2∞9 年 3 月 第 28 卷第 3 期 Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering 机械科学与技术 March 2∞9 Vol. 28 No.3 四轮全方位轮式移动机器人的运动学模型研究 杨世强，傅卫平，张鹏飞 (西安理工大学机械与精密仪器工程学院，西安 71∞48) 杨世强 摘 要:具有平面上全部 3 个自由度的全方位移动机器人，可以实现灵活的运动，因而得到广泛的 关注。本文在分析全方位轮式移动机器人特性的基础上，针对麦克纳姆轮在一个方向上为主动，在 与其垂直的方向上为从动的特点，根据刚体运动学原理，对一种四轮全方位轮式移动机器人的运动 学方程进行了推导，建立了运动学模型，分析了运动学误差。最后，基于滚动窗口路径规划，通过计 算机仿真与实验验证，结果表明该运动学模型正确可行。 关键词:全方位轮;移动机器人;运动学模型 中固分类号:TP24 文章编号: 1003-8728 (2009 )03-û412-M 文献标识码 :A A Study of the Kinematics Model of a Mobile Robot with Four Omni-directional Wheels Yang Shiqiang , Fu Weiping , Zhang Pengfei (Faculty of Mechanical and Precision Instrument Engineering, Xi' an University of Technology, Xi' an 71∞48) Abstract: Omni -directional mobile robots wi由 three degrees of freedom possess high mobility on the motion plane. An omni-directional mobile robot is constructed which consists of four sets of wheel assemblies equally spaced at 90 degrees from one another. Each of its wheel assembly consists of a pair ofMekanum wheels wi出 an active (the pro pelling direction of the actuator) and a passive (free-wheeling) direction which are orthogonal to each other. The kinematic model of the mobile robot is established according to rigid kinematics , and the kinematic precision of the omni -directional wheel is analyzed. The validity and feasibility of 由is kinematic model is verified by MA咀..AB simulation and experiments in laboratol)' based on rolling window pa由 planning algorithm. Key words: omni -directional wheel; mobile robot; kinematics model 轮式移动机器人具有良好的稳定性、较快的移 动能力等优点，在足球机器人比赛等领域得到了广 泛的应用。全方位轮式机器人能够在保持车体姿态 不变的情况下沿平面上任意方向作直线移动，理论 上可在机器人所处平面上以任何角度和速度运动， 机动性增强，非常适合工作在空间有限、狭窄、对机 器人的机动性要求高的场合中。 收稿日期 :2∞8-05-19 基金项目:国家自然科学基金项目( 10872160) 和陕西省机械制造装 备重点实验室项目 (05J529) 资助 作者简介:杨世强 (1973 - ) ，博士研究生，研究方向为智能机器人， yang吨@126.com 国外很多研究机构对全方位轮式移动机器人的 有关问题，如车轮设计制造、机器人轮子的配置方案 以及机器人的运动学分析等方面进行了广泛的研 究，形成了许多有特色的移动机器人产品 [1 叶。国 内部分高校和研究机构也对全方位机器人进行了研 究 [8 -11] 主要集中在小型足球机器人的应用方面， 对全方位移动机器人的运动学模型的分析和讨论主 要建立在计算机仿真基础上[吼叫。本文在分析全 方位移动机器人特性的基础上，针对一种四轮全方 位移动机器人建立了运动学模型，并通过计算机仿 真与实验，验证了该模型的正确性与可行性。 

