2009 年湖南省永州市中考数学真题及答案
温馨提示:
1.考生作答时,选择题和非选择题均须作答在答题卡上,在本试卷上作答无效.考生在答题卡上按答
题卡中注意事项的要求答题.
2.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
3.本试卷包括试题卷和答题卡.满分 120 分,考试时量 120 分钟.本试卷共三道大题,25 个小题.如
缺页,考生须声明.
一、填空题(本大题共 8 个小题,每小题 3 分,共 24 分.请将答案填在答题卡的答案栏内)
1. 2009
的相反数是
.
c
d
2.函数
y
4 2
的自变量 x 的取值范围是
x
.
3.如图,直线 a b、 分别被直线 c d、 所截,如果 1
那么 3
4.已知 a
b ,则
a c
度.
4
,
2
b c
(填>、<或=).
1
2
3
4
a
b
1
2
1
2
(第 3 题)
5.在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为 (4 5), ,则点 A 关于 x 轴的对称点 A′的坐标为
.
6.今年“五·一”期间,小亮一家三口人决定去旅游,小亮的理想景点为朝阳公园和浯溪公园,爸爸的理
点写在四张相同的
想景点为柳子庙,妈妈的理想景点为阳明山,他们把四个景
卡片上,采用抽签的办法来确定一个旅游景点,那么,抽到
小亮的理想景点的
概率为
.
B
7 . 若 实 数 a 满 足 2 2
a
a
,则 23
a
3
6
a
8
的 值
8.某校初三(一)班课外活动小组为了测得学校旗杆的高
米的 A 处,用高为 1.5 米的仪器测得旗杆顶部 B 处的仰角为
旗杆的高度为
米.(已知 3
1.732≈
,结果精确到
为
.
度,他们在离旗杆 6
60°,如图所示,则
60°
A
C
0.1 米)
二、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 3 分,共 24 分.每
选项,请将正确选项的代号填涂在答题卡的答案栏内.)
9.永州市高度重视科技创新工作,全市科技投入从“十一
元,增加到 2008 年的 6.48 亿元.请将 6.48 亿用科学记数法(保留两个有效数字)记为(
D
(第 8 题)
E
五”初期的 3.01 亿
)
小题只有一个正确
A.
6.48 10
8
B.
6.4 10
8
C.
6.5 10
8
D.
6.5 10
9
10.如图,在长方体的数学课本上放有一个圆柱体,则它的主视图为(
)
(第 13 题)
A.
C.
B.
D.
11.下列计算中,正确的是(
)
A. 2
x
3
x
5
x
B. 2
x x
x·
3
6
C. 2 5
)
x
(
(
x
5 2
)
0
D. 3
x y
(
2 3
)
5
6
x y
12.若点 ( 3 4)
M , 在反比例函数
y
k
x
(
k
的是(
)
, 是常数 的图象上,则下列点中也在此反比例函数图象上
)
0
k
A.(3
4),
B. (4 3),
C. (3 4),
D. ( 3
,
4)
)
13.下列命题是真命题的是(
A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B. 平移不改变图形的形状和大小
C. 对角线互相垂直的梯形是等腰梯形
D. 相等的弦所对的弧相等
14.为了了解某校 2009 年初三学生体育测试成绩,从中随机抽取了 50 名学生的体育测试成绩如下表:
成绩
(分)
15
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
人数
1
4
3
4
2
3
2
8
5
5
4
4
3
2
则这 50 名学生的体育测试成绩的众数、中位数分别为(
A.24,24
C.24,23.5
B.8,24
)
D.4,23.5
15.用长 4 米的铝材制成一个矩形窗框,使它的面积为
24
25
2
米 ,若设它的一边长为 x 米,根据题意列出关于
x 的方程为(
)
x
(4
x
A.
C.
x
(4 2 )
x
)
24
25
24
25
B.
2 (2
x
x
)
D.
x
(2
x
)
24
25
24
25
、 、 、OD、
16.右图是蜘蛛结网过程示意图,一只蜘蛛先以O 为
起点结六条线OA OB OC
OE OF、 后,再从线OA 上某点开始按逆时针方向
依次在OA、OB OC、 、OD、OE、OF、
OA OB、 、…上结网,若将各线上的结点依次记为
1、2、3、4、5、6、7、8、…,那么第 200 个结点
在(
)
A.线OA 上
C.线OC 上
三、解答题(本题 9 个小题,共 72 分,解答题要求
写出证明步骤或解答过程)
B.线OB 上
D.线OF 上
C
B
14
9
3
2
D
10
4
O
5
11
E
8
1
6
7
12
F
(第 16 题)
13
A
17.(本小题 6 分)计算:
4cos30
°
3 2
5 1
2
°-
27
2
.
