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基于PCE代理模型的失效相关可靠性分析方法 .pdf

发布时间：2022-06-14 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.75M 资料格式：pdf 举报 版权申诉
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    中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 基于 PCE 代理模型的失效相关可靠性分析 方法 # 李阳天，李海滨，韦广梅** （内蒙古工业大学理学院，呼和浩特 010051） 摘要：较传统可靠性分析方法，多项式混沌展开(Polynomial Chaos Expansion,PCE)方法具有 强大的拟合能力和收敛速度；参数灵敏度分析中，PCE 方法的计算效率相比于其他代理模 型方法更高。基于提高可靠性分析结果的计算精度与降低计算成本的考量，本文提出基于 PCE 代理模型的失效相关可靠性分析方法。通过 PCE 方法，我们在以下两方面取得进展： 首先，PCE 代理模型与基于 PCE 的灵敏度分析有效提高了可靠性计算效率；第二，可靠性 结果的计算精度由于 Copula 函数的引入得到改进。 关键词：固体火箭发动机药柱；可靠性分析；多项式混沌展开；Copula 函数 中图分类号：O39 Failure Correlation Reliability Analysis of Solid Rocket Motor Grain based on PCE Li Yangtian, Li Haibin, Wei Guangmei (College of Science, Inner Mongolia University of Technology,Hohhot 010051) Abstract:Comparing to other traditional reliability analysis methods, PCE method has better fitting capacity and rate of convergence; In the sensitivity analysis, the calculation rate of PCE method is higher than other meta-model methods. Considering improving calculation efficiency and reducing computational cost, this paper presents the failure correlation reliability analysis based on PCE method. Through PCE method, our work has made some progress in the following aspects: Firstly, the computational efficiency of reliability is raised by PCE meta-model and sensitivity analysis based on PCE; Secondly, the computational precision of reliability result is improved by introducing copula function into reliability. Keywords: Solid rocket motor grain; Reliability analysis; Polynomial chaos expansion; Copula function 5 10 15 20 25 30 0 引言 贴壁浇铸式固体火箭发动机在固化降温过程中，由于推进剂药柱与壳体线膨胀系数相差 较大，温度载荷所引起的药柱与壳体变形量也不相同。药柱变形受壳体约束，药柱与绝热层 35 的交界面必然产生应力、应变，导致药柱与绝热层之间的脱粘现象，药柱内表面翼和槽的倒 角位置处也会因应力集中现象发生裂纹，影响火箭发射安全。 失效模式中，研究者关注于共因失效[1]。因此，考虑共因失效条件下结构的失效相关性， 进行固体火箭发动机的结构完整性分析，在可靠性计算精度与分析水平方面显得尤为重要。 伴随固体火箭发动机药柱为研究对象，药柱内表面裂纹与药柱/绝缘层脱粘的失效相关可靠 40 性，将根据 Copula 函数与可靠性间的数学关系得到计算。 本文的其余部分组织如下：第一部分概括了 Copula 函数的构造；第二部分描述了失效 基金项目：国家自然科学基金(11262014) 作者简介：李阳天(1988-),男 通信联系人：李海滨（1973-），男，教授、博导，主要研究方向：结构可靠性分析、神经网络计算. E-mail: lhbnm2003@126.com - 1 -
