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2006年重庆高考文科数学真题及答案.doc
2006 年重庆高考文科数学真题及答案
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
檫擦干净后，在选涂其他答案标号。
3．答非选择题时，必须用 0.5mm 黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式：
如果事件 A B、 互斥，那么 (
P A B
)
(
)
P A
(
P B
)
如果事件 A B、 相互独立，那么 (
P A B
)
(
(
P A P B
)
)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率：
( )
P k
n
k
C p
k
n
(1
n k
)
p
一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个备选项中，只
有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合
U
{1,2,3,4,5,6,7}
， {2,4,5,7}
A
， {3,4,5}
B
，则 (
)
A
痧
U
(
)
B
U
（A）{1,6}
（B）{4,5}
（C）{2,3,4,5,7}
（D）{1,2,3,6,7}
（2）在等差数列 na 中，若
（C）6
（A）2
（B）4
（D）8
na 且 3 7
a a ， 5a 的值为
64
0
（3）以点（2，－1）为圆心且与直线3
x
4
y
相切的圆的方程为
5 0
（A）
(
x
2
2)
(
y
2
1)
3
（B）
(
x
2
2)
(
y
2
1)
3
2
1)
3
2
2
2
9
(
y
(
x
(
x
1)
2)
2)
（C）
（D）
(
y
（4）若 P 是平面外一点，则下列命题正确的是
（A）过 P 只能作一条直线与平面相交
（C）过 P 只能作一条直线与平面平行
（5）
3x 的展开式中 2x 的系数为
5
2
（B）过 P 可作无数条直线与平面垂直
（D）过 P 可作无数条直线与平面平行
（A）－2160
（B）－1080
（C）1080
（D）2160
（6）设函数
y
( )
f x
的反函数为
y
1( )
x
f
，且
y
f
(2
x
1)
的图像过点
1(
2
,1)
，则
y
1( )
x
f
的图像必过
（A）
1(
2
,1)
（B）
1(1,
2
)
（C）(1,0)
（D） (0,1)
（7）某地区有 300 家商店，其中大型商店有 30 家，中型商店有 75 家，小型商店有 195 家。
为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为 20 的样本。若采用分层抽样的方法，
抽取的中型商店数是
（A）2
（B）3
（D）13
（C）5
（8）已知三点 (2,3),
A
B
( 1, 1),
(6, )
C k
，其中 k 为常数。若 AB
AC
，则 AB
与 AC
的
夹角为
（A）
arccos(
（C）
arccos
24
25
24
25
（D）
2
)
（B）
arccos
或
2
或
arccos
24
25
24
25
（9）高三（一）班学要安排毕业晚会的 4 各音乐节目，2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演
出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是
（A）1800
（D）5040
（C）4320
（B）3600
（10）若 ,
(0,
)
2
，
cos(
)
2
3
2
,
sin(
2
)
，则 cos(
) 的值等于
1
2
（A）
3
2
（B）
（11）设 1
(
A x y B
),
,
1
(4,
1
2
9
5
),
（C）
1
2
（D）
3
2
C x y 是右焦点为 F 的椭圆
(
)
,
2
2
2
x
25
2
y
9
上三个不同的点，
1
则“
x
AF BF CF 成等差数列”是“ 1
,
,
x
2
”的
8
（A）充要条件
（C）充分不必要条件
（B）必要不充分条件
（D）既非充分也非必要
（12）若 ,
a b c 且 2
a
0
,
2
ab
2
ac
4
bc
，则 a b c
的最小值是
12
（A） 2 3
（B）3
（C）2
（D） 3
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 24 分。把答案填写在答题卡相应位置上。
