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电子科技大学信号检测与估计知识点总结3（开卷考试比PPT好用的多）.doc
第二章 检测理论
1．二元检测：
1 感兴趣的信号在观测样本中受噪声干扰，根据接收到的测量值样本判决信
号的有无。
2 感兴趣的信号只有两种可能的取值，根据观测样本判决是哪一个。
2．二元检测的数学模型：
感兴趣的信号 s，有两种可能状态：s0、s1。在接收信号的观测样本 y 中受到
噪声 n 的污染，根据测量值 y 作出判决：是否存在信号 s，或者处于哪个状态。
即：
y(t)=si(t)+n(t)
i=0,1
假设：H0：对应 s0 状态或无信号，
H1：对应 s1 状态或有信号。
检测：根据 y 及某些先验知识，判断哪个假设成立。
3. 基本概念与术语
先验概率：不依赖于测量值或观测样本的条件下，某事件（假设）发生或
成立的概率。p(H0),p(H1)。
后验概率：在已掌握观测样本或测量值 y 的前提下，某事件（假设）发生
或成立的概率。 p(H0/y),p(H1/y) 。
似然函数：在某假设 H0 或 H1 成立的条件下，观测样本 y 出现的概率。
似然比：
)(
yL
(
Hyp
(
Hyp
|
|
)
)
1
0
虚警概率
漏报概率
fP
mP
：无判定为有；
：有判定为无；
（正确）检测概率
：有判定为有。
[
CP
10
10
4.1 最大后验概率准则（MAP）
平均风险：
(
HP
[
CP
00
]
)
r
0
dP
00
CP
01
01
CP
11
11
]
(
HP
)
1
在二元检测的情况下，有两种可能状态：s0、s1，
根据测量值 y 作出判决：是否存在信号 s，或者处于哪个状态。即：
y(t)=si(t)+n(t)
i=0,1
假设：H0：对应 s0 状态或无信号，
H1：对应 s1 状态或有信号。
如果
否则
|
(
yHP
0
(
)
|
yHP
1
利用贝叶斯定理：
可以得到： 如果
如果
定义似然比为：
得到判决准则： 如果
0
0
0
0
)
0
|
1
|
)
|
(
yHP
成立，判定为 H0 成立；
(
)
yHP
成立，判定为 H1 成立。
)(
(
)
(
|
ypyHP
HPHyp
(
(
)
)
(
|
|
HPHyp
HPHyp
0
(
)
(
)
(
|
|
HPHyp
HPHyp
1
|
(
|
)(
(
/)
Hyp
yL
Hyp
1
)(
(
yL
HP
th
MAP
0
)(
(
th
HP
yL
MAP
(
HP
1
(
HP
0
)
/)
/)
)
)
1
)
(
(
(
如果
)
)
)
1
1
0
0
0
成立，判定为 H0 成立；
成立，判定为 H1 成立；
成立，判定为 H0 成立；
)
)
成立，判定为 H1 成立；
1
这就是最大后验准则。最佳门限值由先验概率决定。要求在先验概率已知
的条件下进行判决。
已知：先验概率、在各种假设条件下的概率分布/密度函数。
判决依据：观测信号样本。
判决准则：后验概率最大化。
数学描述：似然比是否超过门限。其中门限值为先验概率的比值。
即：以观测样本为依据，以似然比为检测统计量，以后验概率最大为衡量标准（准
则），以先验概率比为检测门限。
4.2 最小错误概率准则
成立，判定为 H0 成立；
成立，判定为 H1 成立。
如果
否则
(
|
yHP
0
(
)
|
yHP
1
可以得到： 如果
如果
定义似然比为：
得到判决准则： 如果
0
0
)
(
|
)
yHP
1
|
)
(
yHP
(
|
)
(
HPHyp
(
)
|
(
HPHyp
1
|
(
)(
Hyp
yL
1
)(
yL
th
)(
th
yL
如果
1
(
(
)
1
)
(
|
)
HPHyp
