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2006年山东高考理科数学真题及答案.doc
2006 年山东高考理科数学真题及答案
第 I 卷（共 60 分）
注意事项：
1. 答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号，考试科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮檫
干净后，再选其他答案标号，不能答在试题卷上。
参考公式：
如果事件 A、B互斥，那么 P（A+B）=P(A)+P(B)
如果事件 A、B相互独立，P(A·B)=P(A)·P(B)
一、
选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，
选择一个符合题目要求的选项.
（1）定义集合运算：A⊙B=｛z︳z= xy(x+y)，z∈A，y∈B｝，设集合 A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，
则集合 A⊙B的所有元素之和为
（A）0
（C）12
（2）函数 y=1+ax(02 的解集为
(A)（1，2） （3，+∞）
(B)（ 10 ，+∞）
(C)（1，2） （ 10 ，+∞）
(D)（1，2）
（4）在△ABC中，角 A、B、C的对边分别为 a、b、c,A=
3
,a= 3 ,b=1，则 c=
(A) 1
（B）2
（C） 3 —1
（D） 3
（5）设向量 a=(1,2),b=(－1,1),c=(－1,－2)，若表示向量 4a,4b－2c,2(a－c),d的有向
线段首尾相连能构成四边形，则向量 d为
(A)(2,6)
(B)(－2,6)
(C)(2,－6)
(D)(－2,－6)
(6)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为
(A)－1
(B) 0
(C)
1
(D)2
（7）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ，焦点到相应准线的距离为 1，则
该椭圆的离心率为
(A) 2
(B)
2
2
(C)
1
2
(D)
2
4
（8）设 p：x2 －x－20>0,q：
1
x
x
2
2
<0,则 p是 q的
（A）充分不必要条件
（C）充要条件
（9）已知集合 A=｛5｝,B=｛1,2｝,C=｛1,3,4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直
角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为
(A)33
（B）必要不充分条件
（D）既不充分也不必要条件
(C) 35
(B) 34
(D)36
（10）已知
2
x
n
1
x
的展开式中第三项与第五项的系数之比为－
3
14
,其中 i4 =－1，则
展开式中常数项是
(A)－45i
(B) 45i
(C) －45
(D)45
（11）某公司招收男职员 x名，女职员 y名，x和 y须满足约束条件
,22
则
5
2
2
x
x
x
11
y
3
,9
y
.11
z=10x+10y的最大值是
(A)80
（12）如图，在等腰梯形 ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为 AB的中点，将△ADE与△BEC
分别沿 ED、EC向上折起，使 A、B重合于点 P，则 P－DCE三棱锥的外接球的体积为
(C) 90
(B) 85
(D)95
(A)
34
27
(B)
6
2
(C)
6
8
(D)
6
24
（12 题图）
第 II 卷（共 90 分）
注意事项：
1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.答案须填在题中横线上.
（13）若
lim
n
n
(
1
an
)
n
,1
则常数
a
.
（14）已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则 y1
的最小值是
（15）如图，已知正三棱柱 ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是 A1C1的 中点，则直线 AD 与
平面 B1DC所成角的正弦值为
2+y2
.
.
2
（16）下列四个命题中，真命题的序号有
（写出所有真命题的序号）.
①将函数 y=
1x
的图象按向量 y=(-1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为 y= x
（15 题图）
②圆 x2+y2+4x-2y+1=0 与直线 y=
相交，所得弦长为 2
1
2
x
③若 sin(+)=
1
2
,则 sin(+)=
1
3
,则 tancot=5
④如图，已知正方体 ABCD- A1B1C1D1，P为底面 ABCD内一动点，P到平面 AA1D1D的距离与到
直线 CC1的距离相等，则 P点的轨迹是抛物线的一部分.
（16 题图）
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）已知 f(x)=Asin(
x
)(A>0,>0,0<<
象相邻两对称轴的距离为 2，并过点（1，2）.
（1）求;
（2）计算 f(1)+f(2)+… +f(2 008).