（13）已知
sin
2 5
5
，
2
，则 tan
。
（14）在数列{ }na 中，若 1 1
a ， 1
n
a
a
n
2(
n
1)
，则该数列的通项 na
。
（15）设 0,
a
a
，函数
1
( )
f x
log (
a
x
2
2
x
解集为
。
有最小值，则不等式 log (
3)
a x 的
1) 0
（16）已知变量 x ， y 满足约束条件
2
3 0
x
y
3
3 0
y
x
1 0
y
。若目标函数 z
ax
仅在点 (3,0) 处取得最大值，则 a 的取值范围为
。
（其中 0
a ）
y
三．解答题：本大题共 6 小题，共 76 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分 13 分）
甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打给
甲、乙、丙的概率依次为
1
6
、
1
3
、
1
2
。若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独
立。求：
（Ⅰ）这三个电话是打给同一个人的概率；
（Ⅱ）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率；
（18）（本小题满分 13 分）
cos
x a
（其中
0,a R
）。且 ( )
f x 的图像在 y 轴
设函数
( )
f x
3 cos
2
x
sin
右侧的第一个最高点的横坐标是
。
x
6
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）如果 ( )
f x 在区间
[
5
]
3 6
,
上的最小值为 3 ，求 a 的值；
（19）（本小题满分 12 分）
设函数
( )
f x
3
x
3
ax
2
3
bx
的图像与直线12
x
y 相切于点 (1, 11) 。
1 0
（Ⅰ）求 ,a b 的值；
（Ⅱ）讨论函数 ( )
f x 的单调性。
（20）（本小题满分 12 分）
如 图 ， 在 增 四 棱 柱
ABCD A B C D
1
1 1
1
中 ，
AB
1,
BB
1
3 1
， E 为 1BB 上使 1
B E 的点。
1
平面
AEC 交 1DD 于 F ，交 1
1A D 的延长线于G ，求：
1
（Ⅰ）异面直线 AD 与 1C G 所成角的大小；
（Ⅱ）二面角
A C G A
1
的正切值；
1
（21）（本小题满分 12 分）
已知定义域为 R 的函数
( )
f x
x
2
1
x
2
b
a
是奇函数。
（Ⅰ）求 ,a b 的值；
（Ⅱ）若对任意的t R ，不等式 2
(
t
f
2 )
t
f
2
(2
t
k
) 0
恒成立，求 k 的取值范围；
（22）（本小题满分 12 分）
A x y 是抛物线 2
如图，对每个正整数 n ， (
x
n
)
,
n
n
y 上的点，
4
过焦点 F 的直线 nFA 角抛物线于另一点 (
B s t 。
n
)
,
n
n
（Ⅰ）试证：
n nx s
4(
n
；
1)
（Ⅱ）取
nx ，并记 nC 为抛物线上分别以 nA 与 nB 为切点
2n
的 两 条 切 线 的 交 点 。 试 证 ：
FC
1
FC
2
FC
n
n
2
2
1
n
1
；
2006 年重庆高考文科数学真题参考答案
3.C
4.D 5.B
6.C
7.C 8.D
9.B
10.B 11.A
12.A
一．选择题
1.D
二．填空题
2.D
(13) -2
(14) 2n – 1
(15)
（ ， ）
2
（ ）
16
a
1
2
三．解答题
（17）（本小题满分 13 分）甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机，设
经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为
内打进三个电话，且各个电话相互独立。求：
（Ⅰ）这三个电话是打给同一个人的概率；
（Ⅱ）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率；
1
6
、
1
3
、
1
2
。若在一段时间
解：（Ⅰ）由互斥事件有一个发生的概率公式和独立事件同时发生的概率公式，
所求概率为：
(
1
6
3
)
1
( )
3
3
(
1
2
3
)
1
6
.
（Ⅱ）这是 n=3，p=
的独立重复试验，故所求概率为：
p
1
6
(2)
P
3
2
C
3
(
1
6
2
) (
5
6
)
5
72
.