    中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 相关可靠性模型；第三部分分析了所提方法于固体火箭发动机固化降温可靠性分析中的应 用；最后，第四部分对本文进行总结。 1 Copula 函数的构建 45 Copula 函数是多变量联合分布函数与其一维边缘分布函数的连接函数，作为处理两变 量间相关性的有效工具，工程应用广泛[2]；可以利用 Copula 函数，基于不同的边缘分布直 接估计变量的联合分布函数。 Copula 模型可以按照如下步骤得以建立[3]： (1) 运用非参数方法确定随机变量的边缘分布。利用各失效模式下的已有输出响应样 50 本，或基于已有各失效模式下的功能函数对输出响应进行抽样，调用 MATLAB 中的 ksdensity 函数估计所得样本的总体分布函数。 (2) 通过估计联合概率密度函数，选取恰当的 Copula 函数以描述变量间的相互关系。 各失效模式下的边缘分布函数确定以后，基于已有失效模式的分布函数值样本，调用 MATLAB 中的 hist3 函数绘制两失效模式的频数直方图与频率直方图；基于所得直方图的形 55 状确定若干初选 Copula 函数。 (3) 估计 Copula 函数中的相关参数，计算所选 Copula 函数与经验 Copula 函数间的平 方欧式距离。基于已有失效模式的分布函数值样本，调用 MATLAB 中的 Copulafit 函数估计 各初选 Copula 函数的相关参数值；计算理论 Copula 函数与经验 Copula 函数间的平方欧式 距离。 60 (4) 基于最小平方欧式距离值，从初选 Copula 函数中确定最优 Copula 函数。 2 系统失效相关可靠性模型 2.1 串联系统可靠性分析模型 串联系统可靠性指串联系统中所有单元均正常工作的能力；如果所有极限状态中任意 一个发生失效，就认为此串联系统失效[4]。其失效概率可以表示为： 当系统有两种失效模式时，系统可靠度可以表示为： （1） （2） 式中 g1——第一种失效模式的功能函数； g2——第二种失效模式的功能函数； Pfi=P(gi<0) ——第 i 种失效模式的失效概率； C()——Copula 函数 当系统有 k 种失效模式时，系统可靠度可以表示为： - 2 - 65 70 )0),,,((211njkjfXXXgPP),(1)00()0()0(1)00(112121212121fffffsPPCPPggPgPgPggPPR 
    中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn （3） 式中 gj——第 j 种失效模式的功能函数； gj0——第 j 种失效模式发生失效； 75 —— 种失效模式中所有失效事件的集合 2.2 并联系统可靠性分析模型 并联系统可靠性指并联系统中任一单元的正常工作均能保证系统正常工作的能力；如 果所有极限状态均发生失效，就认为此并联系统失效[4]。其失效概率可以表示为： 80 （4） 当系统有两个失效模式时，系统可靠度可以表示为： 当系统有 k 个失效模式时，系统可靠度可以表示为： （5） （6） 85 式中 ——所有 个失效模式均发生失效事件集合 2.3 串-并联系统可靠性分析模型 串并联系统由串联系统和并联系统组合而成，实际中最常用到的串并联系统是认为结 构的系统失效是由很多个失效模式组成的串联系统，而每个失效模式又是由多个失效模式组 成的并联系统[5]。串并联系统的结构图，如图 1 所示。其中， 表示第 i 个并联系统中的 90 第 j 个子失效模式，i =1,2,,m，j=1,2,,ni。 图 1 串并联系统结构图 Fig. 1 Structural diagram of series-parallel system 图 4-6 所示串并联系统结构的可靠度计算公式可以表示为： - 3 - kthjfkffkftfhfjkhjfhfjkjfjkthjfkfhfjkftfhfjkhjfhfjkjfjjkjfsPPPCPPPCPPCPPPPCPPPCPPCPgPPR1211111111),,,()1(),,(),(1),,,()1(),,(),(1)0(11 01jkjgk)0),,,((211njkjfXXXgPP),(1)00(112121fffsPPCggPPR),,,(1)0(11211fkffjkjfsPPPCgPPR01jkjgkjiA
    中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 95 （7） 上式中的简化符号可以表示为： （8） （9） （10） 100 式中 Ci——第 i 个并联系统内各失效单元分布函数的 Copula 函数； Ci,h——第 i 和第 h 个并联系统间，各系统失效分布函数的 Copula 函数； C1,2,,m——所有并联系统间，各系统失效分布函数的 Copula 函数 2.4 基于 PCE 方法的失效相关可靠性分析 如图 2 所示，基于 PCE 代理模型的失效相关可靠性分析方法具体过程如下： 105 步骤 1：基于 2 阶 PCE 代理模型，计算初始输入空间中每个参数的灵敏度指数；选择其中 的重要输入变量建立有效输入空间。 步骤 2：对有限输入空间中的样本的配点数进行自适应抽样，构建系统响应 Xi 的 PCE 代理 模型。 步骤 3：基于应力-强度干涉模型，得到功能函数 gi 的代理模型， 110 ， （11） 其中， gi-第 i 种失效模式的功能函数；Yi-第 i 种失效模式的结构抗力；Xi-第 i 种失效模式的 系统响应；n-系统的失效模式数 步骤 4：基于所得各失效模式下功能函数的 PCE 代理模型，利用 Monte Carlo 抽样方法分别 求解各失效模式的失效概率；基于所得各失效模式下功能函数的 PCE 代理模型，构建关于 115 失效模式联合分布的 Copula 函数。 