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教你理解傅里叶变换-一天征服傅里叶变换.pdf

发布时间：2022-06-08 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.51M 资料格式：pdf 举报 版权申诉
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    一天征服傅里叶变换 一天征服傅里叶变换 一天征服傅里叶变换 一天征服傅里叶变换 我赞同这点。。。。当然当然当然当然，，，，没有反覆实践和钻研数学 无疑会说这个标题是太夸张了。。。。我赞同这点 如果你对信号处理感兴趣，，，，无疑会说这个标题是太夸张了 如果你对信号处理感兴趣 没有反覆实践和钻研数学，，，， 没有反覆实践和钻研数学 我赞同这点 无疑会说这个标题是太夸张了 如果你对信号处理感兴趣 如果你对信号处理感兴趣 无疑会说这个标题是太夸张了 我赞同这点 没有反覆实践和钻研数学 无论如何, 这个在线课程将提供给您怎样进行傅立叶变换运 您无法在一天里学会傅立叶变换的方方面面。。。。无论如何 您无法在一天里学会傅立叶变换的方方面面 这个在线课程将提供给您怎样进行傅立叶变换运 无论如何无论如何 您无法在一天里学会傅立叶变换的方方面面 您无法在一天里学会傅立叶变换的方方面面 这个在线课程将提供给您怎样进行傅立叶变换运 这个在线课程将提供给您怎样进行傅立叶变换运 能有效和能非常简单地领会的原因是我们使用了一种不太传统的逼近。。。。重要的是你将学习 算的基本知识。。。。能有效和能非常简单地领会的原因是我们使用了一种不太传统的逼近 算的基本知识 重要的是你将学习 能有效和能非常简单地领会的原因是我们使用了一种不太传统的逼近 算的基本知识 算的基本知识 能有效和能非常简单地领会的原因是我们使用了一种不太传统的逼近 重要的是你将学习 重要的是你将学习 傅立叶变换的要素而完全不用超过加法和乘法的数学计算! 我将设法在不超过以下六节里解释在对音像信 傅立叶变换的要素而完全不用超过加法和乘法的数学计算 我将设法在不超过以下六节里解释在对音像信 傅立叶变换的要素而完全不用超过加法和乘法的数学计算 傅立叶变换的要素而完全不用超过加法和乘法的数学计算 我将设法在不超过以下六节里解释在对音像信 我将设法在不超过以下六节里解释在对音像信 号处理中傅立叶变换的实际应用。。。。 号处理中傅立叶变换的实际应用 号处理中傅立叶变换的实际应用 号处理中傅立叶变换的实际应用 步骤步骤步骤步骤 1: 一些简单的前提 一些简单的前提 一些简单的前提 一些简单的前提 您需要理解以下四件最基本的事情: 加法加法加法加法，，，，乘乘乘乘、、、、除除除除法法法法。。。。什么是正弦 什么是正弦，，，，余弦和正弦信号 在下面在下面在下面在下面，，，，您需要理解以下四件最基本的事情 余弦和正弦信号。。。。明显明显明显明显 余弦和正弦信号 什么是正弦 您需要理解以下四件最基本的事情 您需要理解以下四件最基本的事情 什么是正弦 余弦和正弦信号 三角函数”[1]，，，，它神秘地用于 您大概还记得您在学校学过的“三角函数 我将跳第一二件事和将解释位最后一个。。。。您大概还记得您在学校学过的 地地地地，，，，我将跳第一二件事和将解释位最后一个 它神秘地用于 三角函数三角函数 您大概还记得您在学校学过的 我将跳第一二件事和将解释位最后一个 我将跳第一二件事和将解释位最后一个 您大概还记得您在学校学过的 它神秘地用于 它神秘地用于 我们这里不需要所有这些事，，，，我们只需要知道二个 反之亦然。。。。我们这里不需要所有这些事 与角度一起从它们的内角计算它们的边长，，，，反之亦然 与角度一起从它们的内角计算它们的边长 我们只需要知道二个 我们这里不需要所有这些事 反之亦然反之亦然 与角度一起从它们的内角计算它们的边长 与角度一起从它们的内角计算它们的边长 我们这里不需要所有这些事 我们只需要知道二个 我们只需要知道二个 这相当简单: 他们看起来象是以峰顶和谷组成的从观 最重要的三角函数，，，，"正弦正弦正弦正弦" 和和和和"余弦余弦余弦余弦" 的外表特征 的外表特征。。。。这相当简单 最重要的三角函数 他们看起来象是以峰顶和谷组成的从观 这相当简单 的外表特征 最重要的三角函数 最重要的三角函数 的外表特征 这相当简单 他们看起来象是以峰顶和谷组成的从观 他们看起来象是以峰顶和谷组成的从观 察点向左右无限伸展的非常简单的波浪。。。。 察点向左右无限伸展的非常简单的波浪 察点向左右无限伸展的非常简单的波浪 察点向左右无限伸展的非常简单的波浪 （（（（附图一附图一附图一附图一）））） The sine wave The cosine wave 周期之后，，，，它们看起来再次一样 这意味着在一定的时间、、、、周期之后 这两种波形是周期性的，，，，这意味着在一定的时间 如同你所知道的，，，，这两种波形是周期性的 如同你所知道的 它们看起来再次一样。。。。 它们看起来再次一样 周期之后周期之后 这意味着在一定的时间 这两种波形是周期性的 如同你所知道的 如同你所知道的 这两种波形是周期性的 这意味着在一定的时间 它们看起来再次一样 在实践中，，，，我们如何判定我 但当正弦波在零点开始时余弦波开始出现在最大值值值值。。。。在实践中 两种波形看起来也很象，，，，但当正弦波在零点开始时余弦波开始出现在最大 两种波形看起来也很象 我们如何判定我 在实践中在实践中 但当正弦波在零点开始时余弦波开始出现在最大 两种波形看起来也很象 两种波形看起来也很象 但当正弦波在零点开始时余弦波开始出现在最大 我们如何判定我 我们如何判定我 们在一个给定时间所观测到的波形是开始在它的最大值或在零? 问的好问的好问的好问的好: 我们不能 我们不能。。。。实践上没有办法区分 们在一个给定时间所观测到的波形是开始在它的最大值或在零 实践上没有办法区分 我们不能我们不能 们在一个给定时间所观测到的波形是开始在它的最大值或在零 们在一个给定时间所观测到的波形是开始在它的最大值或在零 实践上没有办法区分 实践上没有办法区分 在希腊语中译作"正弦类正弦类正弦类正弦类"。。。。正弦波的 因此看起来象正弦或余弦波的我们统称为正弦波，，，，在希腊语中译作 正弦波和余弦波，，，，因此看起来象正弦或余弦波的我们统称为正弦波 正弦波和余弦波 正弦波的 在希腊语中译作 因此看起来象正弦或余弦波的我们统称为正弦波 正弦波和余弦波 正弦波和余弦波 因此看起来象正弦或余弦波的我们统称为正弦波 在希腊语中译作 正弦波的正弦波的 一个重要性质是"频率频率频率频率"。。。。它告诉我们在一个给定的时间内有多少个波峰和波谷 它告诉我们在一个给定的时间内有多少个波峰和波谷。。。。高频意味许多波峰和波谷 一个重要性质是 高频意味许多波峰和波谷，，，， 高频意味许多波峰和波谷 它告诉我们在一个给定的时间内有多少个波峰和波谷 一个重要性质是 一个重要性质是 它告诉我们在一个给定的时间内有多少个波峰和波谷 高频意味许多波峰和波谷 低频率意味少量波峰和波谷: 低频率意味少量波峰和波谷 低频率意味少量波峰和波谷 低频率意味少量波峰和波谷
