第1页 / 共23页
第2页 / 共23页
第3页 / 共23页
第4页 / 共23页
第5页 / 共23页
第6页 / 共23页
第7页 / 共23页
第8页 / 共23页
2020线性代数辅导讲义练习答案.pdf
《2020 线性代数辅导讲义》
练习参考答案
- 2019 年 5 月 5 日-
金榜图书编辑部数学组
微信公众号
目录
第 2 页 今年考题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第 15 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第 17 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第 22 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第 28 页 今年考题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第 43 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第 47 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第 51 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第 54 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第 59 页 今年考题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第 71 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第 74 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第 78 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第 79 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第 85 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第 94 页 今年考题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第 98 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第 100 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第 103 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第 109 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第 120 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第 125 页 今年考题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第 145 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第 149 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第 158 页 今年考题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第 164 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第 169 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第 175 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
4
6
6
7
7
8
8
9
11
12
13
13
14
15
16
16
17
17
18
19
20
20
21
21
21
22
限于能力和时间，难免有些错漏，恳请大家指正. 更欢迎大家分享不同的解法.
2020 线性代数辅导讲义练习参考答案
第 2 页 今年考题
(2019,2) 答案 4
解析: （方法一）
A11 =
A12 = (1)1+2
A11 A12 = 3 1 = 4.
(方法二）
1
2 1
4
2
1 1
0
3
3
0
2 1
1
2 1
3
4
=
=
1 1 1
=
0
0
0
3
1
4
1
8
1
7
2 1 1
3 4
0 1
=
0
0
= 3,
1 1
8 7
= 1,
A11 A12 = 1 A11 + (1) A12 + 0 A13 + 0 A14
=
=
=
=
1 1
2
3 2
0
1 1
0
1
2 1
2 1
3
4
4
0
1
=
1 0
3 4
3
0
0
1 1
0 1 1
0
0
0
1
0
1 1
1
2 1
3
4
1
0
1 1 1
0
0
1
3
0
4
= 4.
（行列式按第一行展开式）
（第一行倍数分别加二、三行）
（按第一列展开）
（第一行加第二行）
行列式的计算方法很多，比如一开始还可以用第一列加到第二列. 请同学们自己多多练习.
第 15 页
答案 4 + 3 + 22 + 3 + 4
解析: 行列式的计算方法很多. 计算时, 通过观察行列式的特点来简化计算. 比如本题按第一行展开就没有按第一
列展开计算方便. 按第一列展开后三角形行列式可以直接得出结果.
- 3 -
2020 线性代数辅导讲义练习参考答案
这里按第四列展开为例计算一下.
0
0
4
1
0
1
0
3
2
0
0
1
+ 1
= ( + 1)
1
+ (1)4+3(1)
1
+ (1)3+14
1
1
1
= ( + 1)3 +
0
0
0
4
0
0
0
2
3
1
!
0
1
2
= 4 + 3 + 22 + 3 + 4.
3
也可以利用行列式的性质
0
0
4
1
0
1
0
3
2
0
0
1
+ 1
=
=
=
1
0
3
0
0
4
0
1
2 + + 2
1
0
0
4 3 + 2 + 2 + 3
0
0
0
4 + 3 + 22 + 3 + 4
= 4 + 3 + 22 + 3 + 4.
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
第 3 行的 + 1倍加到第 4 行
第 2 行的2 + + 2倍加到第 4 行
第 1 行的3 + 2 + 2 + 3倍加到第 4 行
第 4 行展开
第 17 页
（1）(2018,3) 答案 2
解析:
A [1, 2, 3] = [1 + 2, 2 + 3, 1 + 3] = [1, 2, 3]
2664 1 0 1
1 1 0
0 1 1
3775,
- 4 -
()
2020 线性代数辅导讲义练习参考答案
因为 1, 2, 3 线性无关，所以 [1, 2, 3] 可逆，为了方便，记 P = [1, 2, 3], 则
2664 1 0 1
1 1 0
0 1 1
3775 P
A = P
2664 1 0 1
=
1 0 1
1 1 0
0 1 1
1 1 0
0 1 1
1, 即 A
jAj =
也可以就关系式 () 两边取行列式，
P 可逆，则 jPj ̸= 0.
AP = P
3775,
1 1 0
0 1 1
2664 1 0 1
3775 , 则有 （相似的矩阵，行列式值相等）
1 0
= 1 (1) = 2.
0 1 1
1
1
0 1
1
1
=
1 1
,
1 0 1
= 2.