1
3
18.(本小题 6 分)先化简,再求值.
x
1
x
x
2
x
1
1
2
x
2
x
1
x
,其中
x .
2009
19.(本小题 6 分)如图所示是一块破损的正八边形窗户玻璃的图形,请你利用对称或其它有关知识补全图
形.(用尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
E
D
C
F
M
N
B
A
(第 19 题)
20.(本小题 8 分)为了了解我市某县参加 2008 年初中毕业会考的 6000 名考生的数学成绩,从中抽查了 200
名学生的数学成绩(成绩为整数,满分 120 分)进行统计分析,并根据抽查结果绘制了如下的统计表和扇
形统计图:
成绩(分)
人数
59.5 分以
59.5~69.
69.5~79.
79.5~89.
89.5~99.
下
28
5
44
5
46
5
5
99.5 以上
32
请根据以上图表信息回答下列问题:
(1)请将以上统计表和扇形统计图补充完整;
(2)若规定 60 分以下(不含 60 分)为“不合格”,60 分以上(含 60 分)为“合格”,80 分以上(含 80
分)为“优秀”,试求该样本的合格率、优秀率;
(3)在(2)的规定下,请用上述样本的有关信息估计该县本次毕业会考中数学成绩优秀的人数和不合格
的人数.
79.5~89.5
89.5~99.5
99.5 以上
14%
11%
16%
69.5~79.5
22%
59.5~69.5
59.5 以下
(第 20 题)
21 .( 本 小 题 8 分 ) 如 图 , 平 行 四 边 形 ABCD E F, 、 两 点 在 对 角 线 BD 上 , 且 BE DF ,连 结
AE EC CF FA
, , , .求证:四边形 AECF 是平行四边形.
A
E
B
D
F
C
(第 21 题)
22.(本小题 8 分)某工厂为了扩大生产规模,计划购买 5 台 A B、 两种型号的设备,总资金不超过 28 万元,
且要求新购买的设备的日总产量不低于 24 万件,两种型号设备的价格和日产量如下表.为了节约资金,问
应选择何种购买方案?
价格(万元/台)
日产量(万件/台)
A
6
6
B
5
4
23.(本小题 10 分)如图,在平面直角坐标系内,O 为原点,点 A 的坐标为 ( 3 0)
,,经过 A O、 两点作半径
为
的 C⊙ ,交 y 轴的负半轴于点 B.
5
2
(1)求 B 点的坐标;
(2)过 B 点作 C⊙ 的切线交 x 轴于点 D,求直线 BD 的解析式.
D
x
A
O
C
y
B
(第 23 题)
24.(本小题 10 分)问题探究:
(1)如图①所示是一个半径为
,高为 4 的圆柱体和它的侧面展开图, AB 是圆柱的一条母线,一只蚂
3
2π
2
3
蚁从 A 点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达 B 点,求蚂蚁爬行的最短路程.(探究思路:将圆柱的侧面沿母线
AB 剪开,它的侧面展开图如图①中的矩形 ABB A′′,则蚂蚁爬行的最短路程即为线段 AB′的长)
(2)如图②所示是一个底面半径为
,母线长为 4 的圆锥和它的侧面展开图, PA 是它的一条母线,一只
蚂蚁从 A 点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到 A 点,求蚂蚁爬行的最短路程.
(3)如图③所示,在②的条件下,一只蚂蚁从 A 点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线 PA 上的一点,求
蚂蚁爬行的最短路程.
B′
B
A
P
P
A
A
图①
A
图②
(第 24 题)
A
图③
25.(本小题 10 分)如图,在平面直角坐标系中,点 A C、 的坐标分别为 ( 1 0) (0
, 、 , ,点 B 在 x 轴上.已
知某二次函数的图象经过 A 、 B 、C 三点,且它的对称轴为直线 1x ,点 P 为直线 BC 下方的二次函数图
象上的一个动点(点 P 与 B 、C 不重合),过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 F.
3)
(1)求该二次函数的解析式;
(2)若设点 P 的横坐标为 m,用含 m 的代数式表示线段 PF 的长.