    （（（（附图二附图二附图二附图二）））） Low frequency sinusoid Middle frequency sinusoid High frequency sinusoid 步骤步骤步骤步骤 2: 了解傅立叶定理 了解傅立叶定理 了解傅立叶定理 了解傅立叶定理 Jean-Baptiste Joseph Fourier 是孩子们中让父母感到骄傲和惭愧的的一个 是孩子们中让父母感到骄傲和惭愧的的一个，，，，因为他十四岁时就开始对他们 因为他十四岁时就开始对他们 是孩子们中让父母感到骄傲和惭愧的的一个 是孩子们中让父母感到骄傲和惭愧的的一个 因为他十四岁时就开始对他们 因为他十四岁时就开始对他们 他的一生中做了很多重要工作，，，，但最重大的发现可能是解决了材料热传导问题 说非常复杂的数学用语。。。。他的一生中做了很多重要工作 说非常复杂的数学用语 但最重大的发现可能是解决了材料热传导问题。。。。 但最重大的发现可能是解决了材料热传导问题 他的一生中做了很多重要工作 说非常复杂的数学用语 说非常复杂的数学用语 他的一生中做了很多重要工作 但最重大的发现可能是解决了材料热传导问题 即用三角函数的无穷级数来解决这个问题（（（（就是我们在 他推导出了描述热在某一媒介中如何传导的公式，，，，即用三角函数的无穷级数来解决这个问题 他推导出了描述热在某一媒介中如何传导的公式 就是我们在 即用三角函数的无穷级数来解决这个问题 他推导出了描述热在某一媒介中如何传导的公式 他推导出了描述热在某一媒介中如何传导的公式 即用三角函数的无穷级数来解决这个问题 就是我们在 就是我们在 主要和我们话题有关的是：：：：傅里叶的发现总结成一般规律就是任意复杂 余弦函数）。）。）。）。主要和我们话题有关的是 上面讨论过的正弦、、、、余弦函数 上面讨论过的正弦 傅里叶的发现总结成一般规律就是任意复杂 主要和我们话题有关的是 余弦函数余弦函数 上面讨论过的正弦 上面讨论过的正弦 主要和我们话题有关的是 傅里叶的发现总结成一般规律就是任意复杂 傅里叶的发现总结成一般规律就是任意复杂 的信号都能由一个个混合在一起的正弦函数的和来表示。。。。 的信号都能由一个个混合在一起的正弦函数的和来表示 的信号都能由一个个混合在一起的正弦函数的和来表示 的信号都能由一个个混合在一起的正弦函数的和来表示 这是一个例子：：：： 这是一个例子 这是一个例子 这是一个例子 This is our original One sine Two sines Four sines Seven sines Fourteen sines （（（（附图三附图三附图三附图三））））
    以及如何按某一确定的关系（（（（“配方配方配方配方”））））混合在一起的正弦函数混 在这里你看到的是一个原始的信号 在这里你看到的是一个原始的信号，，，，以及如何按某一确定的关系 混合在一起的正弦函数混 以及如何按某一确定的关系 在这里你看到的是一个原始的信号 在这里你看到的是一个原始的信号 以及如何按某一确定的关系 混合在一起的正弦函数混 混合在一起的正弦函数混 如你所知，，，，我们用的正弦函数愈多 我们将简略地谈论一下那份配方。。。。如你所知 我们称它们为分量为分量为分量为分量））））所逼近所逼近所逼近所逼近。。。。我们将简略地谈论一下那份配方 合物合物合物合物（（（（我们称它们 我们用的正弦函数愈多 如你所知如你所知 我们将简略地谈论一下那份配方 我们称它们 我们称它们 我们将简略地谈论一下那份配方 我们用的正弦函数愈多 我们用的正弦函数愈多 其结果就愈精确地接近我们的原始信号波形。。。。在在在在“现实现实现实现实”世界中世界中世界中世界中，，，，在信号连续的地方 在信号连续的地方，，，，即你能以无穷小的间 其结果就愈精确地接近我们的原始信号波形 即你能以无穷小的间 在信号连续的地方 其结果就愈精确地接近我们的原始信号波形 其结果就愈精确地接近我们的原始信号波形 在信号连续的地方 即你能以无穷小的间 即你能以无穷小的间 精度仅受你的测试设备限制，，，，你需要无限多的正弦函数才能完美地建立任意一个给定的信 隔来测量它们，，，，精度仅受你的测试设备限制 隔来测量它们 你需要无限多的正弦函数才能完美地建立任意一个给定的信 精度仅受你的测试设备限制 隔来测量它们 隔来测量它们 精度仅受你的测试设备限制 你需要无限多的正弦函数才能完美地建立任意一个给定的信 你需要无限多的正弦函数才能完美地建立任意一个给定的信 我们不是生活在那样的世界。。。。相反相反相反相反，，，，我们将处理仅以有限精度 和数字信号处理者们一样，，，，我们不是生活在那样的世界 幸运地是，，，，和数字信号处理者们一样 号号号号。。。。幸运地是 我们将处理仅以有限精度 我们不是生活在那样的世界 和数字信号处理者们一样 幸运地是幸运地是 和数字信号处理者们一样 我们不是生活在那样的世界 我们将处理仅以有限精度 我们将处理仅以有限精度 我们不需要无限多地正弦函数，，，，我们只需要非常多 每隔一定间隔被测量的现实世界的采样信号。。。。因而因而因而因而，，，，我们不需要无限多地正弦函数 每隔一定间隔被测量的现实世界的采样信号 我们只需要非常多。。。。 我们只需要非常多 我们不需要无限多地正弦函数 每隔一定间隔被测量的现实世界的采样信号 每隔一定间隔被测量的现实世界的采样信号 我们不需要无限多地正弦函数 我们只需要非常多 稍后我们也将讨论这个“非常多非常多非常多非常多”是多少是多少是多少是多少。。。。目前重要的一点是你能够想象 目前重要的一点是你能够想象，，，，任意一个在你计算机上的信号 稍后我们也将讨论这个 任意一个在你计算机上的信号，，，， 任意一个在你计算机上的信号 目前重要的一点是你能够想象 稍后我们也将讨论这个 稍后我们也将讨论这个 目前重要的一点是你能够想象 任意一个在你计算机上的信号 都能用简单正弦波按配方组成。。。。 都能用简单正弦波按配方组成 都能用简单正弦波按配方组成 都能用简单正弦波按配方组成 步骤步骤步骤步骤 3: “非常多非常多非常多非常多”是多少是多少是多少是多少 复杂形状的波形能由混合在一起的正弦波所建立。。。。我们也许要问需要多少正弦波来 正如我们所知道的，，，，复杂形状的波形能由混合在一起的正弦波所建立 正如我们所知道的 我们也许要问需要多少正弦波来 复杂形状的波形能由混合在一起的正弦波所建立 正如我们所知道的 正如我们所知道的 复杂形状的波形能由混合在一起的正弦波所建立 我们也许要问需要多少正弦波来 我们也许要问需要多少正弦波来 倘若我们知道正在处理的信号是如何组成的，，，，这可能至少是 构造任意一个在计算机上给定的信号。。。。