2008年陕西高考文科数学真题及答案.doc-资料库

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2008 年陕西高考文科数学真题及答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）． 1．sin 330 等于（） A．  3 2 B．  1 2 C． 1 2 D． 3 2 2．已知全集 U  ，，，，，集合 {1,3} {1 2 3 4 5} A  ， {3,4,5} B  ，则集合 ( U A B  ð I ) （） A．{3} B．{4,5} C．{3,4,5} D．{1 2 4 5}，，， 3．某林场有树苗 30000 棵，其中松树苗 4000 棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为 150 的样本，则样本中松树苗的数量为（ A．30 D．15 B．25 C．20 ） 4．已知{ }na 是等差数列， 1 a a 2 a  ， 7 4 a 8  ，则该数列前 10 项和 10S 等于（ 28 ） A．64 B．100 C．110 D．120 5．直线 3 x   y m  与圆 2 x 0  2 y  2 x   相切，则实数 m 等于（） 2 0 A． 3 3  或 3 B． 3 3  或3 3 C． 3 或 3 D． 3 或3 3 6．“ 1a  ”是“对任意的正数 x ， 2 x  ≥ ”的（） 1 a x A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知函数 ( ) f x 2x  3 ， 1( ) x f 是 ( ) f x 的反函数，若 mn  （ m n  +R， 16 ），则 1   f m f ( ) 1 ( ) n 的值为（） A．10 B．4 C．1 D． 2 8 ．长方体 ABCD A B C D 1 1 1  1 的各顶点都在半径为 1 的球面上 , 其中 AB AD AA  : 1 A． B． :  4 , 则两 ,A B 点的球面距离为( ) C．  2 D． 2  3 2 :1: 3  3 2 9．双曲线 2 2 x a  y b 2  （ 0 a  ， 0 b  ）的左、右焦点分别是 1 F F，，过 1F 作倾斜角为30 1 2 的直线交双曲线右支于 M 点，若 2MF 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为（） A． 6 B． 3 C． 2 D． 3 3

10．如图，     ，   l A ，   B ，   ，，到 l 的距离分别是 a 和 b ， AB 与 A B  ，所成的角分别是和，AB 在 ，内的射影分别是 m 和 n ，若 a b ，则（） A．   ， m n C．   ， m n B．   ， m n D．   ， m n 11 ．定义在 R 上的函数 ( ) f x 满足 ( f x  y )  ( ) f x  ( ) 2 f y  xy （ x y  R，）， (1) f  ，则 ( 2) f  等于（） 2 A．2 12．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输 D．9 B．3 C．6 信息．设定原信息为 0 1 2 a a a a， {0 1}  ，（ 0 1 2 i  ，，），传输信息为 0 0 1 2 1 h a a a h ，其中 i h 0   a 0 h a ， 1 1   h 0 a 2 ， 运算规则为：0   ，0 1 1  ，1 0 1   ，1 1 0  ， 0 0 例如原信息为 111，则传输信息为 01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（） A．11010 C．10111 二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）． D．00011 B．01100 的内角 A B C，，的对边分别为 a b c，，，若 c  2 b ，  6 B ，  120  ，则 13． ABC△ a  ． 72 ) x 1 2 x 14． (1  的展开式中的系数为．(用数字作答) 15．关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题： b ①若 a b = a c ，， c ．②若 (1 g ，则 b  a k g )   ( 2 6) ，， ∥a b ，则 k   ． 3 ③非零向量 a 和 b 满足| a | |  b | |   a b ，则 a 与 a b 的夹角为 60 ． | ．（写出所有真命题的序号）其中真命题的序号为 16．某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段，传递活动分别由 6 名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共 6 小题，共 74 分） 17．（本小题满分 12 分） x 4 已知函数 ( ) 种．（用数字作答）． f x  x 4 ．  2sin cos x 2 f x 的最小正周期及最值； 3 cos （Ⅰ）求函数 ( )