（18）（本小题满分 13 分）设函数
( )
f x
3 cos
2
x
sin
cos
x
x a
（其中
0,a R
）。且 ( )
f x 的图像在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是
（Ⅰ）求的值；
6
。
（Ⅱ）如果 ( )
f x 在区间
[
上的最小值为 3 ，求 a 的值；
解：（I）
( )
f x
3
2
cos 2
x
x
sin(2
x
)
3
3
2
a
,
5
]
3 6
1
2
sin 2
3
2
1
2
依题意得
（II）由（I）知，
2
( )
f x
3
6
2
)
3
sin(
x
．
3
2
．又当
x
[
5
]
3 6
,
时，
x
3
7[0,
]
6
，故
1
2
sin(
x
3
，从而 ( )
) 1
f x 在区间
π 5π
，
3 6
上的最小值为
3
1
2
3
2
，故
a
a
3 1.
2
（19）（本小题满分 12 分）
设函数
( )
f x
3
x
3
ax
2
3
bx
的图像与直线12
x
y 相切于点 (1, 11) 。
1 0
（Ⅰ）求 ,a b 的值；
（Ⅱ）讨论函数 ( )
f x 的单调性。
解：（Ⅰ）求导得 '
f x
( ) 3
2
x
6
ax
。
3
b
由于 ( )
f x 的图像与直线12
x
y 相切于点 (1, 11) ，
1 0
所以
f
(1)
11,
f
'
(1)
，即：
12
1-3a+3b = -11
3-6a+3b=-12
解得:
a
1,
b
．
3
（Ⅱ）由 1,
b
a
得： '
f x
( ) 3
3
2
x
6
ax
3
b
2
3(
x
2
x
3) 3(
x
1)(
x
3)
令 f′（x）＞0，解得 x＜-1或 x＞3；又令 f′
（x）< 0，解得 -1＜x＜3.
故当 x（ , -1）时，f(x)是增函数，当 x
（3, ）时，f(x)也是增函数，
但当 x（-1 ，3）时，f(x)是减函数.
（20）（本小题满分 12 分）
如图，在正四棱柱
ABCD A B C D
1
1 1
1
中，
AB
1,
BB
1
3 1
， E 为 1BB 上使 1
B E 的点。
1
平面
AEC 交 1DD 于 F ，交 1
1A D 的延长线于G ，求：
1
（Ⅰ）异面直线 AD 与 1C G 所成角的大小；
（Ⅱ）二面角
A C G A
1
的正切值；
1
解法一：（Ⅰ）由
//AD D G
1
知
C GD
1
1
为异面直线 AD 与 1C G 所成角．（如图 1）
连接 1C F ．因为ＡＥ和 1C F 分别是平行平面
ABB A CC D D
和
1 1
1
1
与平面AEC G的交线 ，
1
3.
1
FDA D G
6
所以 AE// 1C F ,由此得 1
D F BF
3.
FD G
再由
1
在
Rt C D G
1
1
中,由C D =1得 C GD
1
1 1
1
（Ⅱ）作 1
D H C G
1
于 H,由三垂线定理知
FH C G
1
,
故
D HF
1
为二面角F-C G-D
1
1
即二面角
A C G A
1
的平面角.
1
在
Rt HD G
1
中,由D G= 3
1
,
H
GD
1
6
得
D H
1
3
2
.
从而
tan
D HF
1
.
2
D F
1
D H
1
3
3
2
解法二：（Ⅰ）由
//AD D G
1
知
C GD
1
1
为异面直线 AD 与 1C G 所成角．（如图 2）
因为 1EC 和 AF 是平行平面 1
BB C
C与平面AA
1
D与平面AEC G的交线 ，
1
所以 1 //
EC AF ,由此得
AGA
1
EC B
1 1
AG AA
1
1
3 1
D G
1
3.
1
D1
4
,
在
Rt C D G
1
1
中,由C D =1得 C GD
1
1 1
1
6
, A GC = 知
1
1
6
4
AC G
1
1
（Ⅱ）
在
为钝角。
AC G
1
1
中,由 C A G=
1 1
作 1
A H GC GC
1
交 的延长线于 H,连接 AH，由三垂线定理知
1
GH AH
,
故
A HA
1
为二面角A-C G-A 的平面角.
