2008年陕西高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2008 年陕西高考理科数学真题及答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）． ) 等于（） (2 i i  1 2 i  1．复数 A．i 2．已知全集 U  ，，，，，集合 A  { | x x 2 B． i {1 2 3 4 5} C．1 D． 1  3 x   ， { | x x 2 0} B   2 } a a A ，，则集合 ( U A B ð ) 中元素的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 3． ABC△ 的内角 A B C，，的对边分别为 a b c，，，若 c  2 b ，  6 B ，  120  ，则 a 等于（） A． 6 B．2 C． 3 D． 2 4．已知{ }na 是等差数列， 1 a a 2 a  ， 7 4 a 8  ，则该数列前 10 项和 10S 等于（ 28 ） A．64 B．100 C．110 D．120 5．直线 3 x   y m  与圆 2 x 0  2 y  2 x   相切，则实数 m 等于（ 2 0 ） A． 3 或 3 C． 3 3  或 3 D． 3 3  或3 3 1 8 B． 3 或3 3 a x x 6．“ a  ”是“对任意的正数 x ， 2  ≥ ”的（ 1 ） A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知函数 ( ) f x 2x  3 ， 1( ) x f 是 ( ) f x 的反函数，若 mn  （ m n  +R， 16 ），则 1 ) (   f m f A． 2 1 ( ) n 的值为（） B．1 C．4 D．10 8．双曲线 2 2 x a  2 2 y b  （ 0 a  ， 0 b  ）的左、右焦点分别是 1 F F，，过 1F 作倾斜角为30 1 2 的直线交双曲线右支于 M 点，若 2MF 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为（） A． 6 B． 3 C． 2 D． 3 3 9．如图，     ，   l A ，   B ，   ，，到l 的距离分别是 a 和b ，AB 与 ， A B

所成的角分别是和， AB 在 ，内的射影分别是 m 和 n ，若 a b ，则（） A．   ， m n B．   ， m n C．   ， m n D．   ， m n 10．已知实数 x y，满足 y   y ≤    x 1 ≥ ， 2 1 如果目标函数 z x  ， y m ≤ ．于（） A．7 B．5 C．4 D．3  A l a b  B   的最小值为 1 ，则实数 m 等 x y 11．定义在 R 上的函数 ( ) f x 满足 ( f x  y )  ( ) f x  ( ) 2 f y  xy （ x y  R，）， (1) f  ， 2 则 ( 3) f  等于（） A．2 B．3 C．6 D．9 12．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为 0 1 2 a a a a， {0 1}  ，（ 0 1 2 i  ，，），传输信息为 0 0 1 2 1 h a a a h ，其中 i h 0   a 0 h a ， 1 1   h 0 a 2 ， 运算规则为：0   ，0 1 1  ，1 0 1   ，1 1 0  ， 0 0 例如原信息为 111，则传输信息为 01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（） A．11010 B．01100 C．10111 D．00011 二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）． 13． lim n  →  1 (1 ) a n  n a   2 ，则 a  ． 14 ．长方体 ABCD A B C D 1 1 1  1 的各顶点都在球 O 的球面上，其中 AB AD AA  : 1 1:1: 2 ．A B，两点的球面距离记为 m ， A D，两点的球面距离记为 n ， 1 : m n 则的值为． 15．关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题： b ①若  ，， a b = a c ，则 b c ．②若 (1  a k )    ( 2 6) ，， ∥a b ，则 k   ． 3 ③非零向量 a 和 b 满足| a | |  b | |   a b ，则 a 与 a b 的夹角为 60 ． | ．（写出所有真命题的序号）其中真命题的序号为 16．某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段，传递活动分别由 6 名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有种．（用数字作答）．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共 6 小题，共 74 分） 17．（本小题满分 12 分）已知函数 ( ) f x  （Ⅰ）求函数 ( )  x 4 x 4 2sin cos x 4 f x 的最小正周期及最值； 2 3 sin 2  ． 3 （Ⅱ）令 ( ) g x  f x   π 3    ，判断函数 ( )g x 的奇偶性，并说明理由． 18．（本小题满分 12 分）某射击测试规则为：每人最多射击 3 次，击中目标即终止射击，第 i 次击中目标得 i  ，，分，3 次均未击中目标得 0 分．已知某射手每次击中目标的概率为 0.8，其各 1 2 3) 4-i( 次射击结果互不影响．（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；（Ⅱ）该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望． 19．（本小题满分 12 分）三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为 1 1 BD DC  ， 1A A  平面 ABC ， 1 AC  ， 1 A A  ， AB  ， AC  ， 1 1 90 3 2 2  1 1 2 A B C ，  ． BAC （Ⅰ）证明：平面 1A AD  平面 BCC B ； 1 1 （Ⅱ）求二面角 A CC B  的大小．  1 C1 A1 B1 A B D C 20．（本小题满分 12 分）已知抛物线C ： y 22 x ，直线 y kx  交C 于 A B，两点， M 是线段 AB 的中点， 2 过 M 作 x 轴的垂线交C 于点 N ．（Ⅰ）证明：抛物线C 在点 N 处的切线与 AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数 k 使 0 ，若存在，求 k 的值；若不存在，说明理由．   NA NB  

