2007 年河南高考理科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页.第Ⅱ卷 3
至 4 页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
注意事项:
1.答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考
证号填写清楚,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.
2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效.
3.本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
参考公式:
如果事件 A B, 互斥,那么
(
P A B
如果事件 A B, 相互独立,那么
(
P A B
(
(
P A P B
)
(
P A
(
P B
)
)
)
)
)
球的表面积公式
2
4π
R
S
其中 R 表示球的半径
球的体积公式
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么
V
3
4 π
R
3
其中 R 表示球的半径
n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
( )
P k
n
n
,,,…,
0 1 2
C p
(1
n k
p
k
k
n
)
(
)
k
一、选择题
(1)是第四象限角,
tan
,则sin (
5
12
B.
A.
1
5
1
5
(2)设 a 是实数,且
D.
5
13
是实数,则 a (
C.
5
13
1 i
2
a
1 i
A.
1
2
B.1
C.
D. 2
3
2
)
)
(3)已知向量 ( 5 6)
,
a
, (6 5)
,b
,则 a 与 b (
)
A.垂直
B.不垂直也不平行
C.平行且同向
D.平行且反向
(4)已知双曲线的离心率为 2 ,焦点是 ( 4 0)
, , (4 0), ,则双曲线方程为(
)
A.
2
x
4
2
y
12
1
B.
2
x
12
2
y
4
1
C.
2
x
10
2
y
6
1
D.
2
x
6
2
y
10
1
(5)设 a b R,
,集合
1
a b a
, ,
0 b
, , ,则b a (
a
b
)
A.1
B. 1
C. 2
D. 2
(6)下面给出的四个点中,到直线
x
y 的距离为
1 0
2
2
,且位于
的平面区域内的点是(
)
A.(11),
B.( 11) ,
C.( 1 1)
,
D.(1 1),
(7)如图,正四棱柱
ABCD A B C D
1
1 1
1
AA
中, 1
2
AB
,则异面直线
)
A.
1A B 与 1AD 所成角的余弦值为(
3
5
log a
(8)设 1a ,函数 ( )
f x
1
5
2
5
B.
C.
D.
4
5
2a a, 上的最大值与最小值之差为
A
x
在区间
1 0
x
1 0
x
y
y
,
表示
1D
1A
D
1C
1B
C
B
1
2
,则 a
(
)
A. 2
B. 2
C. 2 2
D. 4
(9) ( )
f x , ( )g x 是定义在 R 上的函数, ( )
h x
( )
f x
( )
g x
,则“ ( )
f x , ( )g x 均为偶
函数”是“ ( )h x 为偶函数”的(
)
A.充要条件
C.必要而不充分的条件
B.充分而不必要的条件
D.既不充分也不必要的条件
1 n
x
B. 4
(10) 2
x
A.3
(11)抛物线 2
y
的展开式中,常数项为15 ,则 n (
)
C.5
D.6
x 的焦点为 F ,准线为l ,经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴
4
上方的部分相交于点 A , AK l⊥ ,垂足为 K ,则 AKF△
的面积是(
)
A. 4
B.3 3
C. 4 3
D.8
(12)函数
( )
f x
2
cos
x
2cos
2
A.
2
,
3 3
B.
,
6 2
x
2
的一个单调增区间是(
)
C. 0
,
3
第Ⅱ卷
D.
,
6 6
注意事项:
1.答题前,考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证
号填写清楚,然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.
2.第Ⅱ卷共 2 页,请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作
答,在试题卷上作答无效.
3.本卷共 10 题,共 90 分.
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在横线上.
(13)从班委会 5 名成员中选出 3 名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中
甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有
种.(用数字作答)
( 14 ) 函 数
y
( )
f x
的 图 像 与 函 数
y
log
3
(
x x
的 图 像 关 于 直 线 y
0)
x 对 称 , 则
( )
f x
.
.
(15)等比数列 na 的前 n 项和为 nS ,已知 1S , 22S , 33S 成等差数列,则 na 的公比
为
(16)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知正三棱柱的底面
边长为 2,则该三角形的斜边长为
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分 10 分)
设锐角三角形 ABC 的内角 A B C, , 的对边分别为 a b c, , , 2 sin
(Ⅰ)求 B 的大小;
sin
(Ⅱ)求 cos
C
(18)(本小题满分 12 分)
的取值范围.
A
A
.
.
a
b
某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数的分布列为
P
1
2
3
4
5
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商场经销一件该商品,采用 1 期付款,其利润为 200 元;分 2 期或 3 期付款,其利润为 250
元;分 4 期或 5 期付款,其利润为 300 元.表示经销一件该商品的利润.