当然当然当然当然，，，，倘若我们知道正在处理的信号是如何组成的 构造任意一个在计算机上给定的信号 这可能至少是 倘若我们知道正在处理的信号是如何组成的 构造任意一个在计算机上给定的信号 构造任意一个在计算机上给定的信号 倘若我们知道正在处理的信号是如何组成的 这可能至少是 这可能至少是 我们处理的现实世界的信号可能有非常复杂的结构，，，，以至于我们不能深 在许多情况下，，，，我们处理的现实世界的信号可能有非常复杂的结构 一个单个正弦波。。。。在许多情况下 一个单个正弦波 以至于我们不能深 我们处理的现实世界的信号可能有非常复杂的结构 在许多情况下 一个单个正弦波 一个单个正弦波 在许多情况下 我们处理的现实世界的信号可能有非常复杂的结构 以至于我们不能深 以至于我们不能深 入知道实际上有多少“分量分量分量分量”波存在波存在波存在波存在。。。。在这种情况下 在这种情况下，，，，即使我们无法知道原始的信号是由多少个正弦波来构 入知道实际上有多少 即使我们无法知道原始的信号是由多少个正弦波来构 在这种情况下 入知道实际上有多少 入知道实际上有多少 在这种情况下 即使我们无法知道原始的信号是由多少个正弦波来构 即使我们无法知道原始的信号是由多少个正弦波来构 实际上没解决有多少的问题。。。。让我们试 尽管如此，，，，这这这这实际上没解决有多少的问题 肯定存在一个我们将需要多少正弦波的上限。。。。尽管如此 成的成的成的成的，，，，肯定存在一个我们将需要多少正弦波的上限 让我们试 实际上没解决有多少的问题 尽管如此尽管如此 肯定存在一个我们将需要多少正弦波的上限 肯定存在一个我们将需要多少正弦波的上限 实际上没解决有多少的问题 让我们试让我们试 假设一个信号我们有 1000 个样采个样采个样采个样采，，，，可能存在的最短周期正弦波 着来直观地逼近它: 假设一个信号我们有 可能存在的最短周期正弦波（（（（即多数波峰波谷在其 着来直观地逼近它 即多数波峰波谷在其 可能存在的最短周期正弦波 假设一个信号我们有 着来直观地逼近它 着来直观地逼近它 假设一个信号我们有 可能存在的最短周期正弦波 即多数波峰波谷在其 即多数波峰波谷在其 个波峰和 500 个波谷在我 最高频率的正弦波将有 500 个波峰和 以交替的波峰波谷分布在每个采样内。。。。因此因此因此因此，，，，最高频率的正弦波将有 中中中中））））以交替的波峰波谷分布在每个采样内 个波谷在我 个波峰和个波峰和 最高频率的正弦波将有 以交替的波峰波谷分布在每个采样内 以交替的波峰波谷分布在每个采样内 最高频率的正弦波将有 个波谷在我 个波谷在我 们的们的们的们的 1000 个采样中 下图中的黑点表示我们的采样，，，，所以所以所以所以，，，，最高频率的正弦波 且每隔一个采样是波峰。。。。下图中的黑点表示我们的采样 个采样中，，，，且每隔一个采样是波峰 最高频率的正弦波 下图中的黑点表示我们的采样 且每隔一个采样是波峰 个采样中个采样中 且每隔一个采样是波峰 下图中的黑点表示我们的采样 最高频率的正弦波 最高频率的正弦波 以看起来象这样: 以看起来象这样 以看起来象这样 以看起来象这样 （（（（附图四附图四附图四附图四）））） The highest frequency sine wave 如果我们只给一个单独的采样点，，，，我们将如何能测 现在让我们来看一下最低频率正弦波可能多么低。。。。如果我们只给一个单独的采样点 现在让我们来看一下最低频率正弦波可能多么低 我们将如何能测 如果我们只给一个单独的采样点 现在让我们来看一下最低频率正弦波可能多么低 现在让我们来看一下最低频率正弦波可能多么低 如果我们只给一个单独的采样点 我们将如何能测 我们将如何能测 量穿过这点的正弦波的峰顶和谷? 我们做不到 因为有许多不同周期正弦波穿过这点。。。。 我们做不到，，，，因为有许多不同周期正弦波穿过这点 量穿过这点的正弦波的峰顶和谷 因为有许多不同周期正弦波穿过这点 我们做不到 量穿过这点的正弦波的峰顶和谷 量穿过这点的正弦波的峰顶和谷 我们做不到 因为有许多不同周期正弦波穿过这点
    （（（（附图五附图五附图五附图五）））） 如果我们有两个采样，，，，那么穿过这 一个单独数据点不足以告诉我们关于频率的任何事。。。。现在现在现在现在，，，，如果我们有两个采样 所以所以所以所以，，，，一个单独数据点不足以告诉我们关于频率的任何事 那么穿过这 如果我们有两个采样 一个单独数据点不足以告诉我们关于频率的任何事 一个单独数据点不足以告诉我们关于频率的任何事 如果我们有两个采样 那么穿过这 那么穿过这 在这种情况下它很常简单。。。。只有一个穿过这两点的非常低频率的正弦 两点的正弦波的最低频率是什么？？？？在这种情况下它很常简单 两点的正弦波的最低频率是什么 只有一个穿过这两点的非常低频率的正弦 在这种情况下它很常简单 两点的正弦波的最低频率是什么 两点的正弦波的最低频率是什么 在这种情况下它很常简单 只有一个穿过这两点的非常低频率的正弦 只有一个穿过这两点的非常低频率的正弦 它看起来向这样：：：： 波波波波。。。。它看起来向这样 它看起来向这样 它看起来向这样 The lowest frequency sine wave （（（（附图六附图六附图六附图六）））） 的两个点是二个钉子和一个跨越它们之间的弦（（（（图六描述三个数据点是因为正弦波的周期 想象最左面的两个点是二个钉子和一个跨越它们之间的弦 想象最左面 图六描述三个数据点是因为正弦波的周期 的两个点是二个钉子和一个跨越它们之间的弦 想象最左面 想象最左面 的两个点是二个钉子和一个跨越它们之间的弦 图六描述三个数据点是因为正弦波的周期 图六描述三个数据点是因为正弦波的周期 但我们实际上只需要最左面的两点说明它的频率）。）。）。）。我们能领会的最低的频率是来回地摆动在二个钉 性性性性，，，，但我们实际上只需要最左面的两点说明它的频率 我们能领会的最低的频率是来回地摆动在二个钉 但我们实际上只需要最左面的两点说明它的频率 但我们实际上只需要最左面的两点说明它的频率 我们能领会的最低的频率是来回地摆动在二个钉 我们能领会的最低的频率是来回地摆动在二个钉 如果我们有 1000 个采样个采样个采样个采样，，，，那么两个 那么两个“钉子钉子钉子钉子”相当相当相当相当 象是图六中左边两点之间的正弦波所做的。。。。如果我们有 子之间的弦，，，，象是图六中左边两点之间的正弦波所做的 子之间的弦 那么两个那么两个 如果我们有 象是图六中左边两点之间的正弦波所做的 子之间的弦 子之间的弦 象是图六中左边两点之间的正弦波所做的 如果我们有 号采样和 1000 号采样号采样号采样号采样。。。。从对乐器的体验我们知道 于第一个或最后的采样，，，，比如比如比如比如 1 号采样和 从对乐器的体验我们知道，，，，当长度增加时弦的频 于第一个或最后的采样 当长度增加时弦的频 从对乐器的体验我们知道 号采样和号采样和 于第一个或最后的采样 于第一个或最后的采样 从对乐器的体验我们知道 当长度增加时弦的频 当长度增加时弦的频 当我们将两个钉子向彼此远离的方向移开时，，，，最小正弦波的频率将变得更 所以我们可以想象，，，，当我们将两个钉子向彼此远离的方向移开时 率将下降。。。。