第 3 期 杨世强等:四轮全方位轮式移动机器人的运动学模型研究 413 1 全方位轮式移动机器人 移动机器人在平面上存在前后移动、左右移动 和自身转动 3 个自由度的运动，若机器人所具有的 自由度少于 3 个，则为非全方位移动机器人，由于受 到非完整性约束，这种类型的机器人是典型的非完 整系统;若所具有的自由度等于 3 个，则为全方位移 动机器人。由于全方位轮有效避免了普通轮子不能 侧滑带来的非完整性约束，在支持面上具有独立的 两个平移运动和绕垂直轴的一个转动，所以全方位 轮式移动机器人是一种完整系统 [9] 。 以全方位轮为行走机构的机器人，能够在保持 车体姿态不变的前提下沿平面上任意方向作直线移 动，运动路径最短，用时少，相比差动驱动机器人具 有更强的优势。在机器人运动过程中，每个全方位 轮由一个独立的电机驱动，通过控制各个驱动电机 来决定车体的移动方向和位姿，实现全方位行走。 全方位轮式移动机器人所配备的车轮主要有麦卡姆 轮 [1 ，2] 也称为瑞典轮、球形轮 [3] 、连续过渡轮 [υ] 和 正交轮等 [6 ， 12] 。 辑子 (a) m 呗 四 。 (c) (d) 固 1 麦卡姆轮 如图 1 (a) 所示的麦卡姆轮在轮载的外缘按一 定的角度安装一组辐子，为了减小当机器人运动时 棍子间距太大而引起的振动，保证运动的平滑性，辑 子的形状要保证轮的侧视图为圆形。轮载的回转轴 和辑子回转轴之间的夹角为()，当轮载受到电机等 的驱动，以角速度 W 向前滚动时，处于轮载边缘的 辑子与地面摩擦，使得辑子以 w 绕自身的回转轴转 动，一组棍子按与地面接触的顺序依次转动，使得整 个轮载整体向前滚动。显然，由不少于 3 个这样的 麦卡姆轮便可组成一个轮式移动机器人移动平台。 每个轮子具有 3 个自由度:绕轮载轴心(下称轮子 轴心)转动、绕辐子轴心的转动及绕轮子和地面接 触点转动。 由于辐子之间存在间隙，使轮子在运动过程中 与地面接触点的高度发生变化，导致车体振动或打 滑，因而增加了运动学计算误差。通常的改进方法 是增加轮载排数以增强运动的平稳性，如图 l(b) 所 示和增加棍子的数目以减小辐子间间隙，如图 l(c) 所示。图 1 (c) 、图 l(d) 所示的轮子是麦卡姆轮在。 =τ/2 时的情形。 2 四轮全方位移动机器人运动学建模 本文所采用的移动机器人配备如图 1 (d) 所示 的 4 个全方位轮，呈 90。均布在半径为 RD 的圆周 上，如图 2 所示。每个全方位轮由一个带编码器的 直流伺服电机驱动，控制各轮的运动速度 ，4 个电机 共同驱动来合成机器人中心某时刻的速度和角速 度。通过编码器来记录和反馈各轮行走过的位移， 位移累积可求得机器人中心的位移。 左轮 2# 右轮 4# (功实物图 图 2 移动机器人与轮系分布图 基本假设: (1)机器人驱动轮和地面均为刚体。 (2) 运动局限在水平地面上。 (3) 机器人的中心和质心重合。 (4) 车轮与地面接触具有足够的摩擦力，在车 子运动过程中轮子与接触面不发生相对滑动，只发 生绕轮载轴和辑子轴方向的纯滚动。 2. 1 四轮全方位移动机器人运动学模型 机器人运动学模型是机器人中心点运动轨迹控 制的基础，在路径规划算法构建机器人可运行路径 后，将中心点的移动转化为各轮的转动。参照文献 [12] 三轮全方位车辆运动学分析，可以建立如图 3 所示的几何图。 

414 机械科学与技术 第 28 卷 Y O 图 3 全方位轮几何图 X 图 3 中， 1 ~2~3 、4 分别表示 4 个全方位轮编号， 机器人坐标系 LX'O'Y' 的原点与机器人质心。'重 合 ， X'轴与 1 轮轴线重合。某一时刻 t ， 机器人在世 界坐标系 LXOY 中的位姿可以用(劣， y ， (})T 表示，队 y 表示机器人中心的位置，()为此时刻轴 X' 与轴 X 的夹角，表示机器人的姿态。机器人质心到 4 个轮 1二中心的距离相等，均由 L 表示。 Pi (i=I ， 2 ， 3 ， 4) 表示在 LX'O'Y' 中起点为 0' ，终点为第 i 个轮中心 的向量，有 P, = Lf1 Lp, = dO\.p哩= d - 1 \.PA = Ú 0 , \Or~ \-1/ \1 r- \01 - Di 表示在 LX'O'Y' 中起始点为第 i 个轮中心，方向 为各个轮子驱动正方向的单位矢量。 假设各轮 Di 的方向按逆时针，故而 Di 与 Pi 之 间存在以下关系，即 Di = 护(; )pi R( α) 为二维旋转矩阵，其形式为 r cos(α) - sin(α) ， R( α) = I V~U~ <4~ U"~\~I I L sin(α) cos(α) J (1) (2) 按式(1)计算后可得 D) = (~)，乌= (刀 ，D3 = (_01) ,D4 = (~) Po 表征。'