2007年河南高考文科数学真题及答案.doc-资料库

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2007 年河南高考文科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4 页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项： 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效． 3．本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件 A B，互斥，那么 ( P B ( P A B ( ) P A    ) ) 如果事件 A B，相互独立，那么 ( P A B  )  ( ( P A P B )  ) 球的表面积公式 S  2 4π R 其中 R 表示球的半径球的体积公式如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么 V  n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 ( ) P k n 0 1 2 n ，，，， C p (1 n k     p n k n ) ( ) k 3 4 π R 3 其中 R 表示球的半径一、选择题（1）设   S 2 x x    ，  1 0  T 3 x x  5 0   ，则 S T  （）Ａ．  Ｂ． x x      1 2    Ｃ． x x     5 3    Ｄ． x       x 1 2 5 3    （2）是第四象限角， cos  ，sin （Ａ． 5 13 Ｂ．  5 13 （3）已知向量 ( 5 6)   ， a ， (6 5)  ，b 12 13 Ｃ．  Ｄ． 5 12 ，则 a 与 b （） 5 12 ）Ａ．垂直Ｂ．不垂直也不平行Ｃ．平行且同向Ｄ．平行且反向（4）已知双曲线的离心率为 2 ，焦点是 ( 4 0)  ，， (4 0)，，则双曲线方程为（）Ａ． 2 x 4 2 y 12  1 Ｂ． 2 x 12 2 y 4  1 Ｃ． 2 x 10 2 y 6  1 Ｄ． 2 x 6 2 y 10  1 （5）甲、乙、丙 3 位同学选修课程，从 4 门课程中，甲选修 2 门，乙、丙各选修 3 门，则

不同的选修方案共有（Ａ．36 种）Ｂ． 48 种（6）下面给出四个点中，位于Ｄ．192 种Ｃ．96 种 y ，表示的平面区域内的点是（ y 1 0 x         1 0 x  ）Ａ． (0 2)，Ｂ． ( 2 0)  ，Ｃ． (0 2)，Ｄ． (2 0)，（7）如图，正四棱柱的余弦值为（Ａ． 1 5 ） 2 5 Ｂ． ABCD A B C D 1 1 1  1 AA 中， 1  2 AB ，则异面直线 1A B 与 1AD 所成角Ｃ． 3 5 Ｄ． 4 5 1D D 1C 1B C B 1A A （8）设 1a  ，函数 ( ) f x  log a x 在区间 2a a，上的最大值与最小值之差为 1 2 ，则 a  （）Ａ． 2 Ｂ． 2 Ｃ． 2 2 Ｄ． 4 （9） ( ) f x ， ( )g x 是定义在 R 上的函数， ( ) h x  ( ) f x  ( ) g x ，则“ ( ) f x ， ( )g x 均为偶函数”是“ ( )h x 为偶函数”的（）Ａ．充要条件Ｃ．必要而不充分的条件Ｂ．充分而不必要的条件Ｄ．既不充分也不必要的条件（10）函数 y  2cos 2 x 的一个单调增区间是（）Ａ．    π π ， 4 4    Ｂ．    π0 ， 2    Ｃ．    π 3π ， 4 4    Ｄ．    π 2 ， π    （11）曲线 y  31 x 3  在点 x       41 ，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ 3 1 3 2 9 4 x 的焦点为 F ，准线为l ，经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴Ｃ．Ｄ． 2 3 ）Ａ． 1 9 Ｂ．（12）抛物线 2 y 上方的部分相交于点 A ， AK l⊥ ，垂足为 K ，则 AKF△ 的面积是（）Ａ． 4 Ｂ．3 3 Ｃ． 4 3 Ｄ．8

第Ⅱ卷注意事项： 1．答题前，考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．第Ⅱ卷共 2 页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 3．本卷共 10 题，共 90 分．二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在横线上．（13）从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取 20 袋，测得各袋的质量分别为（单位：g ）： 492 497 496 503 494 506 495 508 498 507 497 492 501 496 502 500 504 501 496 499 根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在 497.5g～ 501.5g 之间的概率约为_____．（14）函数 y  ( ) f x 的图像与函数 y  log x 3 ( x  的图像关于直线 y 0) x 对称，则 ( ) f x  ____________．（15）正四棱锥 S ABCD  的底面边长和各侧棱长都为 2 ，点 S，A，B，C，D都在同一个球面上，则该球的体积为_________．（16）等比数列{ }na 的前 n项和为 nS ，已知 1S ， 22S ， 33S 成等差数列，则{ }na 的公比为 ______．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分 10 分）设锐角三角形 ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c， 2 sin A ．  a b （Ⅰ）求 B的大小；（Ⅱ）若 3 3 a  ， 5 c  ，求 b．（18）（本小题满分 12 分）某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是 0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润 200 元；若顾客采用分期付款，商场获得利润 250 元．（Ⅰ）求 3 位购买该商品的顾客中至少有 1 位采用一次性付款的概率；（Ⅱ）求 3 位顾客每人购买 1 件该商品，商场获得利润不超过 650 元的概率．（19）（本小题满分 12 分）四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD为平行四边形，侧面 SBC  底面 ABCD，已知 ABC  ， 45   S D C A B 2 ， 2 2 BC   ． SA SB AB  ，（Ⅰ）证明： SA BC （Ⅱ）求直线 SD与平面 SBC所成角的大小．（20）（本小题满分 12 分）； 3 设函数 ( ) f x  3 2 x  3 ax 2  3 bx  在 1x  及 2 x  时取得极值． 8 c

