2020年北京高考数学试题.doc-资料库

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2020 年北京高考数学试题本试卷共 5 页，150 分，考试时长 120 分钟．考试务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共 40 分）一、选择题 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合 A   { 1,0,1,2} ， B  { | 0 x   ，则 A 3} x B  （）．  B．{0,1} A．{ 1,0,1} 2．在复平面内，复数 z 对应的点的坐标是 (1,2) ，则 i A．1 2i B． 2 i   z C．1 2i C．{ 1,1,2}   （ 3．在 ( A． 5 x  的展开式中， 2x 的系数为（ 2) 5 B．5 ）． C． 10 ）． D．{1,2} D． 2 i   D．10 4．某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）． A．6 3 B． 6 2 3  C．12 3 D．12 2 3  5．已知半径为 1 的圆经过点 (3,4) ，则其圆心到原点的距离的最小值为（）． A．4 B．5 C．6 D．7 6．已知函数 ( ) 2 f x  x A． ( 1,1)  C． (0,1)   ，则不等式 ( ) f x  的解集是（ 0 x 1 ）． B． (     , 1) (1, ) D． (    ,0) (1, ) 7．设抛物线的顶点为O，焦点为 F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O的一点，过 P 作 PQ l 于Q ，则线段 FQ 的垂直平分线（）．

A．经过点O C．平行于直线OP 8．在等差数列 na 中， 1 a   ， 3 9 a   ．记 1 B．经过点 P D．垂直于直线OP T n  a a 1 2 … ( a n n 1,2, … ，则数列 nT ) （）． A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 9．已知 , R  ，则“存在 k Z 使得 k     ( 1)k  ”是“ sin sin  ”的（）． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数 n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为 2的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（）． A． 3 n C． 3 n sin sin        30 n  60 n  tan  tan  30 n  60 n       B． 6 n D． 6 n sin sin        30 n  60 n  tan  tan  30 n     60 n    第二部分（非选择题共 10 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 11．函数 ( ) f x  x 1  12．已知双曲线 C :  ln x  2 y 3 的定义域是____________． 1  ，则 C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线 1 2 x 6 的距离是_________． 13．已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 P满足   PB PD _________．   AP  1 ( 2   AB AC  ) ，则|  |PD  _________； 14．若函数 ( ) f x  sin( x   ) cos  x 的最大值为 2，则常数的一个取值为________． 15．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企

业要限期整改、设企业的污水摔放量 W与时间 t的关系为 W f  ( ) t ，用  ( ) f a ( ) f b   b a 的大小评价在[ , ]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示。给出下列四个结论： ①在 2,t 1  t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在 2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在 3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在 0, t 1   , t 1 , t 2   , t 2 ,  t 这三段时间中，在 3 10,t 的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．三、解答题共 6 小题，共 85 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16．（本小题 13 分）如图，在正方体 ABCD A B C D 1 1 1  1 中，E为 1BB 的中点．（Ⅰ）求证： 1 / / BC 平面 1AD E ；（Ⅱ）求直线 1AA 与平面 1AD E 所成角的正弦值．

17．（本小题 13 分）在 ABC 中， a b  ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： 11 （Ⅰ）a的值：（Ⅱ）sin C 和 ABC 的面积．条件①： c  条件②： cos 7,cos 1 8 A  ,cos A   ； 1 7 B  ． 9 16 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题 14 分）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生支持 200 人 350 人不支持 400 人 250 人女生支持 300 人 150 人不支持 100 人 250 人方案一方案二假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取 2 人，全体女生中随机抽取 1 人，估计这 3 人中恰有 2 人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为 0p ，假设该校年级有 500 名男生和 300 名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 1p ，试比较 0p 与 1p 的大小．（结论不要求证明） 19．（本小题 15 分）已知函数 ( ) 12 f x  2  ． x （Ⅰ）求曲线 y  ( ) f x 的斜率等于 2 的切线方程；（Ⅱ）设曲线 y  ( ) f x 在点 ( , t f ( )) t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ( )S t ，求 ( )S t 的最小值． 20．（本小题 15 分）

已知椭圆 C : 2 2 x a  2 2 y b  过点 ( 2, 1) 1 A   ，且 2 b ． a （Ⅰ）求椭圆 C的方程：（Ⅱ）过点 ( 4,0) B  的直线 l交椭圆 C于点 ,M N ,直线 ,MA NA 分别交直线 x   于点 4 ,P Q ．求 | | PB BQ | | 的值． 21．（本小题 15 分）已知 na 是无穷数列．给出两个性质： ①对于 na 中任意两项 , ( a a i i j j ，在 na 中都存在一项 ma ，使 ) 2 a i a j  ； a m ②对于 na 中任意项 ( na n ，在 na 中都存在两项 , ( a a k k 3) l l ．使得 ) a n  ． 2 a k a l （Ⅰ）若 na  ( n n   ，判断数列 na 是否满足性质①，说明理由； 1,2, ) （Ⅱ）若 na 12 ( n n   ，判断数列 na 是否同时满足性质①和性质②，说明理由； 1,2, ) （Ⅲ）若 na 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： na 为等比数列。（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

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