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基于拉格朗日插值法的广播星历轨道计算.pdf

发布时间：2022-05-29 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.39M 资料格式：pdf 举报 版权申诉
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    中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 基于拉格朗日插值法的广播星历轨道计算 耿石强1，曾繁慧2** （1. 辽宁工程技术大学测绘与地理科学学院； 2. 辽宁工程技术大学理学院） 摘要：卫星星历是卫星定位的前提和基础。卫星作为定位的高空已知点，其轨道精度直接影 响定位的精度和结果。因此对卫星星历的精度和实时性提出了越来越高的要求。拉格朗日插 值法作为一种插值方法在卫星轨道计算中有着重要的应用。卫星星历要每隔一段时间才发布 一次，而所需要的卫星位置是任意时刻的，所以需要通过插值来计算其他时刻的卫星位置。 本文详细阐述了拉格朗日插值法及其应用于卫星轨道计算中基本原理，给出了广播星历轨道 计算的时间外推方法。用 C++程序语言实现了卫星轨道的计算，并与高精度定位计算结果进 行比较，分析了广播星历轨道计算的精度。 关键词：拉格朗日插值法；轨道计算；卫星位置；轨道精度 中图分类号：P224 Orbit calculation using broadcast ephemeris based on the Lagrangian Interpolation GENG Shiqiang1, ZENG Fanhui2 (1. Geometrics School,Liaoning Technical University,Fuxin 123000; 2. Science School,Liaoning Technical University,Fuxin 123000) Abstract: Satellite ephemeris is the premise and foundation of satellite positioning.As control points in the sky,the precision of satellite orbits directly affects the results of positioning.So higher and higher requirements are proposed in precision and real-time performance.Lagrangian Interpolation,as a kind of interpolation method,play an important role in satellite orbit calculation. Satellite ephemeris is released at intervals,however,the satellites' position is wanted in any time,therefor the interpolation methods are needed.Lagrangian Interpolation and its application in orbit calculating are elaborated ,and the method of orbit calculating interpolation using broadcast ephemeris is presented in the paper.The satellite orbit calculation was achieved by means of C++ language,and the precision of orbit calculation using broadcast ephemeris was analyzed by comparing with high-precision positioning results. Key words: Lagrangian Interpolation; orbit calculation; satellits' position; orbit determination accuracy 5 10 15 20 25 30 35 0 引言 在利用 GNSS 导航系统进行定位时,卫星位置作为高空动态控制点,无论是进行绝对定位 还是相对定位,都要计算卫星在观测时刻的坐标。因此,计算卫星的瞬时坐标是利用 GNSS 导 航系统进行定位的关键环节。研究如何利用广播星历轨道根数计算出卫星的瞬时坐标是利用 GNSS 系统进行导航和定位的首要任务。在 GNSS 数据处理中，卫星位置的误差是影响定位 40 精度的重要因素。卫星星历主要有实时的广播星历和事后的精密星历，GPS 的广播星历每 两个小时发布一次，BDS 的广播星历每一个小时发布一次[1]；精密星历 15min 发布一次。直 接利用广播星历计算卫星坐标，计算量较大，过程复杂，效率低。拉格朗日插值法作为一种 插值方法被经常应用于卫星轨道计算中，计算过程简单，占用内存较少。广播星历具有实时 性，对实时定位至关重要[2]，这是精密星历所不具备的特点。因此，本文选取广播星历，采 作者简介：耿石强（1989-），男，硕士，主要研究方向：卫星大地测量 通信联系人：曾繁慧，女，教授，主要研究方向：信息科学与应用. E-mail: 597873883@qq.com - 1 -