（Ⅰ）求 a、b的值；（Ⅱ）若对于任意的 [0 3] x  ，，都有 ( ) f x 2 c 成立，求 c的取值范围．（21）（本小题满分 12 分）设{ }na 是等差数列，{ }nb 是各项都为正数的等比数列，且 1 a b 1 1 a  ， 3 b 5  ， 21 a 5 b 3  13 （Ⅰ）求{ }na ，{ }nb 的通项公式； a （Ⅱ）求数列 n b n       的前 n项和 nS ．（22）（本小题满分 12 分）已知椭圆 2 x 3 2 y 2 1  的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，过 1F 的直线交椭圆于 B，D两点，过 2F 的直线交椭圆于 A，C两点，且 AC BD ，垂足为 P． x （Ⅰ）设 P点的坐标为 0 ( y，，证明： ) 0 2 x 0 3 2 y 0 2  ； 1 （Ⅱ）求四边形 ABCD的面积的最小值．一、选择题 1．Ｄ 10．Ｄ二、填空题 2．Ｂ 11．Ａ参考答案 3．Ａ 4．Ａ 5．Ｃ 6．Ｃ 7．Ｄ 8．Ｄ 9．Ｂ 12．Ｃ 13． 0.25 14．3 ( x x R ) 15． 4π 3 16． 1 3 三、解答题 17．解：（Ⅰ）由 2 sin  a b A ，根据正弦定理得sin A  2sin sin B A ，所以 sin B  ， 1 2 π 6 2 a 由 ABC△ 为锐角三角形得 B  ．（Ⅱ）根据余弦定理，得 2 b  所以， b  ． 7 18．解：  2 c  2 ac cos B  27 25 45   7 ．

（Ⅰ）记 A 表示事件：“3 位顾客中至少1位采用一次性付款”，则 A 表示事件：“3 位顾客中无人采用一次性付款”． ( P A   (1 0.6) ) 2  0.064 ，  ( P A ) 1   ) 1 0.064 0.936   ( P A （Ⅱ）记 B 表示事件：“3 位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过 650 元”． 0B 表示事件：“购买该商品的3 位顾客中无人采用分期付款”．． 1B 表示事件：“购买该商品的3 位顾客中恰有1位采用分期付款”．则 B B 0   ． B 1 0( P B  ) 0.6 3  0.216 ， ( P B 1 ) C 1 3  0.6 2  0.4 0.432  ． ( P B )  ( P B 0  B 1 )  ) )  ( P B 0 ( P B 1 0.216 0.432 0.648  ．   19．解法一：（1）作 SO BC⊥ ，垂足为 O ，连结 AO ，由侧面 SBC ⊥ 底面 ABCD ，得 SO ⊥ 底面 ABCD ．因为 SA SB ，所以 AO BO ，又 ∠ ABC  45  ，故 AOB△ 为等腰直角三角形， AO BO⊥ ，由三垂线定理，得 SA （Ⅱ）由（Ⅰ）知 SA 依题设 AD BC∥ ， BC⊥ ． BC⊥ ，故 SA AD⊥ ，由 AD BC  2 2 ， SA  ， 3 S E D C O B A SD  2 AD SA  2  11 ．又 AO AB sin 45  2 ，作 DE BC⊥ ，垂足为 E ，则 DE ⊥平面 SBC ，连结 SE ． ESD∠ 22 11 ED AO SD SD ESD 2 11 sin ∠     为直线 SD 与平面 SBC 所成的角．

