第 41卷 第 5期 2 0 0 9年 5月 哈 尔 滨 工 业 大 学 学 报 JOURNAL OF HARBIN INS1’rI’UTE OF TECHNOLOGY V01．41 No．5 May 2009 新 型 分 数 阶 PI】cI控 制 器 及 其 仿 真 研 究 罗佑 颓 (湖南 文理学院 机械工程学院 ，湖南 常德 415000，llyx123@ 126．coln) 摘 要 ：提 出 了一种 新 的 比例 、积 分 、微 分 PID 控 制 器 ，将 传 统 的 PID 控 制 器 的 阶次 推 广 到分 数 领 域 ，它 不仅 适 用 于 分 数 阶 系统 ，也 适 用 于 整 数 阶 系 统 ，并 能取 得 一 些 优 于 整 数 阶 PID 控 制 器 的 效 果 ．用 滤 波 方 法 进 行 分 数 阶的微积分运算 ，直接 求 出传递 函数 ，用 Matlab／Simulink构 造 了 PID模 型，可直接 在其 他 仿真 系统 中调 用 ．仿 真 结果 证 明 了所 给 方 法 的 正 确 性． 关键 词 i分 数微 积分 ；分 数 阶 PID控 制 器 ；传 递 函数 ；Maflab／Simulink 中 图分 类 号 ：024，TP13 文 献 标 识 码 ：A 文 章 编 号 i 0367—6234(2009)05—0215一o3 A new kind of fractiona1．order PID controller and its sim ulation research LU0 You—xin (College of Mechanical Engineering，Hunan University of Arts and Science，Changde 415000，China，llyx123@ 126．corn) Abstract：A new kind of PID controller，fractional—order proportional，integral and derivative(PID)control— ler，is proposed which is the generalization of classical integer-order PID controller． It is used not only for fractional—order systems but also for some integer—order systems，and may have some superior performances compared with the classical integer-order PID controller．The computing method of fractional calculus is given， s-transform function can be found directly and a PID model is constructed with Matlab／Simulink，which call be used in other simulation system．The simulation outcomes verify the effectiveness of the method proposed． Key words：fractional calculus；fractiona1 order PID controller；transform function；Matlab／Simulink 分 数 阶微 积 分理论 的建 立 已有 300多 年 的历 器 的 阶次 ．王振宾 等人 研 究 了基 于分 数 微 积 分定 史 ，主要 用 于理 论研 究 ．随着计 算 机科 学 的发 展 ， 义 的分 数 阶 PID控 制器 ，结 合 z换 理论 求 出了 闭 分数 阶微 积 分 的应 用 已逐 渐 渗 透 到 许 多 工 程 领 环 系统 的单 位 阶跃 响应 ，仿 真结 果 与微 分 、积 分器 域 ，如 各种 材 料 的记 忆 、力 学 和 电特 性 的 描述 、粘 取 的项 数和 近似 阶次 有 关 ．阶 次 与 项 数 取得 大 时 弹性 阻 尼 、分 形 理 论 _】．2 J、自动 控 制 领 域 等 ． 有较 高 的精度 ．本 研 究 采 用 滤 波 方 法 作 分数 阶微 分数 阶微 积分 在 控制 中 的应 用 还是 个 新 领 域 ，分 积分 运算 ，直接 求 出传 递 函数 ，用 Matlab／Simulink 数 阶 比例 、积分 、微分 控制 器是 传统 整数 阶 PID控 制器 概 念 的 推 广 ，整 数 阶 PID 控 制 器 是 分 数 阶 PID控 制器 的特例 ．Podlubny 提 出 了分 数 阶 PID 控制 器用控 制分 数 阶系统 能 够取 得 比整 数 阶 PID 控 制器 更好 的效果 ．实 际上 ，分数 阶 PID控 制器 比 整数 阶 PID控制 器 多 2个 自由度 ：积 分 器 与 微 分 收 稿 日期 ：2005—06—03． 基金项 目：国家 自然科学基金资助项 目(50845038)； 湖南省 自然科学基金资助项 目(07JJ3O93)； 湖南省“十一五”重点建设学科 (机械设计及 理论)． 作者简介 ：罗佑新(1966一 )，男 ，硕士生导师 ，教授 ，高级工 程师 、 省 级 学科 带 头 人 ． 构造 了 PID模 型 进行 仿真 研究 ． 1 分 数 阶微 积 分 定 义 在 分数 阶微 积 分 发 展 过 程 中 ，出现 了 诸 多 函 数的分数阶微积分的定义 ，如 ：由整数阶微积分直 接 扩展 而来 的 Cauchy公 式 、Grunward．Letnikov分 数 阶微 积分 定义 、Riemann—Liouville分 数 阶微 积 分 定 义 以及 Capotu定 义 等 -5]， 1)分数 阶 Cauchyt积 分公 式．该公 式 直接 由 简单 整 数 阶积分 扩展 而来 ． 一 D ： 