所以我们可以想象 率将下降 最小正弦波的频率将变得更 当我们将两个钉子向彼此远离的方向移开时 所以我们可以想象 率将下降率将下降 所以我们可以想象 当我们将两个钉子向彼此远离的方向移开时 最小正弦波的频率将变得更 最小正弦波的频率将变得更 因为我们的“钉子钉子钉子钉子”，，，，在在在在 1 号或号或号或号或 2000 号采样间 如果我们选择 2000 个采样个采样个采样个采样，，，，因为我们的 号采样间，，，，所以最低正弦波将 低低低低。。。。例如例如例如例如，，，，如果我们选择 所以最低正弦波将 号采样间号采样间 因为我们的 如果我们选择 如果我们选择 因为我们的 所以最低正弦波将 所以最低正弦波将 因为因为我们的钉子比 1000 个采样时远两倍 个采样时远两倍。。。。这样这样这样这样，，，，如果我们有更多的采 它将低两倍，，，，因为因为我们的钉子比 更低更低更低更低。。。。事实上事实上事实上事实上，，，，它将低两倍 如果我们有更多的采 个采样时远两倍 因为因为我们的钉子比 它将低两倍 它将低两倍 因为因为我们的钉子比 个采样时远两倍 如果我们有更多的采 如果我们有更多的采 因为它们的零交叉点（（（（我们的我们的我们的我们的“钉子钉子钉子钉子”））））将移动得更远 我们将能辨别出一个更低频率的正弦波，，，，因为它们的零交叉点 样样样样，，，，我们将能辨别出一个更低频率的正弦波 将移动得更远。。。。这对这对这对这对 将移动得更远 因为它们的零交叉点 我们将能辨别出一个更低频率的正弦波 我们将能辨别出一个更低频率的正弦波 因为它们的零交叉点 将移动得更远 了解下面的解释是非常重要的。。。。 了解下面的解释是非常重要的 了解下面的解释是非常重要的 了解下面的解释是非常重要的 象我们看到的那样，，，，在两个在两个在两个在两个“钉子钉子钉子钉子”之后之后之后之后，，，，我们的波形开始重复上升斜坡 我们的波形开始重复上升斜坡（（（（第一个钉子和第三个钉子同 象我们看到的那样 第一个钉子和第三个钉子同 我们的波形开始重复上升斜坡 象我们看到的那样 象我们看到的那样 我们的波形开始重复上升斜坡 第一个钉子和第三个钉子同 第一个钉子和第三个钉子同 换句话说一个峰或一个谷或半个周期。。。。 这意味着任意两个相邻的钉子准确地包含完整正弦波的一半，，，，换句话说一个峰或一个谷或半个周期 样样样样）。）。）。）。这意味着任意两个相邻的钉子准确地包含完整正弦波的一半 换句话说一个峰或一个谷或半个周期 这意味着任意两个相邻的钉子准确地包含完整正弦波的一半 这意味着任意两个相邻的钉子准确地包含完整正弦波的一半 换句话说一个峰或一个谷或半个周期 一个采样正弦波的上限频率是所有其它有一个波峰和波谷的 我们知道，，，，一个采样正弦波的上限频率 概括一下我们刚学过的东西，，，，我们知道 概括一下我们刚学过的东西 是所有其它有一个波峰和波谷的 一个采样正弦波的上限频率 我们知道我们知道 概括一下我们刚学过的东西 概括一下我们刚学过的东西 一个采样正弦波的上限频率 是所有其它有一个波峰和波谷的 是所有其它有一个波峰和波谷的 但等一下，，，，这难到不意味着 低频下限是我们看到的正好匹配采样数的正弦波的周期的一半。。。。但等一下 采样采样采样采样，，，，并且并且并且并且，，，，低频下限是我们看到的正好匹配采样数的正弦波的周期的一半 这难到不意味着，，，， 这难到不意味着 但等一下但等一下 低频下限是我们看到的正好匹配采样数的正弦波的周期的一半 低频下限是我们看到的正好匹配采样数的正弦波的周期的一半 这难到不意味着 确实如此! 结果我们将从一个低频开始增加 当有很多采样时最低频率可以降低？？？？确实如此 当上限频率保持固定时，，，，当有很多采样时最低频率可以降低 当上限频率保持固定时 结果我们将从一个低频开始增加 确实如此确实如此 当有很多采样时最低频率可以降低 当上限频率保持固定时 当上限频率保持固定时 当有很多采样时最低频率可以降低 结果我们将从一个低频开始增加 结果我们将从一个低频开始增加 更多正弦波来组成一个较长的未知内容的信号。。。。 更多正弦波来组成一个较长的未知内容的信号 更多正弦波来组成一个较长的未知内容的信号 更多正弦波来组成一个较长的未知内容的信号 但我们仍然不知道我们最终需要多少正弦波。。。。就象我们现在知道任意正弦波分量所能 一切都清楚了，，，，但我们仍然不知道我们最终需要多少正弦波 一切都清楚了 就象我们现在知道任意正弦波分量所能 但我们仍然不知道我们最终需要多少正弦波 一切都清楚了 一切都清楚了 但我们仍然不知道我们最终需要多少正弦波 就象我们现在知道任意正弦波分量所能 就象我们现在知道任意正弦波分量所能 我们能计算出适合这两个极限之间的量是多少。。。。既然我们沿着最左到最右的采样 具的有上下限频率一样，，，，我们能计算出适合这两个极限之间的量是多少 具的有上下限频率一样 既然我们沿着最左到最右的采样 我们能计算出适合这两个极限之间的量是多少 具的有上下限频率一样 具的有上下限频率一样 我们能计算出适合这两个极限之间的量是多少 既然我们沿着最左到最右的采样 既然我们沿着最左到最右的采样 我们要所有其它正弦波最好也使用这些钉子(为什么我们 要不同地对待他们? 所有所有所有所有 为什么我们要不同地对待他们 固定了最低正弦波分量，，，，我们要所有其它正弦波最好也使用这些钉子 固定了最低正弦波分量 要不同地对待他们 为什么我们 我们要所有其它正弦波最好也使用这些钉子 固定了最低正弦波分量 固定了最低正弦波分量 我们要所有其它正弦波最好也使用这些钉子 为什么我们 要不同地对待他们
    的正弦波被同等的创建！！！！)。。。。假设正弦波束是系在吉他上二个固定点的弦 它们能只摇摆在二个钉子之间(除除除除 假设正弦波束是系在吉他上二个固定点的弦。。。。它们能只摇摆在二个钉子之间 的正弦波被同等的创建 它们能只摇摆在二个钉子之间 假设正弦波束是系在吉他上二个固定点的弦 的正弦波被同等的创建 的正弦波被同等的创建 假设正弦波束是系在吉他上二个固定点的弦 它们能只摇摆在二个钉子之间 我们的最低分量（（（（1））））以以以以 1/2 周期装配 非他们断了)，，，，就象我们下图的正弦波 这导致如下关系，，，，我们的最低分量 就象我们下图的正弦波。。。。这导致如下关系 非他们断了 周期装配，，，，第二分第二分第二分第二分 周期装配周期装配 我们的最低分量 这导致如下关系 就象我们下图的正弦波 非他们断了 非他们断了 就象我们下图的正弦波 这导致如下关系 我们的最低分量 第三分量以 1 1/2 周期装配以此类推直到我们看到的 量量量量（（（（2））））以以以以 1 个周期装配 周期装配以此类推直到我们看到的 1000 个采样个采样个采样个采样。。。。