21．（本小题满分 12 分） kx  2 x  已知函数 ( ) f x  其中一个是 x c  ． 1 c （ 0 c  且 1c  ，k R ）恰有一个极大值点和一个极小值点，（Ⅰ）求函数 ( ) f x 的另一个极值点；（Ⅱ）求函数 ( ) f x 的极大值 M 和极小值 m ，并求 M m ≥ 时 k 的取值范围． 1 22．（本小题满分 14 分）已知数列{ }na 的首项 1 a  ， 1 n   a 3 5 3 a n a  n 2 1 ， 1 2 n  ，，．（Ⅰ）求{ }na 的通项公式；（Ⅱ）证明：对任意的 0 x  ， a ≥ n 1  1 x  1 x  2 )    2 n 3 (1  x    ， 1 2 n  ，，；（Ⅲ）证明： a 1  a 2    a n  2 n n  1 ．参考答案一、1．D 8．B 2．B 9．D 3．D 10．B 4．B 11．C 5．C 12．C 6．A 7．A 二、13．1 14． 1 2 15．② 16．96 三、17．解：（Ⅰ）  ( ) f x  sin x 2  3(1 2sin  2 x 4 )  sin x 2  3 cos x 2  2sin x  2  π 3    ． ( ) f x 的最小正周期 T   ． 4π 2π 1 2 当 sin x  2  π   3  1   时， ( ) f x 取得最小值 2 ；当 sin x  2  π   3   1 时， ( ) f x 取得最大值 2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ( ) f x  2sin x   2  π 3    ．又 ( ) g x  f x   π 3    ．  ( ) g x  2sin    1 2    x  π 3     π 3     2sin x  2  π 2     2cos x 2 ．  ( g  x )  2cos     x 2     2cos x 2  ( ) g x ． 函数 ( )g x 是偶函数． 18．（Ⅰ）设该射手第i 次击中目标的事件为 ( iA i  ，，，则 ( P A i 1 2 3) ( P A A i i )  ( P A P A i ) ( i ) 0.2 0.8 0.16    ． ) 0.8  ， ( P A i ) 0.2  ，（Ⅱ）可能取的值为 0，1，2，3． 的分布列为  P 0 1 2 3 0.008 0.032 0.16 0.8 E   0 0.008 1 0.032 2 0.16 3 0.8 2.752        . 19．解法一：（Ⅰ） 1A A  平面 ABC BC ，平面 ABC ，  1A A BC ．在 Rt ABC△ 中， AB  2 ， AC    2 ， BC 6 ，  BD DC  : 1: 2 ， BD  6 3 ，又 BD AB  3 3  AB BC ， △ DBA ∽△ ABC ，  ADB   BAC  90  ，即 AD BC ．又 1A A AD A  ， BC  平面 1A AD ， BC  平面 BCC B ，平面 1A AD  平面 1 1 BCC B ． 1 1 （Ⅱ）如图，作 AE C C 1 交 1C C 于 E 点，连接 BE ，由已知得 AB  平面 ACC A ． 1 1 AE 是 BE 在面 ACC A 内的射影． 1 1 由三垂线定理知 BE CC 1 ， A1 B1 A C1 E C F D B （第 19 题，解法一）

