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2010年北京普通高中会考数学真题及答案.doc
2010 年北京普通高中会考数学真题及答案
考
生
须
知
1． 考生要认真填写学校、班级、姓名、考试编号。
2． 第一部分选择题，20 个小题；第二部分非选择题，包括两道大题，共 7 个小
题。
3． 试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上做答无效。
4． 考试结束后，考生应将试卷答题卡放在桌面上，待监考老师收回。
参考公式：圆柱的侧面积 S圆柱侧
2 Rh
，其中 R 是圆柱底面半径， h 为圆柱的高．
圆柱的体积公式
2
V
R h圆柱
，其中 R 是圆柱底面半径， h 为圆柱的高．
球的表面积公式 S球
4 R
2
，其中 R 是球半径．
球的体积公式V球
3
R
，其中 R 是球半径．
4
3
第一部分（选择题 共 60 分）
一、选择题（共 20 个小题，每小题 3 分，共 60 分）
1.已知集合
A
(
x x
2)(
x
，那么下列结论正确的是
1)
0
B． 1 A
C． 2 A
D． 1 A
A． 2 A
2.如果直线 2
y
x
1 0
和 y
kx 互相平行，则实数 k 的值为
A． 2
B．
C． 2
3. 下列函数中，最小正周期为的是
1
2
A.
y
cos 4
x
B.
y
sin 2
x
4. 下列函数中，在区间(0，
2
)上是减函数的是
A．
y
cos
x
C．
y
2
x
5.函数
y =
3
x+
x
1
的定义域是
D.
y
cos
x
4
D．
1
2
C.
y
sin
x
2
B．
y
sin
x
D．
y
2
x
1
A． (
C． (
, 1)
[3,
)
, 1]
[3,
)
B．
-1, 3
D．[ 1,3]
6.实数
3
29 -
log
log 2
3 · 2
3
1
4
+lg4+2lg5 的值为
A． 25
7. 设
f x
lg
x
B． 28
C． 32
D． 33
， 用 二 分 法 求 方 程 lg
3
x
x 在
3 0
x
2, 3 内 近 似 解 的 过 程 中 得
f
2.25
0,
f
2.75
0,
f
2.5
0, (3) 0,
则方程的根落在区间（
f
）．
A． (2,2.25)
B． (2.25, 2.5)
C． (2.5, 2.75)
D． (2.75, 3)
8.函数 y =3 x 为（
）．
A．偶函数且在(0，+∞)上是减函数
B．偶函数且在(0，+∞)上是增函数
C．奇函数且在(-∞，0)上是减函数
D．奇函数且在(-∞，0)上是增函数
9. 在空间中，a 、b 是不重合的直线，、是不重合的平面，则下列条件中可推出 //a b
的是
A．
a
C．
a
b
,
b
//
,
,
B． //
a
b
,
D．
a
b
,
10.如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中正确的是
A. AB CD
C. AD AB AC
B. AB AD BD
0
AD BC
D.
D
C
A
B
11.从 1，2，3，4 这 4 个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是奇数的概率是
A．
1
6
B．
1
4
C．
D．
1
2
1
3
1
2
12. 数列{an}中，如果 1
a
n
2 ,
a
n
(n∈ *N )，且 1
a ，那么数列{an}的前 5 项的和 5S 等
于
A．
31
4
B．
31
2
C．
31
4
D．-
31
2
13.圆心在点
)1,2(C
，并经过点
,2(
A
)2
的圆的方程是（
）
A．
(
x
2
)2
(
y
2
)1
C．
(
x
2
)2
(
y
2
)1
5
5
B．
(
x
2
)2
(
y
2
)1
25
D．
(
x
2
)2
(
y
2
)1
25
14．按照程序框图（如右图）执行，第 3 个输出的
数是
A．7
B．6
C．5
D．4
15. 已知实数 x 、 y 满足约束条件
x
y
x
B.20
2
2
y
6
,则
z
2
x
4
y
的最大值为
C.16
16. 已 知 向 量 a
=(4,-2) ， b
=(cos α ,sin α ) ， 且 a
b
， 则 tan 2 ＝
A.24
D.12
A.