形象地形象地形象地形象地, 看看看看 个周期装配，，，，第三分量以 周期装配以此类推直到我们看到的 第三分量以 个周期装配 个周期装配 第三分量以 周期装配以此类推直到我们看到的 起来象这: 起来象这 起来象这起来象这 （（（（附图七附图七附图七附图七）））） 如果我们算一下要多少正弦波以那种方法装配我们的 1000 个采样个采样个采样个采样，，，，就会发现我们精确地需要 现在现在现在现在，，，，如果我们算一下要多少正弦波以那种方法装配我们的 就会发现我们精确地需要 如果我们算一下要多少正弦波以那种方法装配我们的 如果我们算一下要多少正弦波以那种方法装配我们的 就会发现我们精确地需要 就会发现我们精确地需要 个正弦波叠加起来表示 1000 个采样个采样个采样个采样。。。。实际上实际上实际上实际上，，，，我们总是发现我们需要和采样一样多的正弦波 1000 个正弦波叠加起来表示 我们总是发现我们需要和采样一样多的正弦波。。。。 我们总是发现我们需要和采样一样多的正弦波 个正弦波叠加起来表示 个正弦波叠加起来表示 我们总是发现我们需要和采样一样多的正弦波 步骤步骤步骤步骤 4 关于烹饪食谱 关于烹饪食谱 关于烹饪食谱 关于烹饪食谱 任一个给定的在计算机上的信号能被正弦波混合物来构造。。。。 我们考虑了他们 在前面的段落我们看到, 任一个给定的在计算机上的信号能被正弦波混合物来构造 在前面的段落我们看到 我们考虑了他们 任一个给定的在计算机上的信号能被正弦波混合物来构造 在前面的段落我们看到 在前面的段落我们看到 任一个给定的在计算机上的信号能被正弦波混合物来构造 我们考虑了他们 我们考虑了他们 并且考虑了需要多大的最低和最高频率的正弦波来完美地重建任一个我们所分析信号。。。。我们明白 的频率的频率的频率的频率，，，，并且考虑了需要多大的最低和最高频率的正弦波来完美地重建任一个我们所分析信号 我们明白 并且考虑了需要多大的最低和最高频率的正弦波来完美地重建任一个我们所分析信号 并且考虑了需要多大的最低和最高频率的正弦波来完美地重建任一个我们所分析信号 我们明白我们明白 我们考察的采样的数量是重要要要要，，，，但我们还未论述实际正弦波如何必需被 了为确定所需最低的正弦波分量，，，，我们考察的采样的数量是重 了为确定所需最低的正弦波分量 但我们还未论述实际正弦波如何必需被 我们考察的采样的数量是重 了为确定所需最低的正弦波分量 了为确定所需最低的正弦波分量 我们考察的采样的数量是重 但我们还未论述实际正弦波如何必需被 但我们还未论述实际正弦波如何必需被 由叠加正弦波组成任何指定的信号，，，，我们需要测量他们的另外一个方面 混合产生某一确定的结果。。。。由叠加正弦波组成任何指定的信号 混合产生某一确定的结果 我们需要测量他们的另外一个方面。。。。实际实际实际实际 我们需要测量他们的另外一个方面 由叠加正弦波组成任何指定的信号 混合产生某一确定的结果 混合产生某一确定的结果 由叠加正弦波组成任何指定的信号 我们需要测量他们的另外一个方面 我们还需要知道正弦波的幅度，，，，也就是说每个正弦波幅度有多高 频率不是我们需要知道的唯一的事。。。。我们还需要知道正弦波的幅度 上上上上，，，，频率不是我们需要知道的唯一的事 也就是说每个正弦波幅度有多高 我们还需要知道正弦波的幅度 频率不是我们需要知道的唯一的事 频率不是我们需要知道的唯一的事 我们还需要知道正弦波的幅度 也就是说每个正弦波幅度有多高 也就是说每个正弦波幅度有多高 高度是正弦波的峰顶的高度，，，，意即峰顶和零线之间距离 才能混合在一起产生我们需要的输入信号。。。。高度是正弦波的峰顶的高度 才能混合在一起产生我们需要的输入信号 意即峰顶和零线之间距离。。。。幅度幅度幅度幅度 意即峰顶和零线之间距离 高度是正弦波的峰顶的高度 才能混合在一起产生我们需要的输入信号 才能混合在一起产生我们需要的输入信号 高度是正弦波的峰顶的高度 意即峰顶和零线之间距离 如果您有一个含有许多低音的信号，，，，无疑可以预期混合体中的低 我们听到的声音也就赿大。。。。所以所以所以所以，，，，如果您有一个含有许多低音的信号 赿高赿高赿高赿高，，，，我们听到的声音也就赿大 无疑可以预期混合体中的低 如果您有一个含有许多低音的信号 我们听到的声音也就赿大 我们听到的声音也就赿大 如果您有一个含有许多低音的信号 无疑可以预期混合体中的低 无疑可以预期混合体中的低 因此一般情况下，，，，低音中的低频正弦波有一个比高频正弦 频率正弦波的分量比例比高频正弦波分量更大。。。。因此一般情况下 频率正弦波的分量比例比高频正弦波分量更大 低音中的低频正弦波有一个比高频正弦 因此一般情况下 频率正弦波的分量比例比高频正弦波分量更大 频率正弦波的分量比例比高频正弦波分量更大 因此一般情况下 低音中的低频正弦波有一个比高频正弦 低音中的低频正弦波有一个比高频正弦 我们将需要确定各个分量正弦波的幅度以完成我们的配方。。。。 在我们的分析中，，，，我们将需要确定各个分量正弦波的幅度以完成我们的配方 波更高的幅度。。。。在我们的分析中 波更高的幅度 我们将需要确定各个分量正弦波的幅度以完成我们的配方 在我们的分析中 波更高的幅度 波更高的幅度 在我们的分析中 我们将需要确定各个分量正弦波的幅度以完成我们的配方
    步骤步骤步骤步骤 5：：：：关于苹果和桔子 关于苹果和桔子 关于苹果和桔子 关于苹果和桔子 我们学了需要多少正弦波，，，，它的数量依 我们几乎完成了通向傅里叶变换的旅程。。。。我们学了需要多少正弦波 如果你一直跟着我，，，，我们几乎完成了通向傅里叶变换的旅程 如果你一直跟着我 它的数量依 我们学了需要多少正弦波 我们几乎完成了通向傅里叶变换的旅程 如果你一直跟着我 如果你一直跟着我 我们几乎完成了通向傅里叶变换的旅程 我们学了需要多少正弦波 它的数量依 它的数量依 赖于我们查看的采样的数量有一个频率上下限界，，，，并且不知道怎么确定单个分量的幅度以完成我们的配 赖于我们查看的采样的数量有一个频率上下限界 并且不知道怎么确定单个分量的幅度以完成我们的配 赖于我们查看的采样的数量有一个频率上下限界 赖于我们查看的采样的数量有一个频率上下限界 并且不知道怎么确定单个分量的幅度以完成我们的配 并且不知道怎么确定单个分量的幅度以完成我们的配 我们一直不清楚究竟如何从我们的采样来确定实际的配方。。。。直观上我们可以断定能找到正弦波的幅度 方方方方。。。。我们一直不清楚究竟如何从我们的采样来确定实际的配方 直观上我们可以断定能找到正弦波的幅度，，，， 直观上我们可以断定能找到正弦波的幅度 我们一直不清楚究竟如何从我们的采样来确定实际的配方 我们一直不清楚究竟如何从我们的采样来确定实际的配方 直观上我们可以断定能找到正弦波的幅度 我们测量找出它们有多么接近。。。。