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2006年重庆高考理科数学真题及答案.doc
2006 年重庆高考理科数学真题及答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是
符合题目要求的。
（1）已知集合
U
,7,6,5,4,3,2,1
A
,7,5,4,2
B
5,4,3
，则
B痧
U
A
(
U
)
＝（
）
（A） 6,1
（B）
5,4
（C）
7,5,4,3,2
（D）{
7,6,3,2,1
}
（2）在等差数列 na 中，若 4
a
a
6
， nS 是数列的 na 的前 n 项和，则 9S 的值为（
12
）
（A）48
(B)54
（3）过坐标原点且与圆 2
x
2
y
4
x
(C)60
5
2
2
y
（D）66
相切的直线方程为（
0
（A）
（C）
y
y
或
3
x
或
3
x
1
3
y
y
（B）
y
（D）
y
x
x
1
3
或
3
x
y
x
或
3
x
y
1
3
1
x
3
）
）
（4）对于任意的直线l 与平面，在平面内必有直线 m ，使 m 与l （
（A）平行
（B）相交
（C）垂直
（D）互为异面直线
（5）若
3
x
n
1
x
的展开式中各项系数之和为 64，则展开式的常数项为（
）
（A）－540
（B）－162
（C）162
（D）540
（6）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区 100 名年龄为 17.5 岁－18
岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如下：
根据上图可得这 100 名学生中体重在
5.64,5.56
的学生人数是（
）
（A）20
（7）与向量
a
（B）30
b
7 1
2 2
,
,
（C）40
（D）50
1
2
,
7
2
的夹角相等，且模为 1 的向量是（
）
4
5
3,
5
（A）
（B）
（8）将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习，每班至少 1 名，最多 2 名，则不同的
分配方案有（ ）
（D）
（C）
或
或
22
3
22
3
22
3
3,
5
1,
3
1,
3
4
5
3,
5
1,
3
4
5
（A）30 种
（B）90 种
（9）如图所示，单位圆中 AB 的长为 x ， ( )
（C）180 种
f x 表示弧 AB 与弦 AB 所围成的弓形
（D）270 种
面积的 2 倍，则函数
y
( )
f x
的图像是（
）
（10）若 ,
a b c 且 (
a a b c
0
,
)
bc
4 2 3,
则 2a b c
的最小值为（
）
（A） 3 1
（B） 3 1
（C） 2 3 2
（D） 2 3 2
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。把答案填写在答题卡相应位置上
（11）复数
的值是
。
1 2
i
3
3
i
1 3
2
2
n
(2
n
1)
n
1
（12）
lim
n
（ 13 ） 已 知
cos(
)
4
,
,sin
3
,
4
。
。
3
5
,
sin(
)
4
12
13
， 则
（ 14 ） 在 数 列 na 中 ， 若 1
a
1,
a
n
1
2
a
n
3(
n
， 则 该 数 列 的 通 项
1)
na
。
（15）设 0,
a
a
，函数
1
( )
f x
a
2
lg(
x
2
x
3)
有最大值，则不等式
log
a x
2
5
x
7
的
0
解集为
。
（16）已知变量 ,x y 满足约束条件1
若目标函数 z
4, 2
2.
x
y
x
y
中 0
a ）仅在点
3,1 处取得最大值，则 a 的取值范围为
ax
（其
y
。
三、解答题：三大题共 6 小题，共 76 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分 13 分）
设函数
( )
f x
3 cos
2
x
sin
在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为
（I）求的值。
（其中
0,
），且 ( )
f x 的图象
R
xcos x
6
。
（II）如果 ( )
f x 在区间
5,
3 6
上的最小值为 3 ，求的值。
（18）（本小题满分 13 分）
某大夏的一部电梯从底层出发后只能在第 18、19、20 层可以停靠。若该电梯在底层
载有 5 位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为
1
3
，用表示这 5 位乘客在
第 20 层下电梯的人数，求：
（I）随机变量的分布列;
（II）随机变量的期望;
（19）（本小题满分 13 分）
AD CD
如图，在四棱锥 P ABCD
,
AB
角， //AB CD ,
2
中， PA 底面 ABCD， DAB
E、F 分别为 PC 、CD 中点。
为直
（I）试证：CD 平面 BEF ;
（II）高 PA k AB
，且二面角 E BD C
的平面角大小30 ，
求 k 的取值范围。
（20）（本小题满分 13 分）
已知函数
( )
f x
2
x
bx
c e
2
，其中 ,b c R 为常数。
（I）若 2
b
4
c
（II）若 2
b
4(
c
1
，讨论函数 ( )
f x 的单调性；
( )
f x
x
1)
，且
lim
x
4
c
，试证： 6
2b
（21）（本小题满分 12 分）
已知定义域为 R 的函数 ( )
f x 满足
f
( )
f x
2
x
x
( )
f x
2
x
.