2
函数，且 y=f(x)的最大值为 2，其图
（18）（本小题满分 12 分）
设函数 f(x)=ax-(a+1)ln(x+1)，其中 a -1，求 f(x)的单调区间。
（19）（本小题满分 12 分）
如图 ABC-A1B1C1，已知平面平行于三棱锥 V-A1B1C1的底面 ABC，等边∆ AB1C所在的平面与底
面 ABC垂直，且 ABC=90°，设 AC=2a,BC=a.
（1）求证直线 B1C1是异面直线与 A1C1的公垂线；
（2）求点 A到平面 VBC的距离；
（3）求二面角 A-VB-C的大小.
（19 题图）
(20) （本小题满分 12 分）
袋中装着标有数学 1，2，3，4，5 的小球各 2 个，从袋中任取 3 个小球，按 3 个小球上最大
数字的 9 倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的 3 个小球上的最大数字，
求：
（1）取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量的概率分布和数学期望；
(3)计分介于 20 分到 40 分之间的概率.
（21）（本小题满分 12 分）
双曲线 C与椭圆
2
x
8
2
y
4
1
有相同的热点，直线 y=
x3 为 C的一条渐近线.
（1） 求双曲线 C的方程；
（2） 过点 P(0,4)的直线 l，求双曲线 C于 A,B两点，交 x轴于 Q点（Q点与 C的顶点不
重合）.当 PQ = 1
QA
2
QB
，且
2
1
8
3
时，求 Q点的坐标.
（22）（本小题满分 14 分）
已知 a1=2，点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…
（1） 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；
（2） 设 Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求 Tn及数列｛an｝的通项；
（3） 记 bn=
1
a
n
1
2
a
n
，求｛bn｝数列的前项和 Sn，并证明 Sn+
2
3
nT
1
=1.
2006 年山东高考理科数学真题参考答案
（1）—（12）DACBD
BBAAD
CC
(13) 2
(14) 32
(15)
17．（本小题满分 12 分）
4
5
(16)○3 ○4
已知函数
( )
f x
A
2
sin (
)(
x
A
0,
0,0
图象相邻两对称轴间的距离为 2，并过点（1,2）.
（I）求
（II）计算 (1)
f
f
(2)
f
(2008)
.
，且
)
2
y
( )
f x
的最大值为 2，其
解：（I）
y A
2
sin (
)
x
A A
2
2
cos(2
2 ).
x
y
( )
f x
的最大值为 2，
0A .
又其图象相邻两对称轴间的距离为 2，
0 ，
x
2 ) 1 cos(
2
x
2 )
.
A A
2
2
2,
A
2.
1 2(
)
2 2
( )
f x
.
4
cos(
2
2,
2
2
y
过 (1,2) 点，
2
2
( )
f x
1.
2 )
2
,
2
k
cos(
2
2
2
2
k
k Z
,
k Z
,
,
2
k Z
,
,
4
,
2
k
又 0
4
.
（II）解法一：
1 cos(
y
，
4
) 1 sin
2
2
(3)
x
f
.
x
2
2 1 0 1 4
.
f
(1)
f
(2)
f
(4)
又
y
( )
f x
的周期为 4， 2008 4 502
，
f
(1)
f
(2)
f
(2008)
4 502
2008.
解法二：
( )
f x
2
2sin (
)
f
(1)
f
(3)
2
2sin (
f
(2)
f
(4)
2
2sin (
2 3
) 2sin (
4
)
2
) 2sin (
)
2,
2,
x
4
4
2
(4)
f
f
(1)
f
(2)
f
(3)
4.
又
y
( )
f x
的周期为 4， 2008 4 502
，
f
(1)
f
(2)
f
(2008)
4 502
2008.
18．（本小题满分 12 分）设函数 ( )
f x
ax
(
a
1)ln(
x
1)
，其中
单调区间.
a ，求 ( )
f x 的
1
解：由已知得函数 ( )
f x 的定义域为 ( 1,
，且 '
( )
f x
)
1
ax
1
x
(
a
1),
（1）当 1
时， '( ) 0,
0
a
上单调递减，
)
（2）当 0
a 时，由 '( ) 0,
f x 解得
f x 在 ( 1,
f x 函数 ( )
1 .
a
x
'( )
f x 、 ( )
f x 随 x 的变化情况如下表
1
a
( 1,
x
)
'( )
f x
( )
f x
—
)
x
当
从上表可知
1
a
时， '( ) 0,
时， '( ) 0,
( 1,
1(
a
当
x
)
,
f x 函数 ( )
f x 在
f x 函数 ( )
f x 在
( 1,
1(
a
1
a
0
极小值
)
上单调递减.
