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2013年北京科技大学单独考试数学考研真题.doc
21. 设函数问
2013 年北京科技大学单独考试数学考研真题
北 京 科 技 大 学
2013 年硕士学位研究生入学考试试题
试题编号： 610
试题名称
单独考试数学
适用专业：
全校各专业单独考试考生
说明： 所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效。
==============================================================================
===============================
一、单项选择题（本题8小题，每题4分，满分32）
1. 函数 y
x 在(-1,1)内的最小值是 （
）
( A ) 0 ．
（ B ) -1 ．
(C ) 任何小于-1的数 ． ( D ) 不存在．
2. 若
lim
0
x
6sin
x
3
x
xf
)(
x
0
, 则
lim
0
x
6
)(
xf
2
x
为
(
)
（ A ）0 ．
（ B ） 6 ．
（C ）．36
（ D ）．
3. 微分方程
y
xe
y
的通解为
(
)
（ A ）
y
x
e
( 2 C
x
)
．（ B ）
y
x
e
(
Cx
)
．（C ）
y
e
(2
x
Cx
)
．（ D ）
y
xe
x
．
4. 曲线
y
(
x
)1
3
1
的拐点为 （
）
( A ) (2,0)．
( B ) (1,-1)．
(C ) (0,-2)．
( D ) 不存在．
5. 若正项级数
1
n
nu
收敛,则下列级数中一定收敛的是（
）
( A )
1
n
nu
a
(
0
a
1
) ．
( B )
1
n
nu
．
(C )
1
．
un
1
1(
)
( D )
1
n
n
nu
.
6. 设函数
( )
f x
log
a
x
x
2
1 ,则该函数是（
）
（ A ）奇函数． （ B ）偶函数． （C ）非奇非偶函数． （ D ）既奇又偶．
7. 设
),(
vuf
具有二阶连续偏导数，且
z
f
(
xy
2
,
2
yx
)
，则
z2
yx
(
)
( A )
2
yf
( B )
2
yf
(C )
2
yf
1
1
1
( D )
2
yf
1
2
fx
2
3
2
xy
f
11
2
3
fyx
22
5
2
2
fyx
12
．
3
2
xy
f
11
2
3
fyx
22
5
2
2
fyx
12
．
2
fx
2
3
2
xy
f
11
2
3
fyx
22
2
2
fyx
12
．
2
fx
2
3
2
xy
f
11
2
fxy
22
5
2
2
fyx
12
．
8. 微分方程
)
(A
y
1
2
4
y
4
y
x
xe 2
． )
(B
e
1
3
2
x
的一个特解是
（ ）
2
2
xex
． )
(C
1
3
x
xe 2
． )
(D
1
2
2
2
xex
．
二、填空题（本题6小题，每题4分，满分24）
9. 设
f
x
0
5,
则
lim
0
h
f x
0
h
h
f x
0
3
h
____
．
10. 设
x
y
2
1ln(
t
arctan
t
,
),
，
2
则 d y
dx
2 ______．
11. 设 D 为由不等式
2
x
2
x
y
4
2
x
所确定的区域，则
y d
2
x
2
D
=_____．
12. 设L为正向椭圆周
2
x
4
2
y
3
1
，则
L
(
x
y
)
dx
2(
x
y
)
dy
________．
13. lim
x
x
x
1
x
______
.
14.
.
数项级数
n=0
1
n
的和 _____．
!
n
三、计算题（本题6小题，每题10分，满分60）
15. 计 算 曲 面 积 分
bxdydz
2
x
yz
2
dzdx
2
2
y
z
3
z
dxdy
, 其 中
0b
, 为 球 面
2
x
2
y
2
z
2
b
的外侧．
16. 计算
2
2
5
(
x
sin
2
x
)
cos
2
xdx
．
17. 求函数
y
1
2
x
4
2
x
的极值和拐点．
18. 求曲线
x
2
2
2
y
z
x
z
y
6
0
在点
1, 2, 1
处的切线方程和法线方程．
19. 将函数
f x
1
3
x
1
2
2
x
展开为 x 的幂级数．
20. 求幂级数
n
x
的收敛半径及收敛区间．
n
1 2
n
n
四、综合题(本题10分）
21. 设函数
)(
xf
1ln(
x
3
ax
arcsin
)
x
,
x
,0
,6
x
,0
问 a 为何值时， )(xf 在 0x 处连续？问 a
1
,
x
,0
ax
e
2
x
ax
x
sin
x
4
为何值时， 0x 是 )(xf 的可去间断点？
五、应用证明题（本题2小题，每题12分，满分24）
22. 在曲线
y
(
x
)0
上某点 A 处作一切线，使该切线与曲线及 x 轴所围图形 S 的面
1 2
x
2
积为
1 ，求此图形 S 绕 y 轴旋转一周所围成的立体的体积．
3
23. 设函数 )(xf 在 ]1,0[ 上连续，在 )1,0( 内可导，且
3
1
2
3
)(
xf
dx
f
)0(
，证明：在
)1,0(
内至少存在一点，使得
f
)(
0
．
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