点在绝对坐标系中的位置; Po = [xit) ,y(t)]T (3) V= 乌"表示机器人中心速度矢量。 设第 i 个轮中心点在绝对坐标系主 XOY 中的位 置向量为尺，可以表示为 Ri= 凡 +R((})Pi 上式两边关于时间 t 求导，可得 R> P~+R((})'Pi 设只表示第 i 个轮子中心的速度，故有 只 = R~ 联立式 (4) 和式 (5) 可得 只 = P~+R((})'Pi (4) (5) (6) 矢量只是第 i 个轮子 法向速度耳ι 和切向速度 飞i 的合成，如图 4 所示 ， Vqi 的大小和方向受这个轮子 的电机控制，几=叫r ， r 为 轮子半径;耳z 的大小和方 向由另外 3 个轮子的电机 共同控制。飞与飞i 之间 存在如下关系 图 4 向量变换 几 = Vi(R(())DJ 将式 (6) 代人式 (7) ，整理可得 飞i = (P~) TR((})Di + L()' 将式(1) -式 (3) 代人式 (8) 中，有 Vq) ì ( - sin() V_o I I - rwdl ~~ 1= I V, I I v' I Vq4 ) \cos() L飞- cos(} 11 X , _ ..;n~ T." - I …: : 11 y' 1 sinθ- cosθ L ". I - I飞。') LJ - sin(} (7) (8) (9) 式中:元'、y' 、()'为机器人位姿的变化率。由图 3 可知 (~:l 仰01 y' 1= I Vsin ()'飞 W 由 Vqi =wir 得 川一 v W 2 I 1 I 几 r I V. 叫 ~ V. W 4 ) (10) / ‘ 、 唱 - A 4·A 、 ‘ ， ， ， 联立 (9) -式 (11) 可得四轮全方位移动机器人 F-UFbFbrlu --s aVAU -141E E--E3 QUPU-nunu θ n n m m O --s 恼 。 vmh! mve· E--H 陆 ··A 、 E E t t t t t t ， ， ‘ 、 、 ‘E J 呵 ， " n Y 』 ， ， A U Q ι U P U - H U / ' t t t t t t ‘ l 、 t 、 B t AVAV t S I l l - t t t t E B / 运动学模型为 i 噜 A WMWMWW = 衡 ， 画 南 3 ， ‘ 1-r / ' I l - - t a t - 飞 - 、 l t θ 由式(1 2) 知，若已知( V， ω ，() ， ψ) 便可求得各轮 子的角速度叭，实现机器人运动控制。 2.2 几种特殊的运动 按式(12) 得到的一般运动是机器人在平面上 平动和转动的合成，特殊地，对于机器人的纯平动、 纯转动等方式的运动，有如下关系: (1)当机器人作纯平动时， ω= 0 ，代人式 (1 2) 有 可以看出，轮 1 、轮 3 共轴，轮 2 、轮 4 共轴，速度 

第 3 期 杨世强等:四轮全方位轮式移动机器人的运动学模型研究 415 相 同 幻 υ 中J ω 有 反 机阳 当 。 器 动转纯作人 4叫 4 VV 。 U ,A, 式人非 L U 全方位轮运动学误差。 3 仿真与实验 W 1 = 叫=叫=叫 =70 L 此时 4 个轮以相同方向、相同速度驱动。 (3) 特殊的，若要求任意时刻，机器人质心(中 心)的速度方向就是局部坐标系 Y'轴的方向，故 ψ ，。 之间存在以下关系 将此式代人式 (12) 中，可得 2.3 全方位轮运动学计算误差 当全方位轮转过任意相邻两个小轮间距角度 时，理论弧长和弦长之差为运动学误差，其值为 2骨肉'rr r - - ~rsm- n n 式中 :r 为全方位轮半径 ;n 为沿全方位轮圆周布置 的小辑轮个数。所以，当车轮每回转一周，其运动学 计算误差为 !::. = n( r 2; - 2rsin :) = 2τr - 2nrsin 可以看出，增加小辑轮的个数，可以有效地减小 实验中采用基于行为动力学的机器人滚动窗口 路径规划方法 [13] 。首先根据机器视觉所获得的窗 口(局部环境)信息，采用启发式函数进行局部子目 标优化选择，然后以窗口为单位，在窗口中将导航行 为分解为趋于目标行为和避障行为，运用动力系统 稳定性理论建立以上两种行为的行为模式动力学模 型和行为模式竞争模型间，构成导航行为动力学模 型进行在线自主路径规划，计算出移动机器人导航 角。(吟，最后将一系列窗口中的规划轨迹按照连续 性条件首尾相接，完成全局规划任务。质心速率为 恒速，事先给定，机器人正向，即 1 轮轴线方向，始终 与前进方向一致。图 5 (a) 、图 5 (b) 分别为运用 MATLAB 计算机仿真与对应实验结果，图中粗线表 示运用该方法规划和实际运行路径。