步骤 3：基于系统可靠性分析模型计算系统失效相关可靠度。确定系统失效类型，根据所选 系统可靠性分析模型，计算系统失效相关可靠度。 120 125 失效模式 1 灵敏度分析 功能函数 g1 失效模型 2 灵敏度分析 功能函数 g2 失效概率 Pf1 失效相关联合分布函数 C(g1,g2;) 失效概率 Pf2 失效相关条件下，系统失效概率 图 2 双失效模式失效相关可靠性分析流程 Fig. 2 Flowchart of failure correlation reliability of double failure modes - 4 - ),,,()1(),,(),(1),,,()1(),,(),(1)0(1121,,2,11,,1121,,2,111,,11,11mmmmthithithimhihii,hmiimmmmthithithimhihii,hmiijinjmifsCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCgPPRm),,(1iniifAfAiiPPCC )],,(),,,([),(11inhhiniifAfAhfAfAii,hhii,hPPCPPCCCCC )],,(,),,,(),,,([),,,(12212111121,,2,121,,2,1mnmmnnfAfAmfAfAfAfAmmmPPCPPCPPCCCCCC iiiXYgni,,2,1
    中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 130 3 药柱固化降温条件下的失效相关可靠性分析 3.1 药柱基本状态描述 贴壁浇铸式固体火箭发动机在固化降温过程中，由于推进剂药柱与壳体线膨胀系数相 差较大，温度载荷所引起的药柱与壳体变形量也不相同。药柱变形受壳体约束，药柱与绝热 层的交界面必然产生应力、应变，导致药柱与绝热层之间的脱粘现象，药柱内表面翼和槽的 135 倒角位置处也会因应力集中现象发生裂纹，影响火箭发射安全。 某固体火箭发动机中段由壳体、绝热层和六角星形药柱构成，且药柱材料为 IPDI-HTPB 推进剂。考虑到发动机几何构型和载荷的对称性条件，建立药柱结构的 1/12 周期对称性模 型，如图 3、4 所示。几何参数包括：药柱长度 L=1600e-3 m，壳体厚 R1=4e-3 m，绝热层厚 度 R2=2.7e-3 m，药柱外半径 R= 250e-3 m，内半径 T=32.5e-3 m，肉厚 D=130e-3 m，星角数 140 n=6，星槽圆弧半径 P1=5e-3 m，星边夹角 B=47°，星角系数=0.8，及星根圆弧半径 P2=11e-3 m。参数分布信息如表 1 所示；药柱松弛模量 E(t)的各个系数如表 2 所示。试求解该中段药 柱由 50℃降温至环境温度-30℃的过程中，在某一时间点（如第 90000s）关于内表面裂纹失 效和药柱与绝热层脱粘失效的失效相关可靠度。（注：根据文献[6]，可得药柱内表面-30℃ 时的极限伸长率 Y1=0.20；设药柱与绝热层间的粘结强度 Y2=0.70MPa） 145 150 图 3 药柱横截面 图 4 药柱三维有限元模型 Fig. 3. Cross section of grain Fig. 4. 3-D finite element model of grain 表 1 不确定性参数概率分布信息 Tab.1 Parameter considered in uncertainty analysis 名称 符号 单位 分布类型 均值 标准差 药柱热膨胀系数 ALPX1 星边夹角 肉厚 药柱松弛模量 药柱导热系数 药柱泊松比 星槽圆弧半径 k-1 ° m 正态分布 正态分布 对数正态分布 B D EX1 MPa 正态分布 KXX1 w/m·k 正态分布 PRXY1 P1 m 正态分布 对数正态分布 - 5 - 1.09e-4 2.000e-5 47 130e-3 12.315 0.397 0.496 4.230e-1 8.0e-4 1.500e-3 3. 0e-4 1200e-6 5.0e-3 1.500e-4
    中国科技论文在线 星根圆弧半径 外半径 壳体厚度 绝缘层厚度 内半径 P2 R R1 R2 T m m m m m 对数正态分布 对数正态分布 对数正态分布 对数正态分布 对数正态分布 3.25e-2 http://www.paper.edu.cn 11.0e-3 3.300e-4 250e-3 1.200e-3 4.0e-3 2.7e-3 3.600e-5 2.430e-5 3.1e-4 当参考温度为 293.27K 时，表示时间-温度移位因子的 WLF 方程可以表示为： （12） 经 Prony 级数拟合，药柱的松弛模量可以表示为： 155 （13） 式中 E——平衡模量； E(t)的各个系数如表 2 所示。 表 2 IPDI-HTPB 推进剂的 Prony 级数 Tab.2 Prony series of IPDI-HTPB propellent i Ei/MPa i/s 1 8.833 0.0038 2 4.143 0.1102 3 0.5366 3.589 4 0.3764 99.93 5 0.0833 3070.1 6 0.3512 94351  25.33 － 160 3.2 内表面裂纹失效与脱粘失效的相关性分析 针对内表面裂纹失效和药柱与绝热层脱粘失效两种失效模式进行失效相关可靠性分 析，认为系统两失效模式服从串联失效类型。