1
a
,
上单调递增.
)
综上所述：
当 1
时，函数 ( )
f x 在 ( 1,
0
a
上单调递减.
)
( 1,
1
a
)
上单调递减，函数 ( )
f x 在
1(
a
,
)
A1
当 0
a 时，函数 ( )
f x 在
上单调递增.
19．（本小题满分 12 分）
如图，已知平面 1
A B C 平行于三棱锥V ABC
1
1
A
的底面 ABC，等边
1(
a
,
)
+
V
B1
C1
B
C
△ 1AB C 所在的平面与底面 ABC 垂直，且∠ACB=90°，设
AC
2 ,
a BC a
（1）求证直线 1
1B C 是异面直线 1AB 与 1
1A C 的公垂线；
（2）求点 A 到平面 VBC 的距离；
（3）求二面角 A VB C
的大小。
解法 1：
（Ⅰ）证明：∵平面 1 1
1
A B C ∥平面 ABC ，
B C BC AC AC
1
//
//
,
1
1
1
BC AC
AC
1
1
B C
1
1
又∵平面 1AB C ⊥平面 ABC ，平面 1AB C ∩平面 ABC AC
，
∴ BC ⊥平面 1AB C ，
BC AB
1
B C
1
1
AB
1
，
AC
又 1
1
B C C
1
1
1
B C
， 1
1
AB
1
B
1
.
1B C
1
为 1AB 与 1
1AC 的公垂线.
（Ⅱ）解法 1：过 A 作
AD B C
1
于 D，
∵△ 1AB C 为正三角形，
∴D 为 1B C 的中点.
，
，
∵BC⊥平面 1AB C
∴ BC AD
又 1B C BC C
∴AD⊥平面VBC ，
∴线段 AD 的长即为点 A 到平面VBC 的距离.
3 2
a
2
在正△ 1AB C 中，
3
2
AD
AC
∴点 A 到平面VBC 的距离为 3a .
3
a
.
解法 2：取 AC 中点 O 连结 1B O ，则 1B O ⊥平面 ABC ，且 1B O = 3a .
由（Ⅰ）知
BC B C
1
，设 A 到平面VBC 的距离为 x，
即
V
B ABC
1
1 1
3 2
V
，
A BB C
1
BC AC B O
1
1 1
3 2
BC B C x
，解得
1
x
3
a
.
即 A 到平面VBC 的距离为 3a .
则
d
||
AB
1
| cos
,
AB n
1
|
||
AB
1
| cos
AB n
1
|
|
AB
n
1
|
|
|
2 3
a
2
3 .
a
所以， A 到平面VBC 的距离为 3a .
(III)过 D 点作 DH VB 于 H ，连 AH ，由三重线定理知 AH VB
是二面角 A VB C
的平面角。
AHD
在 Rt AHD
中，
AD
3
a B DH B BC
1
1
DH
BC
.B D
1
B B
1
DH
B D BC
1
B B
1
5 .
a
5
tan
AHD
AD
DH
15
。
AHD
arctan 15
。
所以，二面角 A VB C
的大小为 arctan 15 .
解法二：
取 AC 中点O 连 1B O ,易知 1OB 底面 ABC ，过O 作直线 //OE BC 交
AB E于 。
取O 为空间直角坐标系的原点，
OE OC OB 所在直线分别为 x 轴， y
,
,
1
轴 ， z 轴 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 。 则
(0,
A
(0,
C a
( ,
B a a
(0,0, 3 )
a
1
,0),
,0),
B
。
a
,0),
BC
（I）
(
a
,0,0)
AB
， 1
(0,
a
, 3 )
a
，
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