1 0 1
1 1 0
0 1 1
1 1 0
0 1 1
jAjjPj = jPj
jAj =
（2）答案 1
解析: 矩阵不可逆, 矩阵行列式为零.
jAj = 0,
jA 2Ej = 0,
j3A + 2Ej = 0,（特征值jE Aj = 0, 特征值的相关知识见第五章）
矩阵 A 的特征值为
矩阵 A + E 的特征值为
行列式 jA + Ej 等于特征值乘积,
= 0, 2,2
3
= 1, 3,
1
3
, （3 阶矩阵 3 个特征值.）
jA + Ej = 1 3 1
3
= 1.
- 5 -
2020 线性代数辅导讲义练习参考答案
（3） 答案 24
解析: 相似矩阵有相同的特征值, 所以矩阵 B 的特征值为 1,2,3,B + E 的特征值为 2,3,4.
jB + Ej = 2 3 4 = 24.
第 22 页
答案 (1, 0, , 0)T
解析: 线性方程组的系数行列式
AT
=
D =
1 a1
1 a2
...
...
1 an
2
1
an1
an1
...
an1
n
由克拉默法则知, 方程组有唯一的解.
=
∏
1⩽ j
2. 伴随矩阵的秩的关系,
) =
r (A
2020 线性代数辅导讲义练习参考答案
8>><>>: n,
1,
0,
r (A) = n,
r (A) = n 1,
r (A) < n 1.
根据题目条件，n r (A) = 2. r (A) = 4 2 = 2 < 4 1, 可得 r (A
) = 0.
选 A.
第 43 页
答案 A
解析: A
= AT 即
可见
那么
= jAj E, 即
又因 AA
2664 A11 A21 A31
A12 A22 A32
A13 A23 A33
3775 =
2664 a11
a12
a13
3775 .
a21
a22
a23
a31
a32
a33
ai j = Ai j (i, j = 1, 2, 3) .
jAj = a11A11 + a12A12 + a13A13 = a2
11
+ a2
12
+ a2
13
= 3a2
11
> 0.
AAT = jAj E.
两边取行列式, 有 jAjjATj = jjAj Ej ) jAj2 = jAj3 ) jAj 等于 0 或 1.
p
3
3
.
从而 3a2
11
= 1, 故 a11 =
第 47 页
答案 A
解析: 因为 B = E + AB, 所以
又因为 C = A + CA, 所以
B AB = E, B (E A) = E, B = (E A)1 .
C CA = A, C (E A) = A, C = A (E A)1 .
- 7 -
2020 线性代数辅导讲义练习参考答案
B C = (E A)1 A (E A)1
= (E A) (E A)1 = E.
所以
正确答案选 A.
2664 2
2
4 2
1 1
1 1
2
3775
第 51 页
答案
解析:
A2019 = P
= P
= P
= P
1 TP
1 TP P
1 TP P
1 T T TP
1
T
1 TP
2018 TP
3775 代入上式，
2664 0 1 1
3775
0 0
0
0 1 1
2664 1 0 0
2 1 0
0 0 1
3775 =
2664 2
1 1
1 1
2
4 2
2
3775 .
其中 T = [0, 1,1]
2664 1
0
1
又 T =
第 54 页
0
0
1
0 0
0 1 1
2664 1
3775 = 1.
3775 [0, 1,1] =
2664 0 1 1
2664 1
3775
2664 3 1 2
3775 .
2 1 0
上式 =
0 0
0 1
0
1 1 1
2 1 1
答案 （I）a = 0, （II）
解析: （I）
A3 = O )A3
= 0 ) jAj = 0
- 8 -
相关推荐
2023年江西萍乡中考道德与法治真题及答案.doc
2012年重庆南川中考生物真题及答案.doc
2013年江西师范大学地理学综合及文艺理论基础考研真题.doc
2020年四川甘孜小升初语文真题及答案I卷.doc
2020年注册岩土工程师专业基础考试真题及答案.doc
2023-2024学年福建省厦门市九年级上学期数学月考试题及答案.doc
2021-2022学年辽宁省沈阳市大东区九年级上学期语文期末试题及答案.doc
2022-2023学年北京东城区初三第一学期物理期末试卷及答案.doc
2018上半年江西教师资格初中地理学科知识与教学能力真题及答案.doc
2012年河北国家公务员申论考试真题及答案-省级.doc
2020-2021学年江苏省扬州市江都区邵樊片九年级上学期数学第一次质量检测试题及答案.doc
2022下半年黑龙江教师资格证中学综合素质真题及答案.doc