1
1
在
Rt A HG
1
中,由A G= 3
1
1,
H
GA
1
6
得A
1
H
3 1
2
.
从而
tan
A HA
1
A A
1
A H
1
2
.
3 1
3 1
2
解法三：（Ⅰ）以 1A 为原点，A1B1，A1D1，A1A 所在直线分别为 x、y、z 轴建立如图 3 所示
的空间直角坐标系，于是，
(0,0, 3 1),
A
C
1
(1,1,0),
D
(0,1, 3 1),
E
(1,0,1),
AD
(0,1,0),
EC
1
(0,1, 1).
因为 1EC 和 AF 是平行平面
BB C
C和AA
1
1
D1
1
D与平面AEC G的交线 ，所以 1 //
EC AF ．设Ｇ（0,y,0）,则
1
AG
(0,
y
, 1
EC AG
1
//
3).
由
1
y
1
1
3
,于是
y
3 1
.
故
G
(0,1
3,0),
C G
1
( 1, 3,0)
.设异面直线 AD 与 1C G 所成的角的
大小为,则:
cos
AD C G
1
AD C G
1
3
2
,从而
.
6
（ Ⅱ ） 作 1
A H C G
1
H, 由 三 垂 线 定 理 知
GH AH
,
故
为二面角A-C G-A 的 平 面 角 . 设 H （ a,b,0 ） ,
1
1
A HA
1
C H
1
A H
则: 1
C H C G
1
1
( ,
a b
,0),
(
a
1,
b
1,0)
.由 1
A H C G
1
得:
0,
由此得a- 3b=0.……①
又由
H C G
,
,
1
共线得
,
C H C G
1
1
//
b
1
a
1
1
3
,于是
3
a b
( 3 1) 0.
……②
联立①②得:
a
3 3
4
,
b
3 1
4
.
H
故
(
3 3
4
,
3 1
4
)
,
A H
1
由
3
(
4
3
2
)
1
(
4
3
2
)
1
2
3
A A
1
,
1
3
得:
tan
A HA
1
A A
1
A H
1
2
.
3 1
3 1
2
（21）（本小题满分 12 分）
已知定义域为 R 的函数
( )
f x
x
2
1
x
2
b
a
是奇函数。
（Ⅰ）求 ,a b 的值；
（Ⅱ）若对任意的t R ，不等式 2
(
t
f
2 )
t
f
2
(2
t
k
) 0
恒成立，
求 k 的取值范围；
解：（Ⅰ）因为 ( )
f x 是奇函数，所以 ( )
f x =0，即
1
2
b
0
1
( )
f x
x
1 2
x
2
a
1
b
a
11
2
1
a
1
2
1 2
4
a
1 2
x
2 2
x
1
a
2.
又由 f（1）= -f（-1）知
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知
( )
f x
1
x
2
1
，易知 ( )
f x 在 (
上
)
,
为减函数。又因 ( )
f x 是奇函数，从而不等式：
f
2
(
t
2 )
t
f
2
(2
t
k
) 0
等价于 2
(
t
f
2 )
t
f
2
(2
t
k
)
(
f k
2
2 )
t
，因 ( )
f x 为减函数，由上式推得：
2
t
2
t
．即对一切t R 有： 23
t
2
t
k
2
从而判别式
4 12
k
0
k
，
0
k
2
t
1
3
.
解法二：由（Ⅰ）知
( )
f x
x
1 2
x
2 2
．又由题设条件得：
1
1 2
t
2 2
2
t
2
t
2
2 1
t
1 2
2
2 2
2
2
t
k
2
t
1
k
0
，
即 ：
2
2
t
1
k
(2
2)(1 2
2
t
2
t
)
t
(2
2
2 1
t
2)(1 2
2
2
t
k
) 0
，
整理得
23
t
2
因底数2>1,故: 23
2
t k
t
1,
2
t
k
0
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