（Ⅱ）令 ( ) g x  f x   π 3    ，判断函数 ( )g x 的奇偶性，并说明理由． 18．（本小题满分 12 分）一个口袋中装有大小相同的 2 个红球,3 个黑球和 4 个白球,从口袋中一次摸出一个球,摸出的球不再放回. （Ⅰ）连续摸球 2 次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率；（Ⅱ）如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过 3 次的概率． 19．（本小题满分 12 分）三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为 1 1 A B C ， 1 BAC  90  ， 1A A  平面 ABC ， 1 A A  ， 3 AB AC   2 AC 1 1  ， D 为 BC 中点． 2 （Ⅰ）证明：平面 1A AD  平面 BCC B ； 1 1 （Ⅱ）求二面角 A CC B  的大小．  1 C1 A1 B1 A B D C 20．（本小题满分 12 分）

已知数列{ }na 的首项 1 a  ， 1 n   a 2 3 2 a n a n  1 ， 1,2,3, n  …．（Ⅰ）证明：数列 1{ na 1}  是等比数列；（Ⅱ）数列{ n a n } 的前 n 项和 nS ． 21．（本小题满分 12 分） y  交C 于 A B，两点，M 是线段 AB 的中点，过 M ，直线 22 x 已知抛物线C ：作 x 轴的垂线交C 于点 N ．（Ⅰ）证明：抛物线C 在点 N 处的切线与 AB 平行； kx 2 y （Ⅱ）是否存在实数 k 使 uur uuur NA NB  g 0 ，若存在，求 k 的值；若不存在，说明理由． 22．本小题满分 14 分）设函数 ( ) f x  3 x 2  ax  2 a x  1, ( ) g x  2 ax  2 x  其中实数 0 1, a  ．（Ⅰ）若 0 a  ，求函数 ( ) f x 的单调区间；（Ⅱ）当函数 y  ( ) f x 与 y  ( ) g x 的图象只有一个公共点且 ( )g x 存在最小值时，记 ( )g x 的最小值为 ( )h a ，求 ( )h a 的值域；（Ⅲ）若 ( ) f x 与 ( )g x 在区间 ( , a a  内均为增函数，求 a 的取值范围． 2) 参考答案及评分标准

一、选择题 1．B 2．D 3．C 4．B 5．A 6．A 7．D 8．C 9．B 10．D 11．A 12．C 二、填空题 13． 2 14．84 15．② 16．96 三、解答题 17．解：（Ⅰ） Q ( ) f x  sin x 2  3 cos x 2  2sin x  2  π 3    ． ( ) f x 的最小正周期 T   ． 4π 2π 1 2 当 sin x  2  π   3  1   时， ( ) f x 取得最小值 2 ；当 sin x  2  π   3   1 时， ( ) f x 取得最大值 2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ( ) f x  2sin x   2  π 3    ．又 ( ) g x  f x   π 3    ．  ( ) g x  2sin    1 2    x  π 3     π 3     2sin x  2  π 2     2cos x 2 ． ∵ ( g  x )  2cos     x 2     2cos x 2  ( ) g x ． 函数 ( )g x 是偶函数． 18．解：（Ⅰ）从袋中依次摸出 2 个球共有 2 9A 种结果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有 2 2 4A A 种结果，则所求概率 3 P 1  2 2 A A 3 4 2 A 9  1 6 ( P 或 1    3 4 9 8 1 6 ) ．（Ⅱ）第一次摸出红球的概率为 1 A 2 1 A 9 ，第二次摸出红球的概率为 1 1 A A 7 2 2 A 9 ，第三次摸出红球的概率为 2 1 A A 7 2 3 A 9 ，则摸球次数不超过 3 次的概率为

