球体表面温度周期变化时的非傅里叶导热求解与分析.pdf-资料库

中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 球体表面温度周期变化时的非傅里叶导热求解与分析# 赵伟涛，吴九汇** 5 10 （西安交通大学机械学院，西安 710049）摘要：本文基于具有热流延迟相的双曲型非 Fouier 热传导方程，研究了球体表面在一周期温度变化下的温度响应。采用分离变量法和 Duhamel 积分原理得到了该问题的解析解。使用获得的解析表达式，分析了球内温度响应在不同位置处以及随不同热松弛时间的变化趋势，并与经典的 Fouier 热传导方程所得到结果进行了比较。结果表明，非 Fouier 热传导模型所给的温度响应与经典的 Fouier 热传导模型具有显著的差别。关键词：热传导；非 Fouier；球体；温度响应；周期变化中图分类号：TG113.2 15 Analytical Study of the Non-Fourier Heat Conduction in a Solid Sphere with Periodic Surface Temperature ZHAO Weitao, WU Jiuhui 20 25 (School of Mechanical Engineering, Xi'an Jiaotong University, Xi'an 710049) Abstract: Based on hyperbolic heat conduction equation accounting for the phase lag between the heat flux and the temperature, the temperature responses of solid sphere subjected to a periodic surface temperature disturbance are analytically studied. The solution is based on the separation of variables method and Duhamel’s principle. Using the obtained analytical expression, the temperature response depending on the different position and the thermal relaxation time are examined quantitatively. A comparison of the present results with those obtained by using Fourier heat conduction equation is given. It shows that there exists a big difference between the temperature response obtained by using non-Fouier model and Fourier model. Key words: heat conduction; non-fouier; sphere; temperature responses; periodic variation 0 引言 30 自从 17 实际 Fourier 建立了导热的数学模型，Fourier 定律广泛应用于导热问题分析的各个领域。但是，Fourier 定律不涉及传热时间项，换句话说，一旦物体表面的温度在某个瞬间发生变化，则物体内部任意位置上都能立即感受到其变化，Fourier 定律隐含了热扰动传播速度为无限大的假设。对于热作用时间较长的稳态传热过程以及热传播速度较快的非稳态常规传热过程，采用 Fourier 定律来描述热流密度与温度梯度之间的关系是可以满足精度 35 要求的。随着科学技术的进步，超短激光脉冲的出现和制冷水平的提高，存在着极高（低）温条件下的传热问题和超急速传热问题，使得 Fourier 定律中的准平衡条件假设不再成立[1]。为了克服 Fourier 定律的局限性，Cattaneo[2]和 Vernotte[3]独立的提出了具有热流延迟相的非 Fourier 模型，计及热流变化率对热传导的影响，其修正的 Fourier 热传导方程为 (1) 基金项目：高等学校博士学科点专项科研基金资助项目(20090201120047) 作者简介：赵伟涛（1986-），男，在读博士，主要研究方向：工程热物理通信联系人：吴九汇（1970-），男，教授、博士生导师，主要研究方向：纳米力学、光子晶体. E-mail: ejhwu@mail.xjtu.edu.cn - 1 - 0kTtqq

中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 40 其中，是热流矢量，为温度，为热传导率，是时间，为热松弛时间。方程(1)结合能量守恒方程得到以温度描述的双曲线型热传导方程 (2) 45 50 55 其中，为热扩散系数，为密度，为常应变比热。为了描述热以有限速度传播这一超常规热传导现象，研究者们在不同的初始和边界条件下对方程(2)进行了求解。Ozisik[4]给出了在表面绝热，有内部热源条件下有限平板内的双曲型热传导方程的解析解。Frankel[5]研究了有限平板在矩形脉冲边界条件下的双曲型热传导方程。Tang[6,7]求解了表面周期性加热条件下有限介质的非 Fourier 热传导问题。Moosaie[8,9]在 Tang 的工作基础上，运用 Fourier 积分表达式，求解了在周期[8]或者非周期[9]表面热扰动条件下有限介质的非 Fourier 热传导问题。Barletta[10]分析了无限圆柱体存在内热源以及与外界流体有热对流的情况下的双曲型热传导。Sadd[11]使用 Laplace 变换法求解了圆筒内外区域一维轴对称非 Fourier 热传导问题。Atefi[12]使用分离变量法求解了边界条件不随时间变化的无限长圆筒的非 Fourie 温度场。Jiang[13]运用 Laplace 变换法研究了空心球体在内外两个表面温度突然变化时的双曲型热传导问题。Moosaie[14]求解了在不随时间变化的线性边界条件下空心球体的三维非 Fourier 温度场。Shirmohammadi[15]采用分离变量法得到空心球体在周期表面热流条件下的解析解。本文运用 Duhamel 积分得到了球体表面温度任意变化时双曲型热传导方程的解析解。首先分析了温度突变边界条件和周期边界条件这两类特殊的情况下解的形式，之后应用 Fourier 级数展开法研究了一般边界条件下解的形式。按照这些表达式，不同边界条件下球体的双曲线热传导行为得到分析和研究。这为工程应用和数值计算的验证提供了便利。 60 1 数学模型考虑一半径为，热物性为常数的球体，假设其初始温度，从时间时起，球体外表面处遭受一温度为的作用。在不考虑内热源和忽略热传导与热辐射的情况下，一维球体的双曲线热传导方程为 65 其边界条件为初始条件为 (3) (4) (5) ，，其中，为任意给定的函数。 70 为了获得控制方程(3)、(4)、(5)的无量纲形式，特引入以下无量纲量，，， (6) 为了简便，省掉无量纲符号上方的‘ ’，则方程(3)、(4)、(5)无量纲化之后为 (7) - 2 - qTkt0T2202TTaTttakcc0r(,0)0Tr0t0rr0fft220222TTTaTattrrr0,0rTrtr00,Trtfft,00Tr0,0tTrtr0fft0TTf0rrr20attr0020ar220222TTTTttrrr