机器人起始点 位姿、终点位姿以及障碍物等信息如下: 起始位姿 :(4000 mm ,2000 mm ，'rr/2) 。 终点位姿: (4000 mm ,6800 mm ， τ/2) 。 障碍物位置: (4200 mm ， 4∞o mm) ，经"膨化" 后的所占圆域的半径为 500 mm;" 膨化"前的实际 占据的圆域半径为 1∞ m 。 移动速率 :V = 10 mm/s。 虚拟滚动窗口的大小: 1000 mm x 800 mm 。 行规路划径运 70∞ ~ =[ L_--- 叫气--_/ I ~ 4000 障碍物 行实路际径运 (b) (c) 固 5 路径规划仿真与实验结果 比较路径规划计算机仿真与实验运行结果(图 5( a) 、图 5(b)) ，可以看出，机器人实验运行的整体 趋势符合仿真结果，能有效地避开障碍物，完成机器 人导航任务，表明机器人运动学模型正确有效，但两 者之间存在一定的误差。 根据实验中的实际条件，分析引起误差的主要 原因有:机器人运动学累计误差，车轮与地面打滑现 象、振动较为严重，实验中未考虑数字编码器以及电 子罗盘的系统误差和累计误差。另外，由于实验中 绘制运动曲线的画线简易装置安装在机器人的尾 部，如图 5(c) 所示，并非机器人坐标系原点，当机器 人姿态发生变化时，引起曲线的较大误差。 (下转第 420 页) 

420 机械科学与技术 第 28 卷 该指令的子机器人的 ID 号， ID = 1 即为领导者子机 器人 ;2 为对应于表 1 的运动描述，即左转弯 ;40 为 领导者子机器人的速度。领导者子机器人接收到该 命令后，与自己检测到的信息综合后发送的指令为 |信息头 I 3 I 2 1 2 1ω| 信息尾 l 其中 3 为对应于图 4 中的通过工具相连的子机 器人组合构型;第 1 个 2 表示运动模式为左转弯;第 二个 2 表示该小组中子机器人的数目等于 2;40 表 明领导者的速度应该等于 40 mm/s。领导者子机器 人的计算模块通过匹配该模式与状态表中相对应的 模式，再根据自1 =40 和左转弯计算出跟随者子机器 人的速度，然后把两个速度分别与子机器人的 ID 号 相匹配，发送给 CAN 总线，子机器人组从 CAN 总线 上接收到运动控制命令后同时运动。 5 结论 本文提出了可重构星球探测系统初步的协调控 制体系和通讯协议，提出了以分散式和集中式相结 合，以完全分散式控制为发展方向的复合式控制体 系，并对此进行了试验研究。 致谢:本研究是与日本东京工业大学 Shigeo Hi rose 教授合作完成，感谢 Shigeo Hirose , Atsushi Kawakami , Kazuhiro Motomura 的帮助。 [参考文献] [1] 刘方湖，陈建平马培苏等.行星探测机器人的研究现状和发展 趋势 [J]. 机器人，2∞2 ，24(3) :268 -275 [2] Koshiyama A, Y曲曲lji K. Desi伊 and control of an all也rectin st自由g type mobi1e robot[ J]. The International Journal of Ro阳 botiωR臼阳ch ， 1993 ,12(5): 411 -419 [3] Hayati S, Volpe R , B配kes P, et al. The rocky 7 rover: a mars 回ien四 craft prot啕pe[A]. ProωedJngs of the mEE Intema tional Conference on Robotiωand Auω，mation [ C ], New- York: 1997:124-129 [4] Yim M, Zhang Y, Duff D. Modular robots[ A]. mEE Sp剧rum [町， NewYork: 2∞2:214 -219 [5] ShenWM , LuY , W山 P. Hormone-based control for self-recon- 8♂rable robots [ A]. Procee曲gs of International Conferen，ω onAu阳跚跚地nts[ C] , Barcelona, Spain , 2则 :412 -416 [ 6] Hirose S. Super-m田hano-ωlony and SMC rover with detachable wheel units[ J]. Procee也gs COE Work曲op ， 1999 ,11 (3) [7] 张力平，马书根，李斌，张政，曹秉刚.可重构星球探测机器人 运动学建模及轨迹规划 [J]. 