如果它们精确地相等 设法把一个已知频率正弦波和采样作对比，，，，我们测量找出它们有多么接近 设法把一个已知频率正弦波和采样作对比 如果它们精确地相等，，，，我们知我们知我们知我们知 如果它们精确地相等 我们测量找出它们有多么接近 设法把一个已知频率正弦波和采样作对比 设法把一个已知频率正弦波和采样作对比 我们测量找出它们有多么接近 如果它们精确地相等 与参考正弦波一点也不匹配，，，，我们将认为这个不 如果我们发现我们的信号与参考正弦波一点也不匹配 道该正弦波存在着相同的幅度，，，，如果我们发现我们的信号 道该正弦波存在着相同的幅度 我们将认为这个不 与参考正弦波一点也不匹配 如果我们发现我们的信号 道该正弦波存在着相同的幅度 道该正弦波存在着相同的幅度 如果我们发现我们的信号 与参考正弦波一点也不匹配 我们将认为这个不 我们将认为这个不 幸运地是，，，，数字信号处理工 我们如何高效地把一个已知的正弦波同采样信号进行比较？？？？幸运地是 尽管如此，，，，我们如何高效地把一个已知的正弦波同采样信号进行比较 存在存在存在存在。。。。尽管如此 数字信号处理工 幸运地是幸运地是 我们如何高效地把一个已知的正弦波同采样信号进行比较 尽管如此尽管如此 我们如何高效地把一个已知的正弦波同采样信号进行比较 数字信号处理工 数字信号处理工 这象加法和乘法一样容易－－－－我们取一个已知频率的单位正弦波 作者早已解决了如何作这些。。。。事实上事实上事实上事实上，，，，这象加法和乘法一样容易 作者早已解决了如何作这些 我们取一个已知频率的单位正弦波（（（（这这这这 我们取一个已知频率的单位正弦波 这象加法和乘法一样容易 作者早已解决了如何作这些 作者早已解决了如何作这些 这象加法和乘法一样容易 我们取一个已知频率的单位正弦波 意味着它的振幅是 1，，，，可从我们的计算器或计算机中精确地获得 和我们的信号采样相乘。。。。累加乘积之后 可从我们的计算器或计算机中精确地获得））））和我们的信号采样相乘 意味着它的振幅是 累加乘积之后，，，， 累加乘积之后 和我们的信号采样相乘 可从我们的计算器或计算机中精确地获得 意味着它的振幅是 意味着它的振幅是 可从我们的计算器或计算机中精确地获得 和我们的信号采样相乘 累加乘积之后 一个简单的完成这些工作的 C 代代代代 这是个举例，，，，一个简单的完成这些工作的 我们将得到我们正在观测的这个频率上正弦波分量的幅度。。。。这是个举例 我们将得到我们正在观测的这个频率上正弦波分量的幅度 一个简单的完成这些工作的 这是个举例 我们将得到我们正在观测的这个频率上正弦波分量的幅度 我们将得到我们正在观测的这个频率上正弦波分量的幅度 这是个举例 一个简单的完成这些工作的 码片段码片段码片段码片段：：：： Listing 1.1: The direct realization of the Discrete Sine Transform (DST): #define M_PI 3.14159265358979323846 long bin,k; double arg; for (bin = 0; bin < transformLength; bin++) { transformData[bin] = 0.; for (k = 0; k < transformLength; k++) { arg = (float)bin * M_PI *(float)k / (float)transformLength; transformData[bin] += inputData[k] * sin(arg); } } 这段代码变换存储在 inputData[0...transformLength-1]中我们测量的采样点成为一个正弦波分量的幅 这段代码变换存储在 中我们测量的采样点成为一个正弦波分量的幅 这段代码变换存储在 这段代码变换存储在 中我们测量的采样点成为一个正弦波分量的幅 中我们测量的采样点成为一个正弦波分量的幅 度队列度队列度队列度队列 transformData[0...transformLength-1]。。。。根据通用术语 我们称参考正弦波的频率步长为盒（（（（bin），），），）， 根据通用术语，，，，我们称参考正弦波的频率步长为盒 我们称参考正弦波的频率步长为盒 根据通用术语 根据通用术语 我们称参考正弦波的频率步长为盒 离散正弦变换(DST)是一个是一个是一个是一个 这意味着它们被认为象是一个我们放置我们估计的任意分量波的幅度的容器。。。。离散正弦变换 这意味着它们被认为象是一个我们放置我们估计的任意分量波的幅度的容器 离散正弦变换 这意味着它们被认为象是一个我们放置我们估计的任意分量波的幅度的容器 这意味着它们被认为象是一个我们放置我们估计的任意分量波的幅度的容器 离散正弦变换
    们无法想象我们的信号看起来象什么样，，，，否则我们能使用一个更加高效率的方法来确 它假设我们无法想象我们的信号看起来象什么样 普通程序，，，，它假设我 普通程序 否则我们能使用一个更加高效率的方法来确 们无法想象我们的信号看起来象什么样 它假设我它假设我 普通程序普通程序 们无法想象我们的信号看起来象什么样 否则我们能使用一个更加高效率的方法来确 否则我们能使用一个更加高效率的方法来确 我们予先知道, 我们的信号是一个已知频率的正弦波 我们的信号是一个已知频率的正弦波。。。。我们能直接地找出它 定正弦波分量的幅度（（（（例如例如例如例如，，，，我们予先知道 定正弦波分量的幅度 我们能直接地找出它 我们的信号是一个已知频率的正弦波 我们予先知道 定正弦波分量的幅度 定正弦波分量的幅度 我们予先知道 我们的信号是一个已知频率的正弦波 我们能直接地找出它 我们能直接地找出它 它能在文献的戈策尔(Goe 实现这个有效的逼近是基于傅里叶原理，，，，它能在文献的戈策尔 的高度而不用计算正弦波的整个范围。。。。实现这个有效的逼近是基于傅里叶原理 的高度而不用计算正弦波的整个范围 它能在文献的戈策尔 实现这个有效的逼近是基于傅里叶原理 的高度而不用计算正弦波的整个范围 的高度而不用计算正弦波的整个范围 实现这个有效的逼近是基于傅里叶原理 它能在文献的戈策尔 rtzel)算法条目下找到 算法条目下找到）。）。）。）。 算法条目下找到 算法条目下找到 这些就是你坚持想要的我们为什么用这样的方法计算正弦变换的一个解释 这些就是你坚持想要的我们为什么用这样的方法计算正弦变换的一个解释：：：：对我们用一个已知频率正弦 对我们用一个已知频率正弦 这些就是你坚持想要的我们为什么用这样的方法计算正弦变换的一个解释 这些就是你坚持想要的我们为什么用这样的方法计算正弦变换的一个解释 对我们用一个已知频率正弦 对我们用一个已知频率正弦 这大致相当于一个固有频率的“共振共振共振共振”在系统内发生时 可以设想，，，，这大致相当于一个固有频率的 波的乘积来作一种非常直观逼近的理由，，，，可以设想 波的乘积来作一种非常直观逼近的理由 在系统内发生时 这大致相当于一个固有频率的 可以设想可以设想 波的乘积来作一种非常直观逼近的理由 波的乘积来作一种非常直观逼近的理由 这大致相当于一个固有频率的 在系统内发生时 在系统内发生时 物理世界发生的事情。。。。