· 216· 哈 尔 滨 工 业 大 学 学 报 第 41卷 其 中 ：C为 包 围 t)单 值 与 解 析 开 区 域 的光 滑 如下 ： 曲线 ． 假 设选 定 的拟 合 频 率 段 为 (W ， )，则 可构 2)Grunward—Letnikov分数 阶微 积分定 义 ： 造 出连续滤 波器 的传递 函数模 型为 ： ^ 0 j c ． 其中：(_)为二项式系数 ) 3)Riemann—Liouville分 数 阶微 积 分定 义 ．其 分 数 阶积分公 式 为 nDi ￡) 高 J。( 一r) 丁)曲·(1) 其 中 ：0 < < 1，a为初值 ，一般 可 以假 设 为零 初 始 条件 ，即 口 =0，这 时微分 记号 可 以简写为 D = 喧 舞 ． =一 … 其 中 ：滤波 器零 极点 和增益 可 由下 式求 出 ： ( ) ， 、 L， … ㈢ 肌 ， = ( 一 wh：· Riemann．Liouville定 义 为 目前最 常 见 的 分数 阶微 根 据 上 述算 法 ，直 接 编 写 函数 ousta—rod()， 积分定 义．由式 (1)的积 分 还 可 以定 义 分 数 阶微 设计 连 续 滤波 器 ．这样 ，如 果 函数 ．厂(t)通 过滤 波 分．设分数 阶 n一1< <11,，则 定义 其分 数 阶微 器 ，则可 以认 为输 出的信 号是 ．厂(￡)的近 似．注 分为 f) = a-- 。 [ 呻 ￡)= 意 ，由 于 Oustaloup算 法 本 身 的 局 限 性 ，应 选 取 W6Wh=1．当 >0时为微分 运算 ； <0时 ，为积 分 运算 ．虽然 Oustaloup算 法设 计 的滤 波 器理 论上 不 嘉 1． 可 以求 取任 意 阶 的分数 阶微 积 分运 算 ，但 从 数值 微 积分 的精 度看 ，该 滤 波器 更 适 合 于 1阶 以 内的 4)Capotu分 数 阶 微 积分 定 义．Capotu分 数 阶微 分定 义为 。 oTf( 微积分 ，即 I l≤ 1，所 以应该 将高 阶微积 分先进 行整数 阶微 积分 运算 ，再 对结 果进行 滤波 处理． 3 分 数 阶 PID控 制器 其 中 ： =m +T，m为整数 ，0 < ≤ 1．类 似 地 ， Capotu分数 阶积分 定义 为 考虑 到整 数 阶 PID控 制 器 的 传 递 函数 描 述 为 ] 。D t)=7 _ d ，

第 5期 罗佑新 ：新型分数 阶 PID控制 器及 其仿 真研 究 栏 输入 可编辑 PID的 3个增 益参 数 以及微 分器 与 积 分器 中各 自的 4个参 数 ．由于搭 接 起 来 的一 般 为 刚 性 系 统 ，所 以 选 择 求 解 算 法 时 应 该 选 择 odel5s或 ode23tb等． 增益 2 传 递 函数 传 递 函数 2 图 1 分 数 阶 PID控 制 器 5 结 论 1)本文 采 用 滤 波 方 法 实 现 了分 数 阶 PID 的 仿 真 ，基 于 Matlab／Simulink构 造 了分数 阶 PID控 制 器 ，它不仅 适 用于分 数 阶系统 ，也 适用 于整数 阶 图 2 分 数 阶 PID 控 制 器模 块 系统 ，并 能取 得 一些 优 于 整 数 阶 PID控 制 器 的效 4 仿 真 实 例 设 系 统传递 函数 为 G (s)= (s +s)～，k = 10，k，=1，kD：1，取 采样 周期 T=0．1 s，求 闭环 果 ．可 在其他 仿真 系统 直接 应用 ． 2)分数 阶 PID控 制器 比整 数 阶 PID 控 制 器 多 2个 自由度 ，对控 制 具有更 大 的灵 活性 ．本研 究 没有 对仿 真 的参 数 进 行优 选 ，其参 数 整 定 方 法 另 系统 的阶跃 函 数 响 应 ，建 立 基 于 Matlab／Simulink 文研 究 ． 的仿真模 型 如 图 3所 示 ，图 中设手 动开 关 ，用 于对 常 规 PID与分数 阶 PID的选择 ． 参 考 文 献 ： [1]PODLUBNY I．Fractional differential equations[M]． San Diego：Academic Press，1999：63—74，223 —242． [2]CARPINTRI A，MAINARDI F．Fractals and fractional calculus in continuum mechanics[M]．Wien：Springer， 1997 ：35 —78． [3]PODLUBNY I．Fractional—oder system and PI D 一con— troller[J]．IEEE Transaction on Automatic Control， 图 3 仿 真模 型 对 常规 的 PID、常 规 的 PI(取 k。=0)以及 分 1999，44(1)：208—719． 数 阶 PID(k|D=10， ，= 1，kD = 1， ：0．1， = [4]王振宾 ，曹广益 ，曾庆 山．分 数 阶 PID控 制器及 其数 0．9)进 行仿 真 ，结果如 图 4所示 ，PI误差 最 大 ，常 字实现[J]．上海交通 大学学报 ，2004，38(4)：517— 规 的 PID、分数 阶 PID在启 动 阶段 基本 一 样 ，但 达 520． 到 稳定 阶 段 时 分 数 阶 PID 的 误 差 (稳 态 误 差 ) [5]薛定 字 ，陈 阳泉．高等 应用 数学 问题 的 MATLAB求 较 小． 解 [M]．北京 ：清华大学 出版社 ，2004：383—396． (编辑 杨 波 )