    中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 45 用拉格朗日插值法建立数学模型对卫星轨道进行内插，获取任意时刻卫星的位置。目前 GPS 的精密星历精度优于 5cm，广播星历精度可以达到 1-2ppm。 1 拉格朗日插值法及其应用 1.1 拉格朗日插值法基本原理 50 若存在一个次数为 n 的多项式 ，在 个节点 上 的值为 0，在节点 上其值为 1，即 满足 条件： 55 则称 为节点 找到，因为 个节点 60 (1) 上的拉格朗日基函数。 很容易 是 的零点。因此可设 (2) (3) 其中， 为待定系数。由条件 可确定 ，于是有式(3): 65 取 就得到 个拉格朗日插值基函数[3]。以 的线性组合表示 的 次多项式为： 70 式中， 为待定系数，令 (4) (5) 利用 的性质得 ，代入上式得到拉格朗日插值多项式[4]： 75 (6) - 2 - nkxlk,1,0n)111.0(nkkkixi，，，，，)(xlkix)(xlkkikixlik,0,1)()(xlk)111.0(nkkkixi，，，，，)(xlkn)111.0(nkkkixi，，，，，)(xlknkkkkxxxxxxxxxxAxl1110kA1)(kkxlkAnkiiikinkkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl011101110nk,1,01n)(),(),(10xlxlxlnnxlaxlaxlaxpnn1100naaa10,niyxlaxpniiiiii,1,0,)()(0)(xliiiya),1,0(ninininkiiikiiiinxxxxyxlyxL000)()(
    中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 例，当 时，拉格朗日多项式为： 80 即式(8): 85 (7) (8) 1.2 拉格朗日插值法应用于轨道计算 90 设在时间间隔 内的 个节点上的卫星坐标为 公式来表示[4]： 。则在该时段内卫星的坐标可用下面的拉格朗日插值 95 (9) (10) (11) 100 式中， 即为数学模型中的插值基函数。 2 广播星历轨道计算方法 1 计算卫星运动的平均角速度 [5] 首先根据广播星历中给出的参数 计算出参考时刻 的平均角速度 ： 105 (12) 式中， 为万有引力常数 与地球总质量 之积。然后根据广播星历中给出的摄动参数 计算观测时刻卫星的平均角速度 ： - 3 - 2n2211002)()()()(yxlyxlyxlxL2120210121012002010212))(())(())(())(())(())(()(yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxL][00ttt，1nnnnZYXZYXZYX,,,,,,,,111000，niitliXtX0)()()(niitliYtY0)()()(niitliZtZ0)()()(nijjjijitttttl0)(nATOE0n30)(AGMnGMGMnn
    中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 110 2 计算观测瞬间卫星的平近点角 : 115 (13) (14) 式中， 为参考时刻 时的平近点角，由广播星历给出。 3 计算偏近点角 ： 120 解上述方程可用迭代法或微分方程改正法。 4 计算真近点角 125 (15) (16) 式中， 为卫星轨道的偏心率，由广播星历给出。 5 计算升交距角 ： 130 式中， 为近地点角距，由广播星历给出。 6 计算摄动改正项 ： (17) 广播星历中给出了下列 6 个摄动参数： ，据此可以求出由于 项而引起的升交距角 的摄动改正项 、卫星矢径 的摄动改正项 和卫星轨道倾角 的 135 摄动改正项 [6]。计算公式如下： (18) 7 计算 进行摄动改正[5]: - 4 - nnn0M)(0TOEtnMM0MTOEEEeMEsinfEeEefEeeEfcos1sin1sincos1coscos2eufuiru,,isicrsrcusucCCCCCC,,,,,2JuuruiiuCuCuCuCuCuCisicirsrcrusucu2sin2cos2sin2cos2sin2cos0,,iru
    中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 140 (19) 式中： 为卫星轨道的长半径， ， 为 时刻的轨道倾角，由广播星历中的 开普勒六参数给出， 为 的变化率，由广播星历中的摄动九参数给出[6]。 8 计算卫星在轨道面坐标系中的位置 145 在轨道平面直角坐标系中（坐标原点位于地心，X 轴指向升交点）卫星的平面直角坐标 为： 150 9 计算观测瞬间升交点的经度 [5] 若参考时刻 时升交点的赤经为 间 的升交点赤经 应为： 155 可从广播星历的摄动参数中给出。 设本周开始时刻（星期日 0 时）格林尼治恒星时为 治恒星时为： 160 式中： 为地球自转角速度； 为本周内的时间 。 这样就可求得观测瞬间升交点的经度值为： (20) ，升交点对时间的变化率 ，那么观测瞬 (21) ，则观测瞬间的格林尼 (22) 165 令 170 ，则有： (23) (24) 10 计算卫星在瞬时地球坐标系中的位置[5] 已知升交点的大地经度 以及轨道平面的倾角 后，就可通过两次旋转方便地求得卫星 在地固坐标系中的位置： - 5 - )()cos1(0TOEtdtdiiiEarruuirrua2)(Aa0iTOEdtdiiuryurxsincosLTOETOEt)(TOEtTOEweekGASTtGASTGASTeweeket)(stTOEtGASTGASTLeweekTOE)(weekTOEGAST0tTOEtLe)(0Li