x
（I）若 (2) 3
，求 (1)
f
f
;又若 (0)
f
a ，求 ( )
f a ;
(
（II）设有且仅有一个实数 0x ，使得 0
f x
)
x ，求函数 ( )
f x 的解析表达式
0
（22）（本小题满分 12 分）
已知一列椭圆
c
n
:
2
x
2
y
2
b
n
1,0
b
n
。 1,2
1
n ……。
若椭圆 nC 上有一点 nP ，使 nP 到右准线 nl 的距离 nd 是
np F 与
n
nP G 的等差中项，其中 nF 、 nG 分别是 nC 的左、右焦点。
n
（I）试证：
nb
3
2
1n
;
3
（II）取
b
n
2
n
n
S
证： 1
S 且
2
S
n
S
1
n
2
3n
，并用 nS 表示 n
P F G
n
n
的面积，试
2006 年重庆高考理科数学真题参考答案
一、选择题：每小题 5 分，满分 50 分。
题号
答案
1
D
（1）已知集合
U
2
3
A
B
,7,6,5,4,3,2,1
4
C
5
A
A
,7,5,4,2
B
6
C
5,4,3
7
B
8
B
9
D
10
D
， U Að
={1，3，6}， U Bð
={1，
A
B痧
U
2，6，7}，则
（2）在等差数列 na 中，若 4
a
(
)
U
＝{1，2，3，6，7}，选 D.
a
6
12
，则 5
a ， nS 是数列的 na 的前 n项和，则
6
9S =
9(
a
1
a
9
)
2
9
a
5
=54，选 B.
（3）过坐标原点的直线为 y
kx ，与圆 2
x
2
y
4
x
2
y
相切，则圆心(2，－1)
0
5
2
到直线方程的距离等于半径
10
2
，则
1|
| 2
k
2
1
k
10
2
，解得
k
1或
3
k
，∴ 切线方
3
程为
y
或
3
x
y
x
，选 A.
1
3
（4）对于任意的直线 l 与平面，若l 在平面α内，则存在直线 m⊥ l ；若l 不在平面
α内，且l ⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于l ，若l 不在平面α内，且l 于α不垂直，
则它的射影在平面α内为一条直线，在平面内必有直线 m 垂直于它的射影，则 m 与l 垂
直，综上所述，选 C.
（5）若
3
x
n
1
x
的展开式中各项系数之和为 2n =64， 6
n ，则展开式的常数项
为 3
C
6
(3
3
x
)
(
1
x
3
)
=－540，选 A.
（6）为了了解某地区高三学生的身体发
育情况，抽查了该地区 100 名年龄为 17.5
岁－18 岁的男生体重（kg），得到频率分
布直方图如下：根据该图可知，组距=2，
得这 100 名学生中体重在
5.64,5.56
的
学 生 人 数 所 占 的 频 率 为
(0.03+0.05+0.05+0.07)× 2=0.4，所以
该段学生的人数是 40，选 C.
（7）与向量
a
b
,
7 1
2 2
,
1
2
,
7
2
的夹角相等，且模为 1 的向量为(x，y)，则
1
7
2
y
y
2
x
1
2
x
2
1
2
x
，解得
7
2
y
x
4
5
3
y
5
或
4
x
5
3
5
y
，选 B.
（8）将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习，每班至少 1 名，最多 2 名，则将
5 名教师分成三组，一组 1 人，另两组都是 2 人，有
2
4
1
C C
5
2
A
2
种方法，再将 3 组分到 3
15
个班，共有
15
3
A
3
种不同的分配方案，选 B.