(3)求 PBC△
面积的最大值,并求此时点 P 的坐标.
y
B
x
OA
C
x=1
F
P
(第 25 题)
一、填空题(每小题 3 分,共 24 分)
永州市 2009 年初中毕业学业水平考试
数学参考答案及评分标准
1. 2009
2.
x ≤ 3.180 4.< 5. (4
2
5),
6.
1
2
7.1
8.11.9
二、选择题(每小题 3 分,共 24 分)
9.C
10.D
三、解答题
11.C
12.A
13.B
14.A
15.D
16.B
17. 解:
4cos30
°-
3 2
(
5 1
)
2
°
27 (
2
1
)
3
=
4
2
3
3
2
1 3 3
1
1
3
2
····································································· 3 分
3 1 3 3 9
= 2 3 2
··················································································· 5 分
=8 ····················································································································· 6 分
18.解:
x
1
x
x
2
x
1
1
2
x
2
x
1
x
=
x
1
x
x
2
x
1
1
2
x
(
x x
1
1)
····················································································1 分
(
x x
2
x
·
1)
1)
1
··························································································3 分
(
2
1
x
1)(
x
x
x
1
x
x
2009
=
=
当
················································································································ 4 分
时,原式=
2009
2009 1
2009
2010
···························· 6 分
E
F
D
19. 连结 AE BF、 相交于点O ··········································· 2 分
分别作C D、 两点关于O 点的对称点G H、 ···························4 分
连结 AH HG GF
、 、 ························································· 6 分
(其它作法参照评分标准进行评分,如利用轴对称作图,利用正八边形
的性质作图)
14% 23%··········································4 分
20. 解:(1)28
(2)合格率:1-14%=86%···················································· 5 分
优秀率:14%+11%+16%=41%···················································6 分
(3)优秀人数:41%×6000=2460············································································· 7 分
不合格人数:14%×6000=840··················································································· 8 分
B
A
(第 19 题)
22
O
N
C
M
G
H
21.证明:连结 AC 交 BD 于点O ······························2 分
四边形 ABCD 为平行四边形
OA OC OB OD
BE DF OE OF
····································· 4 分
···································· 6 分
四边形 AECF 为平行四边形····························· 8 分
,
,
D
A
E
B
O
F
C
(第 21 题)
22.解:设购买 A 型设备为 x 台,则购买 B 型设备为 (5
)x 台,依题意得:··················· 1 分
6
6
x
x
5(5
4(5
)
x
)
x
≤
≥
28
24
····························································································· 4 分
x
x
3
2
或 .
3
x≤ ≤ ···································································································· 6 分
x 时,购买设备的总资金为 6×2+5×3=27(万元)
x 时,购买设备的总资金为 6×3+5×2=28(万元)
解得 2
x 为整数,
当 2
当 3
应购买 A 型设备 2 台, B 型设备 3 台.································································· 8 分
23. 解:(1)
AB 是直径,且
在
AOB
5
AB ··········································· 1 分
中,由勾股定理可得
90
Rt△
°
D
A
y
AOB
O
x
BO
2
AB
2
AO
2
5
2
3
····························· 3 分
4
B 点的坐标为 (0
4), ··············································4 分
C
B
(第 23 题)
°
BD AB
ABD
90
90
°
90
(2) BD 是 C⊙ 的切线,CB 是 C⊙ 的半径
,即
又
△
ADB
DBO
·······························································································5 分
90
BOD
BDO
····························································································· 6 分
DAB
DAB
AOB
ABO
∽△
BDO
OBD
°
°
OA OB
OB OD
OD
2
OB
OA
24
3
16
3
D 的坐标为
16 0
3
, ··························································································· 7 分
设直线 BD 的解析式为
y
(
kx b k
)
, 、 为常数
k b
0
k b
0
································································································ 8 分
4
则有
16
3
b
3
k
4
4
b
···········································································································9 分
直线 BD 的解析式为
y
24.解:(1)易知
BB
′
x
3
4
2π
··········································································· 10 分
4
3
2π
3
······································································· 1 分
2
2
4
2
′
′=
AB
BB
AB
即蚂蚁爬行的最短路程为 5.·················································································· 4 分
(2)连结 AA′,则 AA′的长为蚂蚁爬行的最短路程,设 1r 为圆锥底面半径, 2r 为侧面展开图(扇形)的半
·········································································3 分
5
2
3