中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 75 2 问题求解，， (8) (9) 由于边界条件(8)中的是任意函数，这就使得直接求解方程(7)变得不可能。因此，首先假定为一时间无关量，求解此条件下的温度场；其次运用 Duhamel 积分，求解在任意边界条件下的温度场。现在，采用“边界条件齐次化”的方法求解在边界条件 (10) (11) ， (12) 80 下方程(7)的定解。设解且 85 90 要满足方程(11)和边界条件(12)，不妨设 ( ，，是三个待定系数)，代入上式，求出，，，可得。的定解问题为 (13) ， (14) (15a) (15b) 采用分离变量法求解偏微分方程(13)，令 95 将式(13)代入方程(10)，得到以下两个常微分方程 (16) (17) (18) 其中为分离常数。球贝塞尔方程(17)在边界条件(14)下的本征值及相应的本征函数分别为 (19) (20) 100 式中，为半奇数阶贝塞尔函数。方程(18)在边界条件(15b)下的解为 - 3 - 0,0rTrtr1,Ttft,00Tr0,0tTrtrftftfftf,=,,Trtrtrt220222ttrrr0,0rrtr1,tf,rt2,rtArBrCABCABC,rtf,rt220222ttrrr0,0rrtr1,0t1,0f0,0trtt,rtXrYt22220dXdXXdrrdr22020dYdYYdtdtnn12nnnnnAXrJrAQrr12nJr

中国科技论文在线式中 105 把式(20)和(21)代入方程(16)得 http://www.paper.edu.cn (21) (22) (23) 式中，当时，为实数。 110 式(23)满足边界条件(15a)，再利用特征函数(20)的正交性可得因此可以用下式表示式中 115 (24) (25) (26) (27) 方程(25)表示在边界条件不随时间变化时的温度场，当边界条件为任意随时间变化的量时，运用 Duhamel 积分求解此条件下的温度场。 (28) 120 把式(24)代入(26)得到表面温度任意变化时，球体内部的温度场分布式中 (29) (30) 当时，方程(7)对应傅里叶导热的情形。此时为实数，式(30)变为 125 (31) 把式(22)代入式(31)进行整理得 (32) - 4 - 002002111100sinhcosh 22sincos 22tnnnnnntnnnnnnttBeYtttBe实数20=1-4nn0022111110000,sinhcoshsincos2222ttNnnnnnnnnnnnnNttttrtCeQrCeQrnNn1201220cos2nnnnnnnnrQrdrCfffrQrdr,Trt,=,TrtRrtf1,1nnnnRrtGtQr002002111100sinhcosh 22sincos 22tnnnnntnnnnntteGttte实数ft0,,tRrtTrtfttdtt1,nnnnTrtMtQr0022000221110001sinh 221sin 22ttnnnnttnnnntefttdtMttefttdt实数00n002200001limsinh 22ttnnntMtefttdt220nttnnMtefttdt

中国科技论文在线 3 计算与结果分析 http://www.paper.edu.cn 当半径为的球体表面遭受一幅值为，角频率为的周期温度变化时，无量纲化后 130 (33) 把式(33)代入式(29)得球体表面温度周期变化时球体内部的温度场分布 (34) 式中 (35) 135 对于 Fourier 导热，当时，把式(33)代入(32)可得把式(36)代入(29)得 Fourier 导热的温度分布 (36) (37) 140 图 1 球体表面温度周期变化时不同位置处图 2 球体表面温度周期变化时不同热松弛时间的温度响应( , ， ) 下的温度响应( , ， ) Fig 1 Effect of the different position on the Fig 2 Effect of the different thermal relaxation time temperature response with given values on the temperature response with given , and values , and - 5 - 0r0fcosftt1,nnnnTrtMtQr00222200222220222220022200212222101041sinh2141cosh 24144sin41cos1414tnntnnnnnnnnnnnnnntetettMt实数0022221100222211101202221011041sin241cos 24sin41costnntnnnnnnnntetett0024422cossinntnnnnMtett244221,cossinntnnnnnnTrtettQrrcosftt50.7cosftt50.5rrcosftt50.7cosftt50.5r