(Ⅰ)求事件 A :“购买该商品的 3 位顾客中,至少有 1 位采用 1 期付款”的概率 (
)P A ;
(Ⅱ)求的分布列及期望 E.
(19)(本小题满分 12 分)
四 棱 锥 S ABCD
中 , 底 面 ABCD 为 平 行 四 边 形 , 侧 面 SBC 底 面 ABCD . 已 知
∠
ABC
45
,
AB ,
2
BC
2 2
,
SA SB
.
3
S
(Ⅰ)证明 SA BC
(Ⅱ)求直线 SD 与平面 SAB 所成角的大小.
;
D
C
A
B
(20)(本小题满分 12 分)
设函数 ( )
f x
x
e
x
.
e
(Ⅰ)证明: ( )
f x 的导数 ( )
f x ≥ ;
2
(Ⅱ)若对所有
x ≥ 都有 ( )
f x
0
ax≥ ,求 a 的取值范围.
(21)(本小题满分 12 分)
已知椭圆
2
x
3
2
y
2
1
的左、右焦点分别为 1F , 2F .过 1F 的直线交椭圆于 B D, 两点,过 2F
的直线交椭圆于 A C, 两点,且 AC BD
(Ⅰ)设 P 点的坐标为 0
x
(
y, ,证明:
)
0
,垂足为 P .
2
y
0
2
;
2
x
0
3
1
(Ⅱ)求四边形 ABCD 的面积的最小值.
(22)(本小题满分 12 分)
已知数列 na 中 1
a , 1
n
( 2 1)(
2
a
a
(Ⅰ)求 na 的通项公式;
, 1 2 3
n ,,,….
2)
n
(Ⅱ)若数列 nb 中 1
b
b , 1
n
2
3
b
n
2
b
n
4
3
, 1 2 3
n ,,,…,
证明:
2
≤
b
n
a
4
n
3
, 1 2 3
n ,,,….
一、选择题:
(1)D
(7)D
二、填空题:
(2)B
(8)D
参考答案
(3)A
(9)B
(4)A
(10)D
(5)C
(11)C
(6)C
(12)A
(13)36
(14)3 (
x x R
)
(15)
1
3
(16) 2 3
三、解答题:
(17)解:
B ,
1
2
(Ⅰ)由 2 sin
a
b
A
,根据正弦定理得sin
A
2sin sin
B
A
,所以
sin
由 ABC△
为锐角三角形得
B .
π
6
(Ⅱ) cos
A
sin
C
cos
A
sin
A
cos
A
sin
6
A
cos
A
1
2
cos
A
3
2
sin
A
为锐角三角形知,
.
B
2
6
3
3
.
3 sin
A
由 ABC△
2
2
2
3
3
sin
所以
1
2
A
B
A
,
2
,
6
3
A
3
2
.
由此有
3
2
3 sin
A
3
3
2
3
,
所以, cos
A
sin
C
的取值范围为
3 3
, .
2 2
(18)解:
(Ⅰ)由 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款”.
知 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款”
(
P A
(1 0.4)
)
2
0.216
,
(
P A
) 1
(
P A
) 1 0.216 0.784
.
(Ⅱ)的可能取值为 200 元, 250 元, 300 元.
P
(
200)
P
(
1) 0.4
,
P
(
250)
P
(
2)
P
(
3) 0.2 0.2 0.4
,
300) 1
(
P
的分布列为
P
(
200)
P
(
250) 1 0.4 0.4 0.2
200
0.4
200 0.4 250 0.4 300 0.2
P
E
250
0.4
.
300
0.2
240
(元).
(19)解法一:
(Ⅰ)作 SO BC⊥ ,垂足为 O ,连结 AO ,由侧面 SBC ⊥ 底面 ABCD ,得 SO ⊥ 底面
ABCD .
因为 SA SB ,所以 AO BO
,
又
∠
ABC
45
,故 AOB△
为等腰直角三角形, AO BO⊥ ,
由三垂线定理,得 SA
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 SA
BC⊥ .
BC⊥ ,依题设 AD BC∥ ,
故 SA
AD⊥ ,由
AD BC
2 2
,
SA ,
3
AO ,得
2
SO ,
1
SD
11
.
SAB△ 的面积
S
1
1
2
AB SA
2
连结 DB ,得 DAB△
S
的面积 2
设 D 到平面 SAB 的距离为 h ,由于 D SAB
1
3
,
SO S
h S
1
1
3
2
AB
2
2
.
D
C
A
1
2
1
2
V
AB AD
sin135
2
V
S ABD
,得
S
O
B
解得
h .
2
设 SD 与平面 SAB 所成角为,则
sin
h
SD
2
11
22
11
.
所以,直线 SD 与平面 SBC 所成的我为
arcsin
22
11
.