0
(
|
)
HPHyp
0
/)
)
(
Hyp
0
(
(
/)
HP
HP
1
0
(
(
/)
HP
HP
)
)
|
1
0
)
)
成立，判定为 H0 成立；
成立，判定为 H1 成立；
1
0
成立，判定为 H0 成立；
成立，判定为 H1 成立；
结论与最大后验准则完全一致！
即：以观测样本为依据，以似然比为检测统计量，以错误概率最小为衡量标准（准
则），以先验概率比为检测门限。
5.1 贝叶斯准则
贝叶斯准则就是以代价最小化为基准的检测判决准则。
平均代价：
/
(
HHPCHPC
(
HHPCHP
)
0
)
0
/
00
(
(
0
)
)
)
(
/
HHPCHP
0
(
)
HHPCHP
0
)
1
/
10
(
(
1
11
1
01
1
1
0
1
)
判决准则：
如果
)(
yL
th
B
如果
)(
yL
th
B
成立条件：
)(
(
CHP
10
)(
(
CHP
0
01
1
)(
(
CHP
10
)(
(
CHP
0
01
1
00
C
C
11
)
)
00
C
C
11
)
)
成立，判定为 H0 成立；
成立，判定为 H1 成立；
已知两种假设条件下的概率密度函数；
已知先验概率；
已知代价函数。
5.2 贝叶斯准则与最大后验概率准则和最小错误概率准则之间的关系
当
C
10
C
00
C
01
C
11
时，即当两种假设条件下错误判决与正确判决的风
险之差为定值（二者相等）时，贝叶斯准则的判决门限仅取决于先验概率
比值，此时贝叶斯准则蜕化为最大后验概率准则。此时代价因子在判决过
程中不起作用。
当满足代价：C00=C11 =0, C10=C01=1 条件时，即：正确判决无代价，错
误代价相同。贝叶斯准则蜕化为最小错误概率准则。
如果在判决过程中完全忽略代价、先验概率对判决结果的影响。直接把判
决门限取为 1，贝叶斯准则蜕化为最大似然准则
贝叶斯准则的意义是在先验概率已知条件下，对于给定（预先设定）代价函数，
平均代价最小的判决方式。
6. 极大极小化准则
当先验概率未知时，通过微分求极值，得到：
1[
CxPC
11
)(
xPC
10
(
xP
f
)(
1[
)]
C
01
m
00
f
(
xP
m
)]
上式称为极大极小化方程，其中左侧代表 H0 假设时的代价，右侧代表 H1 假设发
生时代价，该方程就是的解就是使得两者代价平衡。
求解得出对应贝叶斯风险最大时的先验概率 P(H0)=x=x0 。此时实际风险对
于未知先验概率 x 的斜率为 0。即极大极小化解与两个条件风险相等的点相对应。
在数值上等于在各种可能的先验概率中贝叶斯风险的最大值。
如果
)(
yL
th
B
1(
(
Cx
10
0
)(
Cx
0
01
)
C
00
C
11
成立，判定为 H0 成立；
)
如果
)(
yL
th
B
1(
(
Cx
0
10
)(
Cx
0
01
)
C
00
C
11
成立，判定为 H1 成立；
)
极大极小化准则只需要预知风险系数，但不需要预先知道先验概率。
7. NP 准则
聂曼-皮尔逊（Neyman-Pearson）准则：在虚警概率一定的条件下，使检测（发
已知：观测样本的概率密度函数
定义似然比为：
)(
yL
(
Hyp
|
/)
1
现）概率最大的判决准则。
),
1
)
(
|
HypHyp
(
Hyp
)
(
|
|
0
0
如果
判决准则：
)(
yL
)(
yL
如果
th
th
NP
NP
成立，判定为 H0 成立；
成立，判定为 H1 成立；
门限由给定的虚警概率
fP
决定。
即使在观测样本的概率密度函数
(
1Hyp
|
)
未知，仅
(
0Hyp
|
)
已知时也可以应
用。仅需要关于噪声的概率分布情况，而不需要关于信号的任何先验信息。
检测准则及其必备条件
必备条件
准则