西安交通大学学报， 2005 ， 39(1) : 1110 甸 1114 (上接第 415 页) 4 结论 本文针对麦克纳姆轮全方位轮在一个方向上为 主动，在与其垂直的方向上是从动的特点，根据刚体 运动学，对一种四轮全方位轮式移动机器人的运动 学方程进行了推导，建立运动学模型。最后，基于滚 动窗口路径规划，通过计算机仿真与实验对比，结果 表明机器人在该模型控制下运动轨迹与计算机仿真 结果一致，表明该模型正确、可行。对于机器人振 动、打滑较严重问题需做进一步研究。 [参考文献] [1] West M, Asada H H. Design and control of ball wheel omnidi rectional vehicles [ A] .民"oc时旭gs oC 也 1995 mEE Intema tional Conference on Robo阳刚 Automation[ C] , 1995 T.曲。ub K A , Asada H H. Dynamics analysis and control of a holonomic vehicle with a continuously variable 国nsmi田ion[J]. ASME Journal oC 助namic Sy幽幽， Measureme时， and Control , 2002 ,124(3) :118 -126 [2] [口3] Muir P F , Ne四:un口ma 。of 皿 omnidirectional wheeled mobile robot[ A]. 民"oc时旭gs of 也e 1987 mEE Intemational Conference on Robotiωand Automation[ C] , 1987: 1772 - 1778 [ 4 ] Wi1son L, Wi1liams C, Yance J , et al. Design and modeling of a redundant om时-directional RoboCup Goalie [ A]. prω时ings RoboCup2∞ 1 Intemational Sym归sium[ C] , SealÙe:2∞l [5] Carter B ，也od M, Dorohoff M, et al. Mechanical design and modeling of an omni-directional RoboCup player[ A]. RoboCup AI Conference[ C] , SealÙe WA: 2∞1: 1 -10 [6] Pin F G, Killough S M. A new fi四世y of omnidirectional and 协 lonomic wheeled 抖atforms for mobile robots[ J]. ÆEE Transac tions on RobotiωandAuωmation ， 1994 ,10(4) :480 阳 489 [7] M∞re K L, F1ann N S. A six-wheeled omnidirectional auton mous mobile robot [J]. mEE Control Sy.血m Magazine , 2000 ,20(6) :53-66 [8] 孙刚，李永新，反骄阳等. Robocup 小型足球机器人的运动分 析与控制[J].自动化与仪表， 2∞3 ， (6) :48 斗l [9] 张翩，熊蓉，祷健，丁冠英.一种全方位移动机器人的运动分 析与控制实现 [J] .浙江大学学报，2侧， 38(12) :1650 -1672 [lO] 聂晓璐，赵臣.全方位小型足球机器人的运动学分析[J] .机 械科学与技术， 2腑， 26(11) :1归8 -1052 [11 ] 赵冬斌，易建强，邓旭.全方位移动机器人结构和运动分析 [J] .机器人， 2∞3 ，25(5) :394 -398 [ 12] Tamás Kalmár-Nagy, et al. Near-op由nal dynamic 时ect。可 gen­ eration and control of an omnidirectional vehicle [ J]. Robotiα 皿dAuω.nomous Sy.晦圃， 2∞4 ，46(1) :47-64 [13] 傅卫平，张鹏飞，杨世强.基于行为动力学的机器人滚动窗口 [8] 王明辉，马书根，李斌等.可重构星球探测机器人控制系统的 路径规划[J] .计算机工程与应用， 2∞9 ，45(2) :212 -215 设计与实现 [J] .机器人， 2∞5 ， 27(3) :56-ω [14] 杨世强，傅卫平.基于行为动力学的智能机器人导航行为演 化研究[J].应用力学学报， 2∞8 ， 25(1) :66 -70