所以，直线 SD 与平面 SBC 所成的角为 arcsin 22 11 ．解法二：（Ⅰ）作 SO BC⊥ ，垂足为 O ，连结 AO ，由侧面 SBC ⊥ 底面 ABCD ，得 SO ⊥ 平面 ABCD ．因为 SA SB ，所以 AO BO ．又 ∠ ABC  45  ， AOB△ 为等腰直角三角形， AO OB⊥ ．如图，以O 为坐标原点，OA 为 x 轴正向，建立直角坐标系O xyz ， z S O B x D C y A 因为 AO BO   2 2 AB  ， 2 SO  2 SB  BO 2  ， 1 又 BC  2 2 ，所以 ( 2 0 0) A ，，， (0 2 0) B ，，， (0 C ，，． 2 0)  SA  (0 0 1) S ，，，  CB  ( 2 0 1)  ，，，   SA CB       为平面 SBC 的法向 BC⊥ ． (0 2 2 0) 0 ，所以 SA ，，，    SD SA AD SA CB  与 SD ( 2 0 0) ，， .  的夹角记为，SD 与平面 ABC 所成的角记为，因为OA  ，，，  OA  2 2 ( 2 1)     （Ⅱ）  OA 量，所以与互余． cos    OA SD   OA SD    22 11 ， sin  22 11 ，所以，直线 SD 与平面 SBC 所成的角为 arcsin 22 11 ． 20．解：（Ⅰ）  ( ) 6 f x  x 2  6 ax  ， 3 b 因为函数 ( ) f x 在 1x  及 2 x  取得极值，则有 (1) 0  ， (2) 0  ． f  f  即 3 6 6 b a    3 24 12 a b   0 ， 0  ．   

解得 a   ， 4 b  ． 3 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ( ) f x  3 2 x 2  9 x  12 x  ， 8 c  ( ) 6 f x  x 2  18 x  12 6(  x  1)( x  ． 2) 当 (0 1) x  ，时， ( ) 0 f x  ；当 (1 2) x  ，时， ( ) 0 f x  ；当 (2 3) x  ，时， ( ) 0 f x  ．所以，当 1x  时， ( ) f x 取得极大值 (1) 5 8 c   ，又 (0) 8 c ， (3) 9 8 c   ． f f f 则当  0 3 x  ，时， ( ) f x 的最大值为 (3) 9 8 c   ． f 因为对于任意的  x  ，，有 0 3 ( ) f x 2 c 恒成立， 2 所以 9 8c   ， 1 c   或 9 因此 c 的取值范围为 ( c c  ，解得   ， 1) (9   ，． ) 21．解：（Ⅰ）设 na 的公差为 d ， nb 的公比为 q ，则依题意有 0 q  且   1 2   1 4   d d   4 2 q q   解得 d  ， 2 q  ． 2 所以 na 1 (   n  1) d  2 n 1  ， nb  1 n q   12 n  ． 21 13 ，，  a n b n 3 1 2 2 3   ．  1  1  2 n n 2 5 2 n  2 2 n 2 2  2 5 3 n  3 n 2 2  2 2 2     2 2 2 2   ，① ，② 3  1 2 n  1 n 2  2 1 n  2 n 2        1 2 1 2 2    1 n  2 2      1  1  2 n n 2 ， 2 2 n  2 2 n n 2 1  1  （Ⅱ） S n 1    2 S n     ②－①得 2 2    S n 1   

 1  1  2 n n 2 1 1 n 2  1  2 ． 1 3 1 2 2     6   2 n  1 2n  22．证明（Ⅰ）椭圆的半焦距 c  3 2 1   ，由 AC BD⊥ 知点 P 在以线段 1 2F F 为直径的圆上，故 2 x 0 y 2 0  ， 1 所以， 2 x 0 3  2 y 0 2 ≤ 2 x 0 2  2 y 0 2 1 1   2 ． y A D P 2F 1F O B x C （Ⅱ）（ⅰ）当 BD 的斜率 k 存在且 0 k  时， BD 的方程为 y  ( k x 1)  ，代入椭圆方程 2 x 3 2 y 2  ，并化简得 2 (3 k 1  2 2) x  6 2 k x  3 k 2   ． 6 0 ( B x 设 1 y，， ) 1 ( D x y，，则 2 ) 2 x 1  x 2   2 6 k 2 3 k  2 ， x x 1 2  2 2 3 k 3 k   6 2 ， BD  1  k 2  x 1  x 2  (1  k 2 )  x  (  2  x 2 2 )  4 x x 1 2    因为 AC 与 BC 相交于点 p ，且 AC 的斜率为  ． 1 k 1) 2 4 3( k 2 3 k   2 ；     AC 4 3 所以， 1 2 k 1 2 k 四边形 ABCD 的面积 3   1    2  1) 4 3( k 2 2 k 2   3 ． S  1 2  BD AC   (3 k 24( 2  2 1) k  2 2)(2 k 2 ≥  3) 2 2 1)  (2 k 2 ( k  2)   2  3)    2 (3 k     2 96 25 ． 1 当 2 k  时，上式取等号．（ⅱ）当 BD 的斜率 0 k  或斜率不存在时，四边形 ABCD 的面积 S  ． 4

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