    中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 175 11 计算卫星在协议地球坐标系中的位置 观测瞬间卫星在协议地球坐标系中的位置[5] 180 3 实例计算 3.1 数据介绍 (25) (26) 185 本文采用阜新地区的 CORS 站实测数据。采用 GPS 单系统双频接收机，观测时段是 2013 年 2 月 26 日 2:00 至 5:00，采样率设置为 5s，卫星截止高度角设置为 15°。最后获取了 RINEX 格式的导航文件和观测文件。 3.2 实验结果及可靠性分析 3.2.1 实验结果 190 由于卫星位置是实时变化的，可视卫星在 6 至 7 个左右，限于篇幅，所有卫星的三个小 时数据结果无法一一给出。因此本文将观测时段内均可视的 5 号卫星和 9 号卫星的 X、Y、 Z 三个方向的坐标绘图如下： 195 图 1-a) 5 号卫星 X 方向坐标变化 图 1-b) 9 号卫星 X 方向坐标变化 Fig.1-a) The coordinate changing of PRN 5 in X Fig.1-b) The coordinate changing of PRN 9 in X 图 1 X 方向坐标变化 Fig.1 The coordinate changing in X - 6 - LyLiyLxLiyLxyxiRLRZYXXZsinsincoscossincoscos0)()(ZYXyxyxZYXyRxRzyxpppppXPYCTS11001)()(-30000000-25000000-20000000-15000000-10000000010002000 X方向坐标/m历元/s5号卫星-22000000-20000000-18000000-16000000010002000 X方向坐标/m历元/s9号卫星
    中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 200 图 2-a) 5 号卫星 Y 方向坐标变化 图 2-b) 9 号卫星 Y 方向坐标变化 Fig2-a) The coordinate changing of PRN 5 in Y Fig.2-b) The coordinate changing of PRN 9 in Y 图 2 Y 方向坐标变化 Fig.2 The coordinates changing in Y 205 图 3-a) 5 号卫星 Z 方向坐标变化 图 3-b) 9 号卫星 Z 方向坐标变化 Fig.3-a) The coordinate changing of PRN 5 in Z Fig.3-b) The coordinate changing of PRN 9 in Z 图 3 Z 方向坐标变化 Fig.3 The coordinates changing in Z 3.2.2 可靠性分析 210 观察以上 5 号和 9 号卫星在 X、Y、Z 三个方向的变化图像，在三个小时内并没有出现 坐标值的波动，坐标变化平稳，在卫星运行及广播星历的数据正常情况下，应用拉格朗日插 值法可以确定卫星的瞬时位置。另外，本文根据确定出的卫星位置，读取观测文件，程序实 现了标准单点定位。从单点定位的精度出发，分析拉格朗日插值法进行轨道计算的可靠性。 由卫星位置及接收机至卫星的距离观测值，采用阜新地区 CORS 网实测数据，卫星截止高 215 度角设置为 15°，采样间隔为 1s，最终得到了单点定位的结果，并与待测点的高精度值进 行比较，得到了三个坐标方向的偏差值，如图 4、图 5、图 6 所示： 220 图 4 标准单点定位 X 坐标偏差 Fig.4 The coordinate deviation of SPP in X - 7 - 200000040000006000000800000010000000010002000 Y方向坐标/m历元/s5号卫星50000001000000015000000010002000 Y方向坐标/m历元/s9号卫星01000000020000000010002000 Z方向坐标/m历元/s5号卫星-1000000001000000020000000010002000 Z方向坐标/m历元/s9号卫星-4-2024010002000 X方向坐标偏差/m历元/s
    中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 图 5 标准单点定位 Y 坐标偏差 Fig.5 The coordinate deviation of SPP in Y 225 图 6 标准单点定位 Z 坐标偏差 Fig.6 The coordinate deviation of SPP in Z 由以上三图可以看出，单点定位的偏差基本在 10m 以内，而目前伪距单点定位的精度就是 在 10m 左右，因此，从单点定位结果精度的角度来讲，拉格朗日插值法应用于轨道计算的 230 插值算法可靠。 4 结论 本文将拉格朗日插值法应用于广播星历的轨道计算，利用用 C++语言程序实现了任意时 刻卫星位置的确定和标准单点定位。并分别从轨道运行平滑和单点定位精度的角度出发，分 235 析了拉格朗日插值算法应用于广播星历轨道计算的可靠性。 [参考文献] (References) [1] 施闯，赵齐乐，李敏，唐卫明等．北斗卫星导航系统的精密定轨与定位研究 [J]．中国科学：地球科学， 2012，42 (6)：854-861． [2] 刘磊,盛峥.利用广播星历计算 GPS 卫星位置及误差分析[J].解放军理工大学学报，2006,25（5）：383-385. [3] 吴燕仙,何妮.拉格朗日插值公式的完全展开[J].通化师范学院学报，2007,28(2)：9-12. [4] 苟长龙.广播星历插值和精密星历外推方法研究[D].长沙：中南大学，2009 [5] 李征航，黄劲松.GPS 测量与数据处理[M].武汉：武汉大学出版社，2005. [6] 徐绍铨 GPS 测量原理及应用（第三版）[M].武汉：武汉大学出版社，2008. 240 245 - 8 - -50510010002000 Y方向坐标偏差/m历元/s-50510010002000 Z方向坐标偏差/m历元/s
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