4
3
B.
（
4
3
logn
）
C.
4
5
D.
4
5
x
的图象，其中 m 、 n 为常数，则下列结论正确的是
17.如图为函数
y m
A.
C.
0m ， 1n .
0m ， 0
1n .
B.
D.
0m ， 1n .
0m ， 0
1n .
y
O
1
2
x
18. 已知棱长为 2 的正方体的八个顶点都在同一个球面上，若在球内任取一点，则这一点 q
恰在正方体内的概率为
A．
3
4
C．
2 3
3
B．
3 2
2
D．
1
3
19.在金秋的苹果节上，某商家将参展的苹果摆成 16 层，从上到下每层的苹果数是一个等
差数列.已知第 8 层和第 9 层共有苹果 40 个，则此商家参展的苹果共有（ ）
A. 300 个
B.320 个
C.340 个
D.360 个
20.已知某种笔筒，其三视图如右图所示（单位：cm）.
现要为100 个这种相同规格的笔筒涂色（笔筒内外均．．．
要涂色．．．，笔筒厚度忽略不计）. 如果每 0.5 kg 涂料可
8
以涂 2
1 m ，那么为这批笔筒涂色约需涂料
12
A.1.23 kg
C. 2.46 kg
B.1.76 kg
D．3.52 kg
正视图
侧视图
俯视图
第二部分 （非选择题 共 40 分）
二、填空题（共 4 个小题，每小题 3 分，共 12 分）
2
. 若
a b
，则 a 与 b
3
21.已知
a
,3
b
夹角的大小为
.
22.一个社会调查机构要了解某地区 8000 名教师的月收入情况，从中随机抽取 400 名进行
调查，调查结果如下表所示：
月收入
[1000,2000)
[2000,3000)
[3000,4000]
4000以上
教师人数
60
264
56
20
则该地区月收入在[2000 4000]， 的教师估计有_________名.
23. 在 R 上 定 义 运 算
a
c
b
d
ad bc
. 若
sin(
)
， 则
3
5
cos
sin
sin
cos
的 值 是
______________ ．
24. 已 知 圆 C 的 方 程 为
2
x
2
y
2
x
8
0
， 写 出 一 条 与 圆 C 相 切 的 直 线 的 方
程
．（写出一个满足题意的直线方程即可）
三、解答题（共 3 个小题，共 28 分）
25.（本小题满分 8 分）
如图，在四棱锥 S ABCD
ABCD 为矩形，点 E 为 SB 的中点.
（Ⅰ）求证： AB SC ;
（Ⅱ）求证： SD ∥平面 AEC .
中， SB 底面 ABCD ,底面
A
26. （本小题满分 10 分）
S
E
B
D
C
BC
2 3
，设 B x
，△ ABC 的周长为 y .
4
y
y
在△ ABC 中，已知
，边
A
3
，求边 AC 的长；
（Ⅰ）若
x
（Ⅱ）求函数
（Ⅲ）求函数
( )
f x
( )
f x
的解析式，并写出它的定义域；
的值域.
27.（本题满分 10 分）
定义函数
y
( )
f x
：对于任意整数 m ，当实数 x
m
(
（Ⅰ）设函数的定义域为 D ，画出函数 ( )
f x 在
x D
,
m
1
2
[0,4]
）时，有 ( )
f x m ．
1
2
上的图象；
（Ⅱ）若数列
na
2 10(
2
5
n
)
（
*Nn ），记
S
n
(
(
f a + f a + + f a
)
(
)
1
2
)
n
，求 nS ；
（Ⅲ）若等比数列{ }nb 的首项是 1 1
b ，公比为 (
q q ，
0)
(
f b
又 1
)
(
f b
2
)
(
f b
3
)
，求公比 q 的取值范围．
4
y
4
3
2
1
O
1
2
3
4
x
数学参考答案
一、选择题（共 20 个小题，每小题 3 分，共 60 分）
题号
答案
题号
答案
1
A
11
A
2
D
12
B
3
B
13
D
4
A
14
C
5
B
15
B
6
D
16
A
7
C
17
D
8
B
18
9
A
19
10
C
20
C
B
D
二、填空题（共 4 个小题，每小题 3 分，共 12 分）
7
25
3
6400
21.