 AEB 为二面角 A CC B  的平面角．  1 过 1C 作 1C F AC 交 AC 于 F 点，则 CF AC AF   1  ， 1 C F A A 1  ， 3  C CF 1  60  ．在 Rt AEC△ 中， AE AC sin 60  2   3 2  3 ．在 Rt BAE△ 中， tan AEB  AB AE   2 3 6 3 ．  AEB  arctan 6 3 ，即二面角 A CC B  为  1 arctan 6 3 ．解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，则 (0 0 0) A B ，，， ( 2 0 0) C ，，，，，，，，，，，， (0 0 3) A 1 C (0 1 3) 1  BD DC  : 1: 2 ，  BD   (0 2 0)  1 BC 3 ． z C1 A1 B1 A B D y C x （第 19 题，解法二） D 点坐标为     2 2 2 0 ，，． 3 3           BC  AD        BC AA  1 2 2 2 0 ，，， 3 3   BC AD  ， 0  (    2 2 0) AA ，，， 1  (0 0 3) ，，． 0 ，   BC AA 1 ， BC AD ，又 1A A AD A  ，   BC  平面 1A AD ，又 BC  平面 BCC B ，平面 1A AD  平面 1 1 BCC B ． 1 1 （Ⅱ） BA  平面 ACC A ，取 1 1 m  AB  设平面 BCC B 的法向量为 ( l m n  ，， n 1 1 ) ，则  2 l  m     0 2 m  ，   0 3 n  ， l 2 m n ， 3 3 m ， ACC A 的法向量， 1 1 ( 2 0 0) ，，  BC 为平面  ，n CC 1 0   n ．  0

如图，可取 1m  ，则 n cos  ，m n       3 2 1 ，， 3     ， 2  2 0 1 0     3 3 ( 2) 2  2 0  2 0  ( 2) 2  2 1     3 3     2 15 5 ，即二面角 A CC B  为  1 arccos 15 5 ． 20 ．解法一：（ Ⅰ ）如图，设 ( 2 A x x，， 1 ) 1 2 ( B x 2 2 x，，把 2 ) 2 22 x kx   ， 2 0 x 由韦达定理得 1 x 2  x N  x M  x 1 x 2  2 k 2 k 4  ， 1 2 x x   ， 1  ， N 点的坐标为    2 k k ，． 4 8    设抛物线在点 N 处的切线l 的方程为 y  2 k 8  m x   k 4    ，将 y 22 x 代入上式得 22 x mx  mk 4  2 k 8  ， 0 直线l 与抛物线C 相切， y kx  代入 2 y 22 x 得 y 2 1 O B A M N 1 x    mk 4  2 k 8      2 m  8 即l AB∥ ．  2 m  2 mk  k 2  ( m k  ) 2  0 ， m k   ．（Ⅱ）假设存在实数 k ，使   NA NB   0 ，则 NA NB ，又 M 是 AB 的中点， |  MN |  1 2 | AB | ．由（Ⅰ）知 My    ( y 1 1 2 2 1 k 2 2    ( 1 2 2 k 4  4      2 ． y 2 )  kx 1   2 kx 2  2)  1 2 [ ( k x 1  x 2 ) 4]   MN  x 轴， |  MN | |  y  y N |  M 2 k 4   2 2 k 8  k 2 16  8 ．又 | AB |  1  k 2 |  x 1  x 2 |  1  k 2  ( x 1  x 2 2 )  4 x x 1 2

 1  k 2  2    k 2        4 ( 1) 1 2 2 k  1  2 k  16 ． 2 k  16   8 1 4 2 k  1  2 k  16 ，解得 k   ． 2 即存在 k   ，使 2   NA NB   0 ．解法二：（Ⅰ）如图，设 2 ( 2 ) A x x ，，，，把 1 1 ( B x 2 y kx  代入 2 y 22 x 得 22 x kx 2 0 x   ．由韦达定理得 1  x 2  x x 1 2   1 ． 2 2 ) x 2 k 2 ，  x N  x M  x 1 x 2  2  ， N 点的坐标为 k 4    2 k k ，． 4 8    22 x y ，   ， 4 y x 抛物线在点 N 处的切线l 的斜率为 4 （Ⅱ）假设存在实数 k ，使   NA NB   0 ．   ， l  ∥ ． AB k k 4 由（Ⅰ）知  NA     x 1  k 4 2 2 x ， 1   NB ，  2 k 8       x 2  k 4 2 x ， 2 2  2 k 8    ，则   NA NB      x 1  k 4    x 2  k 4        2 2 x 1  2 k 8    2 x 2 2  2 k 8                x 1  x 1  k 4    k 4    x 2  x 2  k 4 k 4        4    2 x 1  2 k 16    2 x 2  2 k 16      1 4       x 1  k 4    x 2  k 4       x x 1 2  k 4  x 1  x 2   2 k 16        1 4  x x 1 2  ( k x 1  x 2 )  2 k 4         1 k 2 k k 4 2 16           1 4 ( 1)       k k 2 2 k 4    1       2 k 16       3   23 k 4    0 ，  1   2 k 16  0 ， 233 k   4  ，解得 0 k   ． 2

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