贝叶斯
MAP
极大极小化
Neyman-Pearson
先验概率
代
价
是
是
否
否
是
否
是
否
8. 最大似然准则
最大似然准则：
0
0
1
|
|
|
|
)
)
)
)
判定为无信号。
判定为有信号；
(
Hyp
(
Hyp
(
Hyp
1
(
Hyp
即等价的似然比门限取值为 1。
9. 序贯检测与延时判决
似然比检测准则：利用一个受噪声干扰的观测样本，计算似然比
)(yL
，然后与某
准则下的门限进行比较，作出判决。
输出：只有两种选择：有或无。
物理本质：在虚警和漏报这两种错误之间进行权衡。二者此消彼长，在临界区域
（即信噪比比较低时）顾此则失彼。
存在的问题：随机问题用单个样本分析的结果而不是统计处理的结果进行抉
择，进而做决策。信息量严重匮乏，能力受限。
判决准则调整为：
统计处理：序贯检测+延时判决
D
1
?,
D
0
)(
yD
,
th
c
,
)(
th
yL
a
)(
yL
th
a
)(
yL
th
c
其中
ath
和
cth
分别为上、下门限值。似然比高于上门限，判为有信号，低于
下门限，判为无信号。
增加一个选择判断的出口，待定。 如果不能得出一个合理、可靠、低风险
的结论，不妨暂缓。稍晚作出一个正确的判决总比过早地作出一个错误的判决风
险要低得多。
延时判决当然不是消极的等待，而是要通过序贯的多次的测量获取更多的观
测样本，为作出正确判决提供强有力的物理支撑。
10. 二元假设下的多样本检测
如果判决时所依据的观测样本有 k 个，则数学上可通过定义如下的列向量来
简化表示：
y
[
,
yy
1
,
2
,
ky
T
]
多样本条件下的条件概率即似然函数可表示为：
)(
yp
0
)(
yp
1
1
(
,
yyp
,
(
yyp
1
,
,
2
2
k
k
Hy
Hy
,
,
|
|
)
)
0
1
似然比为：
)(
yL
)(
yp
1
)(
yp
0
对应的判决是 k 维空间的判决问题。其全空间可以划分为两个区域 R0 和 R1。
如果向量 位于区域
iR
，i=0 或 1，则判决为 。
iD
y
多重测量样本：可以是时域、频域、空域中的同类样本，也可以是来自于不同测
量方式、不同类型的样本。
多样本数据的数学表达与物理意义：
i
j
)(
uy
j
)(
us
ij
(
un
j
),
e
1,0
j
,1,0
,
k
其中 u 可以是时间 t、频率 f、角度θ 或其它参数域符号。
下角标 i=0,1，分别表示两种假设的信号状态；j 为 k 个样本的序号。
α与β分别对应于待测信号在传播过程中的衰减与相移。
判决准则与门限：门限与单个样本时完全一样，差别仅在于似然比的计算是基
于 k 维的联合条件概率密度比得到。
贝叶斯准则：
当
)(
yL
th
B
当
)(
yL
th
B
)(
(
CHP
10
)(
(
CHP
0
01
1
)(
(
CHP
10
)(
(
CHP
0
01
1
00
C
C
11
)
)
00
C
C
11
)
)
成立，判定为 H0 成立；
成立，判定为 H1 成立；
最小错误概率准则和最大后验准则：
当
)(
yL
th
B
(
HP
(
HP
)
)
0
1
成立，判定为 H0 成立；
当
)(
yL
(
HP
(
HP
极大极小化准则：
B
th
)(
yL
当
th
B
)
)
0
1
成立，判定为 H1 成立；
(
Cx
10
0
)(
Cx
0
(
Cx
10
0
)(
Cx
0
)
C
00
C
11
01
)
C
00
C
11
01
1(
1(
成立，判定为 H0 成立；
成立，判定为 H1 成立；
)
)
th
B
)(
yL
当
NP 准则：
)(
yL
th
当
)(
th
yL
th
其中门限
当
NP
NP
NP
成立，判定为 H0 成立；
