2010年云南昆明理工大学高等代数考研真题A卷.doc

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2010 年云南昆明理工大学高等代数考研真题 A 卷考生答题须知 1．所有题目（包括填空、选择、图表等类型题目）答题答案必须做在考点发给的答题纸上，做在本试题册上无效。请考生务必在答题纸上写清题号。 2．评卷时不评阅本试题册，答题如有做在本试题册上而影响成绩的，后果由考生自己负责。 3．答题时一律使用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔作答（画图可用铅笔），用其它笔答题不给分。 4．答题时不准使用涂改液等具有明显标记的涂改用品。 1. 解方程（15 分） 2. 证明： 8 1 x  在 [ ]Q x 中不可约。分） 3 ．证明：向量组 1    n 2 , , , 1 1 1 1  1 1  1 1 x 2 1 1  1 x    1 1 1  n 1   x =0 （15 线性无关的充要条件是向量组      2    1 1 2 1 , , ,     n 线性无关。（15 分） 4．A 是 n 阶方阵，是 n 维列向量。证明： ①若 1 kA   ，但 0 kA  ，则 0 ,   A ,  A , k 1 线性无关； ② （20 分） rank A ( n 1 )   rank A ( n ) 。

      a 11 a 21  a 1 n a 12 a 22   a 1 a 2 n n a n 2  a nn       5． A  分）是实矩阵，且 a ii   j  i , a i ij  1,2,  。证明 A 可逆。（15 n , 6．解矩阵方程 AX   A 2 X A ， 2 3 4   1 1 0    1 2 3       。分）（20 7．设 1V 与 2V 分别是方程组 1 x  x 2  nP   V 1 V 2 （15 分）   x n 0 x 与 1  x 2   的解空间。证明： x n 。 a b c      2  1 2  0 2  0      A 8．  分) 的三个特征根是 4，1，-2。求 a,b,c. (15 8 3 4       3  2  2 6 0 2       9．求 A  分）的若当标准形。（10

10 ．设 1 , 2    是欧氏空间 V 的一组基， , 是 V 中任意两个向量，且 , , n    2 x 1 1 x 2     x  n n ,    2 y 1 1   y 2   y  n n 。证明：这组基是标准正交基的充要条件是（10 分） (   ) , x y 1 1  x y 2 2  x y n n 。

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