解法二:
(Ⅰ)作 SO BC⊥ ,垂足为 O ,连结 AO ,由侧面 SBC ⊥ 底面 ABCD ,得 SO ⊥ 平面
ABCD .
因为 SA SB ,所以 AO BO
.
又
∠
ABC
45
, AOB△
为等腰直角三角形, AO OB⊥ .
如图,以O 为坐标原点,OA 为 x 轴正向,建立直角坐标系O xyz ,
B , , , (0
C , , , (0 0 1)
S ,, ,
2 0)
SA
( 2 0
,, ,
1)
( 2 0 0)
A ,, , (0 2 0)
CB
(0 2 2 0)
, , ,
SA CB
0
,所以 SA
BC⊥ .
z
S
G
(Ⅱ)取 AB 中点 E ,
E
2
2
, , ,
2 0
2
D
O E
B
y
C
x
A
连结 SE ,取 SE 中点G ,连结OG ,
OG
2
4
, , ,
2 1
2
4
SE
2
2
, , ,
AB , , .
2 2 0)
(
2
4
, , .
2 1
4
2
G
2 1
2
SE OG
0
,
AB OG
0
,OG 与平面 SAB 内两条相交直线 SE , AB 垂直.
所以OG 平面 SAB ,OG 与 DS 的夹角记为,SD 与平面 SAB 所成的角记为,则
与互余.
D , , ,
( 2 2 2 0)
DS , , .
2 2 2 1)
(
cos
OG DS
OG DS
22
11
,
sin
22
11
,
所以,直线 SD 与平面 SAB 所成的角为
arcsin
22
11
.
(20)解:
(Ⅰ) ( )
f x 的导数 ( )
f x
x
e
x
.
e
x
2 e e
x
2
,故 ( )
f x ≥ .
2
x
-x
e
≥
由于 e
(当且仅当 0
(Ⅱ)令 ( )
g x
x 时,等号成立).
( )
f x
,则
ax
( )
g x
( )
f x
a
x
e
e
x
,
a
(ⅰ)若
a ≤ ,当 0
x 时, ( )
g x
2
x
e
e
x
≥ ,
a
a
2
0
y
A
D
P
2F
1F O
B
x
C
故 ( )g x 在 (0
), ∞ 上为增函数,
所以,
x ≥ 时, ( )
g x
0
g≥
(0)
,即 ( )
f x
ax≥ .
(ⅱ)若 2
a ,方程 ( ) 0
g x
的正根为
a
x
1
ln
2
4
,
a
2
此时,若
x
, ,则 ( ) 0
g x
,故 ( )g x 在该区间为减函数.
(0
)
x
1
所以,
x
, 时, ( )
g x
(0
)
x
1
g
(0) 0
,即 ( )
f x
ax ,与题设 ( )
f x
ax≥ 相矛盾.
综上,满足条件的 a 的取值范围是
∞, .
2
(21)证明:
(Ⅰ)椭圆的半焦距
c
3 2 1
,
由 AC BD⊥ 知点 P 在以线段 1 2F F 为直径的圆上,故 2
x
0
y
2
0
,
1
所以,
2
x
2
3
2
y
0
2
≤
2
x
0
2
2
y
0
2
1 1
2
.
(Ⅱ)(ⅰ)当 BD 的斜率 k 存在且 0
k 时, BD 的方程为
y
(
k x
1)
,代入椭圆方程
2
x
3
2
y
2
,并化简得 2
(3
k
1
2
2)
x
6
2
k x
3
k
2
.
6 0
(
B x
设 1
y, ,
)
1
(
D x
y, ,则
2
)
2
x
1
x
2
2
6
k
2
3
k
2
,
x x
1 2
2
2
3
k
3
k
6
2
BD
1
k
2
x
1
x
2
(1
k
2
)
x
(
2
x
2
2
)
4
x x
1 2
因为 AC 与 BC 相交于点 P ,且 AC 的斜率为
,
1
k
1)
2
4 3(
k
2
3
k
2
;
AC
4 3
所以,
1
2
k
1
2
k
四边形 ABCD 的面积
3
1
2
1)
4 3(
k
2
2
k
2
3
.
S
1
2
BD AC
(3
k
24(
2
2
1)
k
2
2)(2
k
2
≥
3)
2
2
1)
(2
k
2
(
k
2)
2
3)
2
(3
k
2
96
25
.
k 或斜率不存在时,四边形 ABCD 的面积
S .
4
96
25
.
1
当 2
k 时,上式取等号.
(ⅱ)当 BD 的斜率 0
综上,四边形 ABCD 的面积的最小值为
(22)解:
(Ⅰ)由题设:
a
1
n
( 2 1)(
a
n
2)
( 2 1)(
na
2)
( 2 1)(2
2)