
v=1;
for j=1:n+1
if k~=j
v=conv(v,poly(x(j)))/(x(k)-x(j));
end
end
l(k,:)=v;
end
c=y*l;
利用上面程序来计算例 1。
输入：
>>lagran([0,1],[1,2])
得到：
ans =
1 1
这就表明所求拉格朗日插值多项式为 1x + 。
3 均差与牛顿插值多项式
3.1 均差及其性质
拉格朗日插值多项式在理论分析中非常方便，因为它的结构紧凑，利用基函数就很容易得到插
※ 7 ※
值函数。但是拉格朗日插值多项式也有一些缺点，当插值节点增加、减少或其位置变化时，整个插
值多项式的结构都会改变，这就不利于实际计算，增加了算法复杂度。
1n +
假设有
个不同的节点及函数在节点上的值
x y
,
0
点的有效方法之一是把插值多项式构造成如下形式：
x
)(
0
a x
(
1
x
0
+
+
(
)
x
−
−
=
a
0
a x
(
2
P x
x
( )
n
1
n
,
）为待定系数，可由插值条件
y
= 0
a x
(
+
1
1
，故：
。
−
y
= 1
x
0
−
)
i = L
0,1,
a
nP x
(
)
=
0
0
nP x
a
(
)
=
1
0
),
0
L
,(
x y
,
n
n
)
，克服拉格朗日插值多项式的缺
−
x
a x
)
(
+
−
+
L
n
y= （ 0,1,
P x
)
(
n
i
x
)(
0
= L ）确定。
i
x
)
L
1
n
,
x
n
−
x
(
)
i
（15）
0
x
x
ia
其中系数 （
x= 时，
当
x= 时，
当
y
1
x
1
x= 时，
y
2
x
2
y
0
x
0
2
−
−
1
−
−
当
a
1
=
−
x
a
2
=
y
0
x
0
x
2
−
)
nP x
(
2
y
y
−
1
0
x
x
−
0
1
x
1
=
a
0
+
a x
(
1
2
−
x
0
)
+
a x
(
2
2
−
x
0
)(
x
2
−
x
1
)
y
= 2
，故：
依此方法递推可以得到系数 （
明确的算法，下面引入均差的概念。
−
−
定 义 3 ： 称
f x x
[
,
1
f x
(
)
1
x
1
=
]
0
f x
(
0
x
0
ia
i = L n
,
0,1,
）的一般表达式，为使 的算法更简明，并给出一个
ia
)
为 函 数 ( )
f x 关 于 点 0x ， 1x 的 一 阶 均 差 。 令
f x x x
[
,
2
,
0
1
]
=
]
0
f x x
[
,
2
x
2
]
−
−
0
f x x
[
,
1
x
1
，这是一阶均差的均差，称为 ( )
f x 的二阶均差。一般地，称：
f x x
[
,
1
0
,
,
x
k
]
=
L
f x
[
0
,
L
,
x
k
−
2
,
x
k
x
k
]
−
x
−
k
1
−
f x x
[
,
1
0
,
,
x
k
1−L
]
（16）
k
f x 的 阶均差（有时也称为差商）。
为 ( )
均差是数值分析中的重要概念，它有如下性质：
（1） 阶均差
f x
(
1
f x x
[
,
1
),
k
,
0
,
]k
xL 可表为函数值 0
f x
(
k
∑
f x x
[
,
1
x
k
L
=
]
,
,
0
),
f xL
(
)k
,
的线性组合，即：
f x
)
(
i
x
)(
i
x
)k
x
i
x
i
−
−
1
+
)
(
L
1
−
(
x
i
−
x
0
)
L
(
x
i
−
x
i
i
=
0
（17）
这个性质可以用归纳法证明。这个性质也表明均差与节点的排列次序无关，称为均差的对称性，
即：
]
=
（2）由均差性质（1）及式（16）可得：
f x x
[
,
1
x
k
L
,
,
0
f x x x
[
,
2
,
1
0
,
L
,
x
k
]
=
L
=
f x
[
1
,
L
,
x x
,
k
0
]
（18）
（3）若 ( )
f x 在
[ , ]a b
上存在 阶微商，且节点
n
x x
1,
0
计算均差时通常要构造形如表 4 所示的均差表。
f x x
[
,
1
0
,
,
x
k
]
=
L
f x
[
1
,
,
,
,
,
]
L
L
x
1k
−
（19）
f x
x
[
]
−
k
0
x
x
−
k
0
，则 阶均差与微商关系如下：
a b∈L
[ , ]
( )
ξ
]
!
（20）
， [ , ]a b
x
n
f
n
( )
n
ξ∈
n
,
f x x
[
,
1
0
,
=L
x
n
,
表 4 均差表
)k
一阶均差
kx
0x
1x
2x
3x
M
3.2 牛顿插值多项式
f
f x
零阶均差 (
x
0(
)
)x
f
1(
f x
2(
)
f x
3(
)
M
2
1
1
0
,
f x x
[
]
f x x
[
]
f x x
[
]
M
,
,
2
3
二阶均差
三阶均差
1
0
,
f x x x
,
[
2
f x x x
,
[
3
M
,
1
2
]
]
2
1
0
,
,
,
f x x x x
[
]
M
3
根据均差定义，把 x 看成
[ , ]a b
上的一点，可得：
※ 8 ※
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