sin(arg)项本质上是一个获得由输入信号波形激励的谐振器 项本质上是一个获得由输入信号波形激励的谐振器。。。。如果输入 物理世界发生的事情 如果输入（（（（信号信号信号信号））））有在有在有在有在 如果输入如果输入 项本质上是一个获得由输入信号波形激励的谐振器 物理世界发生的事情 物理世界发生的事情 项本质上是一个获得由输入信号波形激励的谐振器 它的输出将是参考正弦波谐振的幅度。。。。因为我们的参考波是单位幅度的 我们正观测的频率上的分量，，，，它的输出将是参考正弦波谐振的幅度 我们正观测的频率上的分量 因为我们的参考波是单位幅度的，，，，输输输输 因为我们的参考波是单位幅度的 它的输出将是参考正弦波谐振的幅度 我们正观测的频率上的分量 我们正观测的频率上的分量 它的输出将是参考正弦波谐振的幅度 因为我们的参考波是单位幅度的 出是一个在那个频率上的分量的实际幅度的一个直接测量。。。。因为谐振器只是简单的滤波器 出是一个在那个频率上的分量的实际幅度的一个直接测量 因为谐振器只是简单的滤波器，，，，变换变换变换变换（（（（不可否不可否不可否不可否 因为谐振器只是简单的滤波器 出是一个在那个频率上的分量的实际幅度的一个直接测量 出是一个在那个频率上的分量的实际幅度的一个直接测量 因为谐振器只是简单的滤波器 被认为有极窄的带通滤波器组的特征，，，，它位于我们估值的频率中心的周围 认是在稍微宽松条件下））））被认为有极窄的带通滤波器组的特征 认是在稍微宽松条件下 它位于我们估值的频率中心的周围。。。。这有这有这有这有 它位于我们估值的频率中心的周围 被认为有极窄的带通滤波器组的特征 认是在稍微宽松条件下 认是在稍微宽松条件下 被认为有极窄的带通滤波器组的特征 它位于我们估值的频率中心的周围 为什么傅立叶变换提供了对信号进行过滤的一个高效工具。。。。 助于解释一个事实，，，，为什么傅立叶变换提供了对信号进行过滤的一个高效工具 助于解释一个事实 为什么傅立叶变换提供了对信号进行过滤的一个高效工具 助于解释一个事实 助于解释一个事实 为什么傅立叶变换提供了对信号进行过滤的一个高效工具 我们的信号号号号(在数字精确度 只是为了完备性: 当然当然当然当然，，，，上述程序是可逆的 只是为了完备性 当我们知道它的正弦波分量时，，，，我们的信 上述程序是可逆的，，，，当我们知道它的正弦波分量时 在数字精确度 我们的信我们的信 当我们知道它的正弦波分量时 上述程序是可逆的 只是为了完备性 只是为了完备性 上述程序是可逆的 当我们知道它的正弦波分量时 在数字精确度 在数字精确度 极限内极限内极限内极限内)能完全被重建 这留下给读者做为一个练习。。。。同样程序能改变使用余 通过简单地把正弦波加起来。。。。这留下给读者做为一个练习 能完全被重建，，，，通过简单地把正弦波加起来 同样程序能改变使用余 这留下给读者做为一个练习 通过简单地把正弦波加起来 能完全被重建 能完全被重建 通过简单地把正弦波加起来 这留下给读者做为一个练习 同样程序能改变使用余 同样程序能改变使用余 我们只需简单地改变 sin(arg)条件到条件到条件到条件到 cos(arg)来获得离散余弦变换的直接实现 弦波做为基本函数工作-我们只需简单地改变 来获得离散余弦变换的直接实现(DC 弦波做为基本函数工作 来获得离散余弦变换的直接实现 我们只需简单地改变 弦波做为基本函数工作 弦波做为基本函数工作 我们只需简单地改变 来获得离散余弦变换的直接实现 T)。。。。 现在现在现在现在，，，，就象在这篇文章较前面的段落中我们讨论过的那样 就象在这篇文章较前面的段落中我们讨论过的那样，，，，我们在实践中没有办法区分一个被测量的正 我们在实践中没有办法区分一个被测量的正 就象在这篇文章较前面的段落中我们讨论过的那样 就象在这篇文章较前面的段落中我们讨论过的那样 我们在实践中没有办法区分一个被测量的正 我们在实践中没有办法区分一个被测量的正 做为代替我们总是测量正弦信号，，，，且正弦和余弦变换在实践中没有太大 弦类函数象是正弦波还是余弦波。。。。做为代替我们总是测量正弦信号 弦类函数象是正弦波还是余弦波 且正弦和余弦变换在实践中没有太大 做为代替我们总是测量正弦信号 弦类函数象是正弦波还是余弦波 弦类函数象是正弦波还是余弦波 做为代替我们总是测量正弦信号 且正弦和余弦变换在实践中没有太大 且正弦和余弦变换在实践中没有太大 象图象压缩的地方，，，，即毎块图象具有能用一个基本的余弦或正弦函数较好模 除了一些特殊情况（（（（象图象压缩的地方 的用途的用途的用途的用途，，，，除了一些特殊情况 即毎块图象具有能用一个基本的余弦或正弦函数较好模 象图象压缩的地方 除了一些特殊情况 除了一些特殊情况 象图象压缩的地方 即毎块图象具有能用一个基本的余弦或正弦函数较好模 即毎块图象具有能用一个基本的余弦或正弦函数较好模 例如能用余弦基本函数较好表现的相同颜色的大区域）。）。）。）。正弦信号是一个比正弦或余弦波更一般 拟特性拟特性拟特性拟特性，，，，例如能用余弦基本函数较好表现的相同颜色的大区域 正弦信号是一个比正弦或余弦波更一般 例如能用余弦基本函数较好表现的相同颜色的大区域 例如能用余弦基本函数较好表现的相同颜色的大区域 正弦信号是一个比正弦或余弦波更一般 正弦信号是一个比正弦或余弦波更一般 当余弦波开始于 1 时时时时，，，，正弦波总开 我们记得，，，，当余弦波开始于 因为它可以开始在在它的周期中的一个任意位置。。。。我们记得 的片断的片断的片断的片断，，，，因为它可以开始在在它的周期中的一个任意位置 正弦波总开 当余弦波开始于 我们记得我们记得 因为它可以开始在在它的周期中的一个任意位置 因为它可以开始在在它的周期中的一个任意位置 当余弦波开始于 正弦波总开 正弦波总开 余弦波开始在它的周期的最后 1/4 之处之处之处之处。。。。一般用度或弧度测量它们 始在始在始在始在 0。。。。 当我们采取正弦波作为参考 当我们采取正弦波作为参考，，，，余弦波开始在它的周期的最后 一般用度或弧度测量它们 余弦波开始在它的周期的最后 当我们采取正弦波作为参考 当我们采取正弦波作为参考 余弦波开始在它的周期的最后 一般用度或弧度测量它们 一般用度或弧度测量它们 一个完整的周期等于 360°（（（（代表代表代表代表 "度度度度") 或或或或 2π 个弧度个弧度个弧度个弧度(代代代代 这是两个一般与三角函数相关的单位。。。。一个完整的周期等于 的偏移量，，，，这是两个一般与三角函数相关的单位 的偏移量 一个完整的周期等于 这是两个一般与三角函数相关的单位 的偏移量的偏移量 这是两个一般与三角函数相关的单位 一个完整的周期等于 是希腊字表示数 3.14159265358979323846... 在三角学方面有重要 表表表表"2π" ，，，，"π" 发音象发音象发音象发音象“pie”。。。。