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2018年广东暨南大学高等代数考研真题.doc

发布时间：2022-09-15 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.20M 资料格式：doc 举报 版权申诉
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    二、（10分）求多项式与
    2018 年广东暨南大学高等代数考研真题 学科、专业名称：数学学科、基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、 运筹学与控制论专业 研究方向：各方向 考试科目名称：高等代数 考试科目代码：810 考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。 一、填空题（将题目的正确答案填写在答题纸上。共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。） 1、设 A 为 3 阶矩阵, A 1 3 , 求 (3 )  A 1 5 * A = 。 2、当实数 t 时，多项式 3 x tx  有重根。 2 3、取值 时，齐次线性方程组 x    1  2 x   1   x x  2 1 2 4 x   2 (2 ) x   2 x    3 x 3  0  x 3 0  0 有非零解。 4、实二次型 ( , f x x x 3 , 1 2 )  T 2 X AX x 1   2 ax 2  2 2 x 3  bx x ( 1 3 b  ，其中二次型的矩阵 A 0) 的特征值之和为 1，特征值之积为-12，则 a = ，b = 。 5、矩阵方程 X 1 2 3 4           1 3 2 4    , 那么 X  。 6、已知向量   1  0,0,1   ， 2     1 2 , 1 2 ,0     ， 3     1 2  , 1 2 ,0    是欧氏空间 3R 的一 组标准正交基,则向量    2,2,1  在这组基下的坐标为 。 7、已知矩阵 ,A B 均可逆， X     0 A  B   0 ，则 1X   。
    8、4 阶方阵       2 2 2 2 0 2 2 2 0 0 2 2 0 0 0 2       的 Jordan 标准形是 。 9、在欧氏空间 3R 中，已知      ，  2, 1,1    1, 2,1   ，则与的夹角为 （内 积按通常的定义）。 10、设三维线性空间 V 上的线性变换在基 , ,   下的矩阵为 基 2 3 1 ,  1 3 , 2 下的矩阵为 2 0 0      2 1  2 1    1   1  ，则在 。 二、（10 分）求多项式 ( ) f x  3 2 x 2  3 x  2 x 与  3 ( ) 3 g x  x 3  2 4 x  7 的最大公因式。 三、（10 分）计算行列式 D n  x a 1  a 2  a n x a 2 a 1   a n     a 1 a 2   x a n 。 四、（15 分）设线性方程组 2      x x x 3 1      x x x  1 3     x x x  3 2  2 1 3     2 2 讨论取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？在方程组有无穷多解时，试用其导 出组的基础解系表示其全部解。 五、（15 分）设 A 为 n 级实对称矩阵， 2 2A A ， A 的秩等于 r （ r 0 n ）。
    （1）证明：存在正交矩阵T ，使 1 T AT     rE 2 0 0 0    其中 rE 是 r 级单位矩阵. （2）计算 A E n 。 六、(15 分) 设二次型  f x x x 3 , , 1 2   2 x 1  2 2 x 2  4 xx 1 2  4 xx 1 3 ,求出非退化线性变换将上 述二次型替换成标准形 七、(15 分)V 为数域 F 上四维向量空间，   1  0,1,2,1  ，   2  1, 1,1,1   ，   3   1,2, 1，0  ，   4  7,1, 1,3  ，V 的子空间  V  1 2  ,L 1 ， V  2  4 ,L 3 ，试求 1 VV  和 2 V  的基 1 V 2 与维数。 八、（15 分）设是线性空间V 的线性变换且 2   。令  V V 1 ， V 2  01 。 证明: VV 1 V  2 且对每个 1V 有      。 九、（15 分）设 A       0 2 2 2 3 4 2 4 3      ，求正交矩阵T ，使得 TT AT 是对角矩阵。 十 、（ 10 分 ） 设 A 为 方 阵 ， ( ) f x 是 A 的 最 小 多 项 式 ， ( ) g x 为 任 意 多 项 式 。 证明： ( g A 可逆的充分必要条件是 ( ) f ( x ), ( g x )) 1 。
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