2013年北京科技大学数学分析考研真题.doc

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2013 年北京科技大学数学分析考研真题北京科技大学 2013 年硕士学位研究生入学考试试题试题编号： 613 试题名称：数学分析适用专业：数学，统计学说明：所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效。 ============================================================================== =============================== 1．（20 分）（1）、设 z   , f x y u ,   xy  ( ) xF u ，其中 F 为可微函数，且 u  ，证明： y x x z  x   y z  y    z xy . （2）、设 u x zy ，求： ,u  z  2 u  2 z  。

2．（20 分）（1）设 ( ) f x 在 ,a b 上连续, 得 f ( )  2  ( f )  1 b a  ) . 4( b  a ( ) f x dx   1 4 b  a 2 ( f x dx ) , 则存在 ( , ), a b  使（2）求极限    lim x e dx t 0 x 1 t 3. (20 分) 设 ( ) fx       x e ( ) gx  x , x  0 0, x  0 ，其中 ( )gx 有二阶连续的导数，且 (0) 1 g  ， g (0)   ，求 ( )f x 1 , 并讨论 ( )f x 在(   上的连续性. ) , 4．（15 分）设 ( ) f x 在 0,1 上连续可微, 且 (0) 0,  f f (1) 1,  求证：（1）   x [0,1], | ( ) f x   ( ) | f x   e  x ( ) f x   . （2） 1  0 | ( ) f x  f x ( ) | d x  e  1 . 5. (15 分 ) 若 {[ , n na b 是一个闭区间套 , 即 ]} [ a b n 1  n , ]   1 [ a b n n n ], , 1,2,   , 且 lim(  n b a n n  )  0, 证明: 存在唯一点, 使得 [  n na b n ], , 1,2,   .

6. (15 分) 计算二重积分 sin d d x y y  D y , 其中 D 是由曲线 y x 以及 x 2 y 所围成的闭区域． 7. (15 分) 计算 1 2  1   x  2 y 围成的空间区域. d d d x y z , 其中  是由抛物面 2 x  2 y 8．(10 分) 设  0f  x 在[0,1] 上连续，定义函数序列，  与平面 4 z z h  0 f n 1  ( ) x  x  0 f n ( ) x dt n ,  0,1,2,  . 证明：函数项级数   n 1  f n ( ) x 在[0,1] 上一致收敛. 9. (10 分 ) 设函数  y fx 的二阶可导 , 且 ( ) f x ( )  0, (0) f  0,  (0) f  0, 求 lim 0 x 3 ( ) x fu 3 ( )sin fx , u 其中u是曲线 y fx 在点 ( , ( )) ( ) P x fx 处的切线在x轴上的截距.

10. (10 分) 计算曲面积分 I    ( x  2 z )d d y z  d d z x y , 其中  是旋转抛物面 z  1 ( x 2 2  2 y ) 介于平面 0 z  和 2 z  之间的部分的下侧.

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