设药柱内表面裂纹失效和药柱与绝热层脱粘失 效的功能函数分别为 g1(x1,,xn)、g2(x1,,xn)。其中，n 为系统输入变量个数。基于 PCE 代 理模型方法计算药柱的失效相关可靠度，其具体过程与结果如下： 165 3.2.1. 灵敏度分析 令初始配点数 M0=91，M=10，通过 M=M+M 增加配点数，计算不同配点数下 SPCE 代理模型的期望与标准差，直至公式（14）、（15）[7]得到满足。两种失效模式的灵敏度分 析结果如下： 170 (14) (15) - 6 - 27.2932.145)27.293(27.5)(lgTTTaTNiiitEEtE1)exp()(,)()()()(211eMMMMMME,2,1M,)()()()(222eMMMMMME,2,1M
    中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 图5 内表面最大等效应变全局灵敏度分析中恰当配点数M*的确定 Fig. 5 Determination of the proper collocation point number M* in the global sensitivity analysis of maximum equivalent strain in inner surface 175 图 6 内表面裂纹分析中，初始输入变量的灵敏度指数：一阶灵敏度指数 Si；总灵敏度指数 STi。 Fig. 6 Sensitivity indices of initial input variables: First-order sensitivity indices Si; Total sensitivity indices STi. 图7 药柱与绝热层间最大正应力全局灵敏度分析中恰当配点数 的确定 180 Fig. 7 Determination of the proper collocation point number M* in the global sensitivity analysis of maximum normal stress between grain and insulate layer - 7 - 901001101201300.1280.1300.1320.1340.1360.1380.140 Mean(P=2) Std. dev.(P=2)M0.020.030.040.050.060.070.08ALPX1BDEX1KXX1PRXY1P1P2RR1R2T0.00.20.40.60.81.0ValueParameter Si STi901001101201300.3260.3280.3300.3320.3340.3360.3380.3400.3420.3440.3460.3480.3500.3520.3540.356 Mean(P=2) Std.dev.(P=2)M0.100.120.140.160.180.200.220.240.260.280.30 *M
    中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 图 8 绝缘层脱粘分析中，初始输入变量的灵敏度指数：一阶灵敏度指数 Si；总灵敏度指数 STi。 Fig. 8 Sensitivity indices of initial input variables: First-order sensitivity indices Si; Total sensitivity indices STi. 185 3.2.2. 功能函数 PCE 代理模型的构建 由图 6 和图 8 可知，药柱内表面裂纹失效模式下的功能函数的有效输入变量为药柱材 料的线膨胀系数（ALPX1），药柱与绝热层间脱粘失效模式下的功能函数的有效输入变量为 药柱材料的线膨胀系数（ALPX1）和药柱材料的泊松比（PRXY1）。 190 对于药柱内表面裂纹失效模式，由图 9(a)可知：当 P=3 时，等式（16）[7]得到满足， P*=3 为所求最优 PCE 阶数；当 M=14 时，等式（17）、（18）[7]得到满足，M=14 为 PCE 代理模型的适当配点数。得到该失效模式下的系统响应代理模型 X1。 对于药柱与绝热层间脱粘失效模式，由图 10(a)可知：当 P=3 时，等式（16）得到满足， P*=3 为所求最优 PCE 阶数；当 M=25 时，等式（17）、（18）得到满足，M=25 为 PCE 代 理模型的适当配点数。得到该失效模式下的系统响应代理模型 X2。 195 基于等式（11），得到两失效模式下的功能函数代理模型 g1、g2。其中，g1=Y1-X1，g2=Y2-X2。 (16) (17) (18) - 8 - ALPX1BDEX1KXX1PRXY1P1P2RR1R2T0.00.10.20.30.40.50.60.70.8ValueParameter Si STi00202020201,,,1,ePMPMPMPME,2,1,,,,,21*1*1*1*13MePMPMMPMPMME ,2,1,,,,,22*1*1*1*14MePMPMMPMPMME
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