中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 145 使用式(34)，我们可以计算得到半径为的球体表面温度周期变化时球体内的温度分布。图 1 给出了当球体表面温度周期变化(角频率，热松弛时间 )时，球体不同位置处的温度相应，反映出了非 Fourier 热传导的瞬态温度特性。从图 3 可以看出每条曲线都存在一系列阶跃点，它们表示温度波波前经过边界的传播和反射到达的时刻。由于热波的传播速度为，所以在位置处，阶跃点位置为，，， ,…。 150 由于扩散的作用，温度波的阶跃值和幅值随着的减小而减小。图 1 还给出了同一位置的温度波曲线的阶跃点随着时间的增加而减小并逐渐消失，曲线最终变成光滑的周期曲线。图 2 给出了在角频率的情况下，不同无量纲热松弛时间下球体内( 处)无量纲温度随无量纲时间的变化曲线，以及采用式(37)得到 Fourier 热传导模型下的温度响应曲线。从图中可以看出，随着热松弛时间的减小，热波的传播速度增大，热量能够迅速的传 155 递从而导致球体内温度响应的幅值也随之减小，非 Fourier 效应逐渐减弱。越小，非 Fourier 和 Fourier 的温度响应曲线越接近。 4 结论通过对球体在表面遭受一温度周期变化时的非 Fouier 热传导问题的分析求解与理论计算，得到了非 Fouier 热传导模型的温度响应。通过与经典的 Fouier 热传导模型相比较， 160 非 Fouier 热传导模型具有明显的波前以及有限的热传播速度。温度波在具有一系列的阶跃点，阶跃点位置和成线性关系。热传导中非 Fouier 效应的存在主要取决于热松弛时间。 [参考文献] (References) 165 170 175 180 185 190 [1] 田晓耕，沈亚鹏. 广义热弹性问题研究进展[J]. 力学进展，2012，42(1)：18-28. [2] CATTANEO C. Sulla conduzione del calore[J]. Atti del Seminario Matematico e Fisico della Universita di Modena, 1948, 3(3): 83-101. [3] VERNOTTE P. Les paradoxes de la theorie continue deI'equation de la chaleur[J]. Compute Rendus, 1958, 246(22): 3154-3155. [4] OZISIK M N, VICK B. Propagation and reflection of thermal waves in a finite medium[J]. International Journal of Heat and Mass TransferInt, 1984, 27(10): 1845-1854. [5] FRANKEL J I, VICK B，Ozisik M N. Flux formulation of hyperbolic heat conduction[J]. Journal of Applied Physics, 1985, 58(9): 3340-3345. [6] TANG D W, ARAKI N. Non-Fourier heat conduction in a finite medium under periodic surface thermal disturbance[J]. International Journal of Heat and Mass Transfer, 1996, 39(8): 1585-1590. [7] TANG D W, ARAKI N. Non-Fourier heat conduction in a finite medium under periodic surface thermal disturbance-II. Another form of solution[J]. International Journal of Heat and Mass Transfer, 1996, 39(15): 3305-3308. [8] MOOSAIE A. Non-Fourier heat conduction in a finite medium subjected to arbitrary periodic surface disturbance[J]. International Communications in Heat and Mass Transfer, 2007, 34(8): 996-1002. [9] MOOSAIE A. Non-Fourier heat conduction in a finite medium subjected to arbitrary non-periodic surface disturbance[J]. International Communications in Heat and Mass Transfer, 2008, 35(3): 376-383. [10] BARLETTA A, ZANCHINI E. Thermal-wave heat conduction in a solid cylinder which undergoes a change of boundary temperature[J]. Heat Mass Transf, 1997, 32(4): 285-291. [11] SADD N H, CHA C Y. Axisymmetric non-Fourier temperatures in cylindrically bounded domains[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 1982, 17(3): 129-136. [12] ATEFI G, TALAEE M R. Non-fourier temperature field in a solid homogeneous finite hollow cylinder[J]. Archive of Applied Mechanics, 2011, 81(5): 569-583. [13] JIANG F. Solution and analysis of hyperbolic heat propagation in hollow spherical objects[J]. Heat and Mass Transfer, 2006 42(12): 1083-1091. [14] MOOSAIE A. Axisymetric non-Fourier temperature field in a hollow sphere[J]. Archive of Applied Mechanics, 2009, 79(8): 679-694. [15] SHIRMOHAMMADI R, MOOSAIE A. Non-Fourier heat conduction in a hollow sphere with periodic surface heat flux[J]. International Communications in Heat and Mass Transfer, 2009, 36(8): 827-833. - 6 - 0r50.7r1r1tr1r3r3rr50.5r

资料库

球体表面温度周期变化时的非傅里叶导热求解与分析.pdf

相关推荐

开发技术

热门标签

最新资料