23.
22.
以）
三、解答题（共 3 个小题，共 28 分）
25.（本小题满分 8 分）
24.
x （只要正确就可
4
（I）证明：
平面
SB
SB AB
ABCD AB
,
平面
ABCD
…1 分
ABCD
平面
AB BC
是矩形，
………………2 分
平面
SBC
， ，
平面
BC SB B BC SB
AB
AB SC
……………………………4 分
（II）证明：连接 BD AC=O,连接 OE……….5 分
SBC
平面
ABCD
O BD
点 为 中点
是矩形，
在
SBD
中， 为 中点
E SB
S
E
B
D
O
C
A
∴OE∥SD……………………………………………7 分
∵ OE
平面
AEC
， SD
平面
AEC
∴SD∥平面 AEC…………………………………….8 分
26.（本小题满分 10 分）
解：（I）
A
3
,
B
4
,
BC
2 3
，由正弦定理，得：
AC
sin
4
,
BC
sin
3
AC
4
BC
sin
3
sin
2
2
2 3
3
2
2 2
………………………3 分
(II)△ABC 的内角和 A+B+C=，且
A
B x C
,
，
0
,
3
2
3
C
2
3
x
0,0
x
.
…………………4 分
由正弦定理，知 2 3
sin
3
b
sin
x
c
2
3
,
)
x
sin(
即
y
所以
2
3
（没写定义域或写错扣 1 分）
4sin(
4sin
x
x
) 2 3 (0
x
c
b
2
)
3
(III)由(II)知，
y
4sin
x
4sin(
4sin
4sin(
x
2
x
3
)
…………………..6 分
x
) 2 3 (0
x
2
)
3
2
3
5
)
x
6
6
时，有 1
sin(
2
………..8 分
x
6
) 1
.
6sin
x
4 3 sin(
x
2 3 cos
2 3
) 2 3(
6
5
6
6
) 2 3
6 3
2
3
x
6
x
6
x
6
4sin(
x
由正弦函数的图象知，当
于是， 4 3
4 3 sin(
，
所以，函数
y
4sin
x
) 2 3 (0
x
2
)
3
的值域是
(4 3,6 3] ………………………………………………………………………………..10 分
27.（本题满分 10 分）
(I)
y
4
3
2
1
图象如图所示， O
1
2
3
4
x
…………….3 分
(II)由于
na
2 10 (
2
5
) ,
n
所以
(
f a
n
)
6
n
4
n
3
n
2
n
1
2
3
4
,
…………4 分
因此，
S
n
6
n
10
n
7
2
n
n
1
2
3
；……………………………………6 分
(
f b
(III)由 1
)
(
f b
2
)
(
f b
3
)
，且 1 1
b ，得
4
( )
f q
2
(
f q
)
3,
当0
1q 时，则 2
q
q ，所以
1
2(
f q
)
( )
f q
f
(1) 1
，
则
( )
f q
(
f q
2
)
不合题意；
3,
2
当 1q 时，则 2
q
q ，所以
1
2(
f q
)
( )
f q
f
(1) 1
.
又
( )
f q
(
f q
2
)
3,
只可能是
( ) 1
f q
)
(
2
f q
2
,
即
1
q
2
3
2
3
2 ,
5
2
q
2
解之得
6
2
q ……….10 分
3
2
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