π 是希腊字表示数 在三角学方面有重要意义意义意义意义) 。。。。 在三角学方面有重要 是希腊字表示数 是希腊字表示数 在三角学方面有重要 余弦波因而有一个 90°或或或或 π/2 的偏移的偏移的偏移的偏移。。。。这偏移叫正弦信号的相位 因此余弦波相对正弦信号有 90°或或或或 π/2 相相相相 这偏移叫正弦信号的相位，，，，因此余弦波相对正弦信号有 余弦波因而有一个 因此余弦波相对正弦信号有 这偏移叫正弦信号的相位 余弦波因而有一个 余弦波因而有一个 这偏移叫正弦信号的相位 因此余弦波相对正弦信号有 位位位位。。。。 因为我们一直不能限定信号在 0°或或或或 90°相位开始 相位的事情就有这些内容 相位开始（（（（因为我们正观测一个我们 相位的事情就有这些内容。。。。因为我们一直不能限定信号在 因为我们正观测一个我们 相位开始相位开始 因为我们一直不能限定信号在 相位的事情就有这些内容 相位的事情就有这些内容 因为我们一直不能限定信号在 因为我们正观测一个我们 因为我们正观测一个我们 相位至关重要。。。。以正弦或余弦做变 它对同时直接唯一的描述信号的频率、、、、振幅振幅振幅振幅、、、、相位至关重要 可能无法控制的信号），），），），它对同时直接唯一的描述信号的频率 可能无法控制的信号 以正弦或余弦做变 相位至关重要 它对同时直接唯一的描述信号的频率 可能无法控制的信号 可能无法控制的信号 它对同时直接唯一的描述信号的频率 相位至关重要 以正弦或余弦做变 以正弦或余弦做变
    换相位限制在 0°或或或或 90°，，，，一个具有任意相位的正弦信号将引起相邻频率出现假峰 因为它们试图“帮助帮助帮助帮助”分分分分 一个具有任意相位的正弦信号将引起相邻频率出现假峰（（（（因为它们试图 换相位限制在 因为它们试图 一个具有任意相位的正弦信号将引起相邻频率出现假峰 换相位限制在 换相位限制在 一个具有任意相位的正弦信号将引起相邻频率出现假峰 因为它们试图 强制给被测信号加上一个 0°或或或或 90°的相位作用 它有些象用一圆石头去填满一个方孔：：：：你需要小一 的相位作用）。）。）。）。它有些象用一圆石头去填满一个方孔 析析析析，，，，强制给被测信号加上一个 你需要小一 它有些象用一圆石头去填满一个方孔 的相位作用 强制给被测信号加上一个 强制给被测信号加上一个 的相位作用 它有些象用一圆石头去填满一个方孔 你需要小一 你需要小一 并且更小的石头填好依然留出空的空间，，，，等等等等等等等等。。。。我们所需要的是能处理一 石头去填充剩余的空间，，，，并且更小的石头填好依然留出空的空间 些的圆些的圆些的圆些的圆石头去填充剩余的空间 我们所需要的是能处理一 并且更小的石头填好依然留出空的空间 石头去填充剩余的空间 石头去填充剩余的空间 并且更小的石头填好依然留出空的空间 我们所需要的是能处理一 我们所需要的是能处理一 它能处理任意相位正弦波构成的信号。。。。 般信号的变换，，，，它能处理任意相位正弦波构成的信号 般信号的变换 它能处理任意相位正弦波构成的信号 般信号的变换 般信号的变换 它能处理任意相位正弦波构成的信号 步骤步骤步骤步骤 6：：：：离散傅叶变换 离散傅叶变换 离散傅叶变换 离散傅叶变换 只需用更一般的方法。。。。在正弦变换中对每个频率上的测度 从正弦变换到傅里叶变换的步骤是简单的，，，，只需用更一般的方法 从正弦变换到傅里叶变换的步骤是简单的 在正弦变换中对每个频率上的测度 只需用更一般的方法 从正弦变换到傅里叶变换的步骤是简单的 从正弦变换到傅里叶变换的步骤是简单的 只需用更一般的方法 在正弦变换中对每个频率上的测度 在正弦变换中对每个频率上的测度 对任意的当前频率，，，，我们以同一频率的 余弦波二者都使用。。。。就是说就是说就是说就是说，，，，对任意的当前频率 在傅里叶变换中正弦、、、、余弦波二者都使用 使用正弦波，，，，在傅里叶变换中正弦 使用正弦波 我们以同一频率的 对任意的当前频率 余弦波二者都使用 在傅里叶变换中正弦 使用正弦波 使用正弦波 在傅里叶变换中正弦 余弦波二者都使用 对任意的当前频率 我们以同一频率的 我们以同一频率的 正弦和余弦波来“比较比较比较比较”（（（（或或或或“共振共振共振共振”））））被测信号 如果我们的信号看起来很象正弦波，，，，变换的正弦部份将有 被测信号。。。。如果我们的信号看起来很象正弦波 正弦和余弦波来 变换的正弦部份将有 如果我们的信号看起来很象正弦波 被测信号被测信号 正弦和余弦波来 正弦和余弦波来 如果我们的信号看起来很象正弦波 变换的正弦部份将有 变换的正弦部份将有 变换的余弦部份将有一个大的幅值。。。。如果看如果看如果看如果看起来象反相的正弦波 如果它看起来象余弦波，，，，变换的余弦部份将有一个大的幅值 一个大的幅值。。。。如果它看起来象余弦波 一个大的幅值 起来象反相的正弦波，，，， 起来象反相的正弦波 变换的余弦部份将有一个大的幅值 如果它看起来象余弦波 一个大的幅值 一个大的幅值 如果它看起来象余弦波 变换的余弦部份将有一个大的幅值 起来象反相的正弦波 取代上升至 1，，，，它的正弦部份将有一个大的负幅值 但下降至－－－－1 取代上升至 它开始于 0 但下降至 它的正弦部份将有一个大的负幅值。。。。这表明用 也就是说，，，，它开始于 也就是说 这表明用＋、－＋、－＋、－＋、－ 这表明用这表明用 它的正弦部份将有一个大的负幅值 取代上升至 但下降至但下降至 它开始于它开始于 也就是说也就是说 取代上升至 它的正弦部份将有一个大的负幅值 余弦相位能表示任意给定频率的正弦信号[2]。。。。 符号和正弦、、、、余弦相位能表示任意给定频率的正弦信号 符号和正弦 余弦相位能表示任意给定频率的正弦信号 符号和正弦 符号和正弦 余弦相位能表示任意给定频率的正弦信号 Listing 1.2: The direct realization of the Discrete Fourier Transform[3]: #define M_PI 3.14159265358979323846 long bin, k; double arg, sign = -1.; /* sign = -1 -> FFT, 1 -> iFFT */ for (bin = 0; bin <= transformLength/2; bin++) { cosPart[bin] = (sinPart[bin] = 0.); for (k = 0; k < transformLength; k++) { arg = 2.*(float)bin*M_PI*(float)k/(float)transformLength; sinPart[bin] += inputData[k] * sign * sin(arg); cosPart[bin] += inputData[k] * cos(arg); }
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