90
（9）如图所示，单位圆中 AB 的长为 x ， ( )
f x 表示弧 AB 与弦 AB 所围成的弓形面积的 2
倍，当 AB 的长小于半圆时，函数
y
( )
f x
的值增加的越来越快，当 AB 的长大于半圆时，
函数
y
( )
f x
的值增加的越来越慢，所以函数
y
( )
f x
的图像是 D.
（ 10 ） 若 ,
a b c 且 (
0
,
4 2 3
2
a
ab ac bc
∴
(2 3 2)
2
≤
(2
)
a b c
)
bc
所 以 2
a
4 2 3,
a a b c
1
4
，则( 2a b c
1
4
)≥ 2 3 2 ，选 D.
2 )
bc
ab
ac
bc
(4
≤
4
4
2
a
2
2
ab ac bc
4 2 3
，
(4
2
a
4
ab
4
ac
2
bc b
2
2
c
)
二、填空题：每小题 4 分，满分 24 分。
（14） 12
n
3
（12）
1
2
（16） 1a
（13）
56
65
(1 2 )(3
i
10
i
)
i
1 7
10
。
n
1
1)
lim
n
2
2
n
2
n
n
1
2
1
。
i
7
1
10 10
2,3
1 2
1 2
i
i
3
3
3
i
i
1 3
(2
2
2
n
n
=
（11）
（15）
（11）复数
（12）
lim
n
（13）已知
,
3
,
4
3
)
4
2 4
(
,
,sin
3
5
,
sin(
)
4
，
12
13
3(
2
,2 )
，
，∴
cos(
)
，
4
5
cos(
)
4
，
5
13
cos(
则
)
4
cos[(
5
4
5
13
(
=
)
(
)
(
3 12
)
5 13
)]
4
)cos(
=cos(
56
65
)
4
sin(
)sin(
)
4
（14）在数列 na 中，若 1
a
1,
a
n
1
2
a
n
3(
n
1)
，∴ 1 3 2(
a
n
a
n
3)(
n
，即
1)
{
3na }是以 1 3 4
a 为首项，2 为公比的等比数列，
na
3 4 2
n
1
n
1
2
，所以该数列
的通项 na
12
n .
3
（15）设 0,
a
a
，函数
1
( )
f x
a
2
lg(
x
2
x
3)
有最大值，∵
2
lg(
x
2
x
∴ 0
（II)由（I）知,f(x)=sin(x+
又当
x
故
1
2
sin(
x
从而 在
( )
f x
,
) 1,
5
3 6
3
5
,
3 6
1
2
因此，由题 设知
)
3
3
3
2
0,
7
6
,
x
时，
上取得最小值
1
2
3
2
3
2
3.
故
3 1
2
（18）（本小题 13 分）
解：（1）的所有可能值为 0，1，2，3，4，5。
由等可能性事件的概率公式得
P
(
0)
P
(
2)
P
(
4)
从而，的分布列为
32
243
3
2
2
5
2
5
3
2
C
5
5
3
4
C
5
5
3
80
243
10
243
. (
P
1)
4
2
2
2
1
C
5
5
3
3
C
5
5
3
80
243
.
40
243
. (
P
3)
(
P
5)
1
5
3
1
243
P
0
32
243
1
80
243
2
80
243
3
40
243
4
10
243
5
1
243
（II）由（I）得的期望为
80
243
2
80
243
3
40
243
4
10
243
5
1
243
0
E
1
32
243
5
3
405
243
（19）（本小题 13 分）
（I）证：由已知 //DF AB
且 DAB
为直角。故 ABFD 是矩形。从而CD BF
。
又 PB 底面 ABCD， CD AD
PC、CD 的中点，故 EF//PD,从而CD EF
.
CD PD
，由此得CD 面 BEF。
D PDC
，故由三垂线定理知
中,E、F 分别为
（II）连接 AC 交 BF 于 G，易知 G 为 AC 的中点，连接 EG，则在 PAC
中易知 EG//PA。
又因 PA 底面 ABCD，故 EG 底面 ABCD。在底面 ABCD 中，过 G 作 GH BD。垂足为 H，连接
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