2014年浙江省中国计量大学高等代数考研真题.doc

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2014 年浙江省中国计量大学高等代数考研真题一、填空题（本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分）（1）设ε1 , ε 2 ,ε3 是欧氏空间 V 的一组基。α = ε 1 + ε2。这组基的度量矩阵是。则。（5）设 3 阶矩阵 A 的特征值为-1,5，2，A*是 A 的伴随矩阵,则 A* 的行列式|A*|=__________。 (6)设线性方程组为，则其通解为_________________. （7）二次型经过正交变换可化为标准型 . （8）设 4 阶方阵，则 A 的逆矩阵 . 二、选择题（本题共 9 小题，每小题 4 分，共 36 分）（1）n 阶矩阵 A 经过初等行变换得到矩阵 B，那么下列选项中正确的是（）. （A）A 与 B 有相同的特征值 b 是同解方程组（B）AX （C）A 与 B 的列向量是等价向量组（D）A 与 B 有相同的特征向量 b 与 BX （2）设 A 为 3 阶矩阵、设λ1,λ2 是两个不同的特征值，α1,α2 分别是对应的特征向量，则α1,A(α1+α2)线性无关的充要条件为（）.

（A）λ1≠0（B）λ2≠0（C）λ1=0（D）λ2=0 （3）记行列式为 f ( x)，则方程 f(x) =0 的根的个数为（）. (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 （4）设 A 为 n 阶矩阵，A 经过若干次初等变换后，得到矩阵 B，（）. （A）则必有|A|=|B|（B）则必有|A|≠|B| （C）若|A|=0，则必有|B|=0（D）若|A|＞0，则必有|B|＞0 （5）设 A 是 n（n≥2）阶可逆矩阵，A*是 A 的伴随矩阵，则（A*）*=_______. （6）设二次型，则 f 是正定二次型的充要条件是（）. （A）a>0（B）a>5C）a>10（D）a>25 （7）n 维向量组α1,α2,……..αs 线性无关的充分条件是（）. （A）α1,α2,……….αs 均不是零向量（B）α1,α2,……….αs 中任意两个向量的分量不成比例（C）向量α1,α2,…….αs 的个数 s < n （D）某向量β可以由α1,α2,………..αs 线性表示，且表示式唯一（8）设 A 是 m× n 矩阵，则 Ax=0 有非零解的充分必要条件是（）. （A）m

正交矩阵. （2）（9 分）已知 A 的其它特征值. 的特征向量，求 h,k 和α的特征值，以及（3）（9 分）已知矩阵 A 的伴随矩阵，矩阵 B 满足方程，I 是 n 阶单位矩阵。求 B. （4）（9 分）设η1 与η2 是 Ax=b（b≠0）两个不同解（A 是 m×n 矩阵），ξ是 Ax=0 的一个非零解，证明 ①向量组η1，η1-η2，线性无关. ②若秩 A=n-1，则向量组ξ，η1，η2 线性相关. （5）（9 分）设 V 是一 n 维欧氏空间，α≠0 是 V 中一固定向量. ①证明是 V 的一子空间； ②证明 V1 的维数等于 n−1. （6）（9 分）当λ取何值时，线性方程组有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解. 有唯一解、无解或（7）（9 分）在次数不超过 3 的实系数多项式所成的线性空间中定义线性变换为 ,求线性变换ϕ在基下的矩阵 B. （8）（9 分）设 f(x)是一个整系数多项式。试证：如果 f(0)与 f(1)都是奇数，那么 f(x)不能有整数根. (9)（10 分）设 A 是 n 阶正定矩阵，I 是 n 阶单位矩阵。证明|A+I|>1.

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