P 2  1 A 2 1 A 9  1 1 A A 7 2 2 A 9  2 1 A A 7 2 3 A 9  ． 7 12 19．解法一：（Ⅰ）∵ 1A A  平面 ABC BC ，平面 ABC ，． ∴ 1A A BC 在 Rt BAC△ 中， AB AC ∴BC⊥AD，又 1A A AD A I ，D 为 BC 中点， ∴BC⊥平面 A1AD，又 BC  平面 BCC B 1 1 ∴平面 1A AD  平面 BCC B ． 1 1 （Ⅱ）如图，作 AE C C 1 交 1C C 于 E 点，连接 BE ，由已知得 AB  平面 ACC A ． 1 1 AE 是 BE 在面 ACC A 内的射影． 1 1 由三垂线定理知 BE CC 1 ，  AEB 为二面角 A CC B  的平面角．  1 A1 C1 B1 A E F C D B （第 19 题，解法一）过 1C 作 1C F AC 交 AC 于 F 点，则 CF AC AF   1  ， 1 C F A A 1  ， 3  C CF 1  60  ．在 Rt AEC△ 中， AE AC sin 60  2   3 2  3 ．在 Rt BAE△ 中， tan AEB  AB AE  2 3  2 3 3 ．  AEB  arctan 2 3 3 ，即二面角 A CC B  为  1 arctan 2 3 3 ． z C1 A1 B1

解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，则 (0 0 0) A ，，，，，，，，，，，，，，， B (2 0 0) C (0 2 0) (0 0 3) A 1 C (0 1 3) 1 ∵D 为 BC 的中点，∴D 点的坐标为（1，1，0） (1,1,0), uuur AA 1  (0,0, 3), BC   ( 2,2,0),  uuur AD uuur uuur AD BC ∴ ∵         1 ( 2) 1 2 0 0 0 uuur uuur AA BC 1       0 ( 2) 0 2 3 0 0   ∴ BC AD ， BC AA 1 ，又 1A A AD A I ， ∴ BC  平面 1A AD ，又 BC  平面 BCC B ， 1 1 ∴平面 1A AD  平面 BCC B ． 1 1 （Ⅱ）∵ BA  平面 ACC A ， 1 1 如图，可取 uuur AB m (2 0 0)  ，，为平面 ACC A 的法向量， 1 1 设平面 BC 的法向量为 ( l m n  ，， n ) ， uuur BC n g 则  0, CC n g 1  0 ∴ 2 l   m      2 0 m  ， 0 3 n  ， ∴ l  2 m n ， 3 3 m ，如图，可取 1m  ，则 n      3 11 ，， 3     ， cos  ，m n  2 1 0 1     3 3  0 2 2  2 0  2 0 g 2 1  2 1  (  21 7 ， 3 3 2 ) ∴二面角 A CC B  为  1 arccos 21 7 ．

20．解：（Ⅰ）∵ 1 a n   2 a n a n  1 ， 1 a n 1   1 a n 2  a n    ， 1 2 1 1 2 a n  1 a n 1  1   1 1 2 a ( n 1)  ，又 1 a  ， 2 3 1 a 1 11   ， 2  数列 1{ na  是以为 1 1} 2 首项， 1 2 为公比的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知 1 na 1  2 2 2  设 1 2 nT  nT   1 1 2 2 2 由①  ②得则  … 3 3 2  …   2 3 2 1 1 1    1 n 2 2  n ， 2n 1 n  2 n n 1 2 n   1  ，即 1 n 2 na  1 2n 1  ， n a n  n 2n  ． n ① ，② 1 2 nT   1 2 1 2 2  …  1 n 2  2 n 1 n   1 2 (1  1   T n   2 1 1 2 n   ．又1 2 3    … n 2 n ) 1 n 2 1 2 n   数列{ n a n } 的前 n 项和 S n   2 n 2  n 2  1) ( n n  2   n 1 n  2 1   1 n 2  n 1 n  2 ， 1) ( n n  2 n   2 n 2 ． 4  2 n  n 2 ． 21. 解法一：（ Ⅰ ）如图，设 ( 2 A x x，， 1 ) 1 2 ( B x 2 2 x，，把 2 ) 2 22 x kx   ， 2 0 x 由韦达定理得 1 x 2  x N  x M  x 1 x 2  2 k 2 k 4  ， 1 2 x x   ， 1  ， N 点的坐标为    2 k k ，． 4 8    设抛物线在点 N 处的切线l 的方程为 y  2 k 8  m x   k 4    ，将 y 22 x 代入上式得 22 x mx  mk 4  2 k 8  ， 0 直线l 与抛物线C 相切， y kx  代入 2 y 22 x 得 y 2 1 O B A M N 1 x

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