成立，判定为 H1 成立；
由限定的虚警概率依据多个样本的联合概率密度函数决定。需要进
行多重积分计算概率进而得到相应的门限值。
似然比的计算也是基于 k 维的联合条件概率密度比得到。
11.1 确知信号的检测----匹配滤波器
观测信号的数学描述：
)(
ty
)(
ts
)(
tn
)(ts
是待检测的目标信号，波形已知。 是含有噪声的观测信号样本。
)(ty
最优准则（最佳的条件）：最大输出信噪比 。（使输出信号峰值处的瞬时功率相
对于输出噪声平均功率的比为最大。）
信号：波形确知。 （除了时延和幅度外的所有信息）
噪声：平稳、高斯、加性、白噪声；
信号和噪声统计独立。
系统：线性时不变系统
信道：单途径时不变信道
时域系统函数：
)(
th
(
tsk
系统函数由信号波形确定
t
)
0
频域系统函数：
)
(
H
Sk
)
(
e
jwt
0
物理实现：根据系统函数设计滤波器。
基本性质：
对输入波形相似，幅度、时延不同的信号具有适应性；对频移信号其处理
能力降低。（若有多普勒频移则处理性能下降）
输出波形形状为信号的自相关积分，并且关于峰值点对称。
峰值点位置出现在信号的后沿时刻，输出峰值正比于输入信号的能量。
时间压缩效应：
处理增益：10lg(BT)，正比于时间带宽积。
输出信噪比：2E/N0，与波形细结构无关。
其中 B、T、E、N0 分别是系统带宽、观测时间、信号能量、噪声的功率谱密度。
模糊度函数：信号的固有特性，物理上用于表征该信号在时频平面上的可分辨能
数学上定义为：
力。
|
,(
,(
)
)
,(
|)
)(
(
tsts
)
2
)
,(
(
ts
)
e
j
2
t
dt
(
ts
e
j
2
t
dt
)
2
匹配滤波器的输出为时延和多普勒为 0 时的信号的模糊度函数。信号的模糊
度函数是带有时延和多普勒频移的匹配滤波器的输出。对信号的分辨能力取决于
信号本身。
11.2 确知信号的检测----相关接收机
拷贝相关器数学描述：
Rxz
)(
()(
tztx
)
dt
其中 z(t)是主动系统发射信号的拷贝（副本）。
拷贝相关器与匹配滤波器在性能上等价。
基本性质与适用条件（具体实现方法除外）可完全套用匹配滤波器。
对数字系统，相关器可以在时域通过移位乘累加实现，物理上比匹配滤波器更
容易实现，应用也更加广泛。
拷贝相关器与自相关器、互相关器的差异：
（*与匹配滤波等价的只有拷贝相关器，拷贝相关器与自相关器、互相关器
不具有替代性）
自相关：功率谱估计、能量估计、信道估计；单输入（无处理增益）
互相关：互谱、时延差估计、被动测距、被动测向；（有处理增益）
拷贝相关：主动系统，时延估计、确知信号检测。
输入信号条件、特点不同；
处理效果不同。
应用背景不同。
12. 接收机工作特性曲线（ROC）
系统的检测性能与信噪比和门限两个量相关。
关心两个量：虚警和检测概率。
可以由信噪比和门限两个量作为参量，分别以虚警概率和检测概率为横
轴、纵轴，形成 ROC 曲线。
13.随机参量信号的检测
一个确知信号在发射端发射，经信道传输及目标反射后到达接收端接收，信
号受到的影响包括：
传感器频响特性的影响产生的波形畸变；（先验）
接收、发射两端电路的影响。（先验已知）
信道的影响：
传播时延； (与介质、路径有关)
传播衰减； （影响了信号的幅度和能量）
多普勒频移； （有相对运动就会造成多普勒）
相移。 （换能器、电路、信道均会引入相移）
叠加了加性噪声、非加性干扰。（随机）
即除了噪声的影响外，幅度、频率、时延、相位等参数都引入了随机性变化。
应对策略：
1. 化未知为已知，即，先估计随机参量，相应的调整处理器的结构或参数，在
此基础上进行检测。
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